Teil A

Betrachtet wird der abgebildete Würfel $ABCDEFGH$ .
Die Eckpunkte $D$ , $E$ , $F$ und $H$ dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: $D(0\mid 0\mid -2)$ , $E(2\mid 0 \mid 0)$ , $F(2\mid 2\mid 0)$ und $H(0\mid 0\mid 0)$ .

Draufsicht auf einen Würfel mit beschrifteten Ecken A bis H.

Abb. 1

Zeichne in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichne diese. Gib die Koordinaten des Punkts $A$ an.

(2 BE)

Der Punkt $P$ liegt auf der Kante $[FB]$ des Würfels und hat vom Punkt $H$ den Abstand $3$ . Berechne die Koordinaten des Punkts $P$ .

(3 BE)

Gegeben sind die Punkte $A(-2\mid 1\mid 4)$ und $B(-4\mid 0\mid 6)$ .

Bestimme die Koordinaten des Punkts $C$ so, dass gilt: $\overrightarrow{CA}= 2\cdot \overrightarrow{AB}$ .

(2 BE)

Durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft die Gerade $g$ .
Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen $\text{I}$ und $\text{II}$ gelten:

$\text{I}$	Jede dieser Geraden schneidet die Gerade $g$ orthogonal.
$\text{II}$	Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt $A$ beträgt $3$ .

Ermittle eine Gleichung für eine dieser Geraden.

(3 BE)

(10 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Abbildung einzeichnen und Koordinaten von $A$ bestimmen

Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$ , d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$ . Da der Punkt $E$ als erste Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $x$ -Achse die Gerade $EH$ . Die Richtung der $x$ -Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HE}$ . Das Vorgehen bei der $y$ -Achse ist analog. Da der Punkt $G$ als zweite Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $y$ -Achse die Gerade $GH$ . Die Richtung der $y$ -Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HG}$ . Der Punkt $D$ hat als letzte Koordinate eine negative Zahl (die restlichen Koordinaten sind gleich Null), das bedeutet, dass die $z$ -Achse die Gerade $DH$ ist. Die Richtung ist dieses Mal allerdings die Richtung des Vektors $\overrightarrow{DH}$ .

Somit ergibt sich folgendes Koordinatensystem:

3D-Darstellung eines Würfels mit Achsenbeschriftungen x, y und z.

Abb. 1: Würfel im Koordinatensystem

Der Punkt $A$ hat demnach die Koordinaten $(2 \mid 0 \mid -2).$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punkts $P$ bestimmen

Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ gegeben, so ist der Abstand $\boldsymbol{d}$ der beiden Punkte definiert als

$\boldsymbol{d = \quad ...}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Punkt $P$ soll auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels liegen und soll zum Punkt $H$ (dem Ursprung des Koordinatensystems) den Abstand $3$ haben, d.h. $d=3$ . Die Koordinaten des zweiten Punkts $H$ sind gegeben. Die Koordinaten des ersten Punkts $P$ kannst du mithilfe des Ortvektors von $F$ und dem Vektor $\overrightarrow{FB}$ umschreiben.

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OF} + \lambda \cdot \overrightarrow{FB} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \lambda \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2}$ mit $0 \leq \lambda \leq 1.$

Setze nun die Koordinaten der Punkte in die Formel für den Abstand mit $d=3$ ein und löse die Gleichung nach $\lambda$ auf

$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& \quad ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da für $\lambda = -\dfrac{1}{2}$ der Punkt $P$ nicht auf der Kante $\overline{FB}$ liegen würde, muss $\lambda = \dfrac{1}{2}$ sein. Für $\overrightarrow{OP}$ gilt somit

$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ -1}.$

Somit sind die Koordinaten von $P(2 \mid 2 \mid -1).$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punkts $C$ bestimmen

Gesucht ist ein Punkt $C$ , der die Bedingung $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ erfüllt. Du berechnest also zuerst den Vