Teil B

Gegeben ist die in $\mathbb{R} \setminus \{-2;2\}$ definierte Funktion $f: x\mapsto \frac{6x}{x^2-4}.$ Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Gib die Gleichungen aller senkrechten Asymptoten von $G_f$ an.
Begründe, dass $G_f$ die x-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

(3 BE)

Bestimme das jeweilige Monotonieverhalten von $f$ in den drei Teilintervallen $]-\infty; -2[,\;]-2;2[$ und $]2;+\infty[$ der Definitionsmenge. Berechne zudem die Steigung der Tangente an $G_f$ im Punkt $(0 \mid f(0)).$

$\bigg [$ Zur Kontrolle: $\(f$

(5 BE)

Die Punkte $A(3\mid 3,6)$ und $B(8\mid 0,8)$ liegen auf $G_f;$ zwischen diesen beiden Punkten verläuft $G_f$ unterhalb der Strecke $[AB].$

Skizziere $G_f$ im Bereich $-10\leq x \leq 10$ unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem.

(4 BE)

Berechne den Inhalt der Fläche, die von $G_f$ und der Strecke $[AB]$ eingeschlossen wird.

(5 BE)

Betrachtet wird die Schar der Funktionen

$f_{a,b,c}: x\mapsto \dfrac{ax+b}{x^2+c}$ mit $a,b,c \in \mathbb{R}$ und maximaler Definitionsmenge $D_{a,b,c}.$

Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Gib die zugehörigen Werte von $a,b$ und $c$ an.

(1 BE)

Begründe: Wenn $a=0$ und $b\neq0$ gilt, dann ist der Graph von $f_{a,b,c}$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse und schneidet die $x$ -Achse nicht.

(2 BE)

Gib für $a,b$ und $c$ alle Werte an, sodass sowohl $D_{a,b,c}=\mathbb{R}$ gilt als auch, dass der Graph von $f_{a,b,c}$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, aber nicht identisch mit der $x$ -Achse ist.

(3 BE)

Für die erste Ableitung von $f_{a,b,c}$ gilt: $\(f$
Zeige: Wenn $a\neq 0$ und $c\gt 0$ gilt, dann besitzt der Graph von $f_{a,b,c}$ genau zwei Extrempunkte.

(4 BE)

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $p:x \mapsto \dfrac{40}{(x-12)^2+4};$
die Abbildung zeigt den Graphen $G_p$ von $p.$

Graph mit einer Kurve, die eine maximale Höhe bei 12 erreicht und die Achsen x und y zeigt.

Beschreibe, wie $G_p$ aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h:x\mapsto \dfrac{5}{x^2+4}$ schrittweise hervorgeht, und begründe damit, dass $G_p$ bezüglich der Gerade mit der Gleichung $x=12$ symmetrisch ist.

(4 BE)

Eine auf einem Hausdach installierte Photovoltaikanlage wandelt Lichtenergie in elektrische Energie um. Für $4 \leq x \leq 20$ beschreibt die Funktion $p$ modellhaft die zeitliche Entwicklung der Leistung der Anlage an einem bestimmten Tag. Dabei ist $x$ die seit Mitternacht vergangene Zeit in Stunden und $p(x)$ die Leistung in $\text{kW}$ (Kilowatt).

Bestimme rechnerisch die Uhrzeit am Nachmittag auf Minuten genau, ab der die Leistung der Anlage weniger als $40\,\%$ ihres Tageshöchstwerts von $10\;\text{kW}$ beträgt.

(4 BE)

Die Funktion $p$ besitzt im Intervall $[4;12]$ eine Wendestelle. Gib die Bedeutung dieser Wendestelle im Sachzusammenhang an.

(2 BE)

Die von der Anlage produzierte elektrische Energie wird vollständig in das Stromnetz eingespeist. Der Hauseigentümer erhält für die eingespeiste elektrische Energie eine Vergütung von $10$ Cent pro Kilowattstunde $(\text{kWh}).$
Die in $[4;20]$ definierte Funktion $x\mapsto E(x)$ gibt die elektrische Energie in kWh an, die die Anlage am betrachteten Tag von $4:00\;\text{Uhr}$ bis $x$ Stunden nach Mitternacht in das Stromnetz einspeist.

Es gilt: $\(E$ für $x\in [4;20].$

Bestimme mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Vergütung, die der Hauseigentümer für die von $10:00\;\text{Uhr}$ bis $14:00\;\text{Uhr}$ in das Stromnetz eingespeiste elektrische Energie erhält.

(3 BE)

(40 BE)

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Senkrechte Asymptoten angeben

$x=2$ und $x=-2$

Waagrechte Asymptote begründen

Da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist, besitzt $G_f$ die $x$ -Achse als waagrechte Asymptote.

Monotonieverhalten bestimmen

Mit der Quotientenregel folgt für die Ableitung von $f:$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da für alle $x$ -Werte, die im Definitionsbereich liegen, $\(f$ gilt, fällt $f$ in allen drei Teilintervallen streng monoton.

Tangentensteigung berechnen

Da $\(f$ gilt, folgt $m=-\frac{3}{2}$ für die Steigung der gesuchten Tangente.

$G_f$ im Koordinatensystem

Graph einer Funktion mit asymptotischem Verhalten in einem Koordinatensystem. Grüne Linie auf einem Gitter.

Gleichung der Gerade $g$ aufstellen, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft:

$g:x\mapsto mx+b$

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&3,6&=& 3m+b &\quad \scriptsize \\ \text{II}\quad&0,8&=& 8m+b &\quad \\ \end{array}$

Aus Gleichung $\text{I}$ folgt $b= 3,6-3m.$ Einsetzen in $\text{II}$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 0,8&=&8m +3,6 -3m &\quad \scriptsize \mid\;-3,6 \\[5pt] -2,8 &=& 5m&\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] -0,56&=&m \end{array}$

Mit $b=3,6 - 3 \cdot (-0,56)= 5,28$ ergibt sich $g:x\mapsto-0,56x +5,28.$

Für den gesuchten Flächeninhalt $A$ folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$A \approx 3,55\;[\text{FE}]$

$a=6, b=0$ und $c=-4$

$\begin{array}[t]{rll} f_{0,b,c}(-x)&=&\dfrac{b}{(-x)^2+c} \\[5pt] &=&\dfrac{b}{x^2+c} \\[5pt] &=&f_{0,b,c}(x) \end{array}$

Somit ist der Graph von $f_{a,b,c}$ für $a=0$ und $b\neq 0$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse. Da der Zähler des Bruchs in diesem Fall nicht Null werden kann, gibt es keine Lösung der Gleichung $f_{a,b,c}(x)=0$ und der Graph von $f_{a,b,c}$ schneidet somit für $a=0$ und $b\neq 0$ nicht die $x$ -Achse.

$a\neq 0$ , $b=0$ und $c\gt 0$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit der $abc$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& \dfrac{-2b\pm \sqrt{(2b)^2+4a^2c}}{2a} \end{array}$

Für $a\neq 0$ und $c\gt 0$ ist der Nenner nicht Null und der Wert der Wurzel definiert und ebenfalls nicht Null, somit besitzt die Gleichung genau zwei Lösungen. Die Funktion $f$ besitzt damit zwei mögliche Extremstellen.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

Da das Zählerpolynom $ax^2+2bx-ac$ von $\(f_{a,b,c}$ eine Parabel beschreibt, und das Vorzeichen des Nenners von $\(f_{a,b,c}$ sich nicht ändert, findet in den Nullstellen $x_1$ und $x_2$ von $\(f_{a,b,c}$ jeweils ein Vorzeichenwechsel statt, das heißt an diesen Stellen liegen Extrempunkte vor.
Damit besitzt der Graph von $f_{a,b,c}$ für $a\neq 0$ und $c\gt 0$ genau zwei Extrempunkte.

Der Graph von $G_p$ geht aus dem Graphen der Funktion $h$ durch Streckung um den Faktor $8$ in $y$ -Richtung und anschließende Verschiebung um $12$ Längeneinheiten in positive $x$ -Richtung hervor.

Da $x$ im Funktionsterm von $h$ nur mit geradem Exponent auftaucht, liegt der Graph von $h$ symmetrisch zur $y$ -Achse, das heißt der Geraden mit Gleichung $x=0.$ Somit ist der Graph von $G_p$ symmetrisch zu der Geraden mit der Gleichung $x=12.$

Mit $10\cdot 0,4=4\;[\text{kW}]$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$4x^2-96x+552=0$

Mit der $abc$ -Formel folgt weiter:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=&\dfrac{96\pm\sqrt{(-96)^2-8832}}{8} \\[5pt] &=&\dfrac{96\pm\sqrt{384}}{8} \\[5pt] x_1&\approx&14,45 \\[5pt] x_2&\approx&9,55 \end{array}$

Da $x_2$ einen Zeitpunkt am Vormittag beschreibt, wird nur $x_1$ betrachtet. Mit $0,45\cdot 60\;\text{min} = 27\;\text{min}$ folgt, dass die Leistung der Anlage ab $14:27\;\text{Uhr}$ weniger als $40\,\%$ ihres Tageshöchstwerts von $10\;\text{kW}$ beträgt.

Die Wendestelle im Intervall $[4;12]$ ist die Stelle mit der stärksten Steigung. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass an dieser Stelle die Leistung der Anlage am stärksten zunimmt.

Da $\(E$ gilt, wird die eingespeiste elektrische Energie durch den Wert des Flächeninhalts, den die $x$ -Achse und $G_p$ einschließen, beschrieben.

Im Intervall $[10; 14]$ wird eine Fläche mit einem Flächeninhalt von ca. $8$ Kästchen eingeschlossen. Ein Kästchen entspricht hierbei ca. $2 \; \text{h} \cdot 2 \;\text{kW}= 4 \;\text{kWh}.$

Die $8$ Kästchen entsprechen somit ca. $8 \cdot 4= 32 \;\text{[kWh]}$ und der Hauseigentümer verdient für die zwischen $10:00\;\text{Uhr}$ und $14:00\;\text{Uhr}$ in das Stromnetz eingespeiste Energie ca. $32\cdot0,1 = 3,20\;€.$

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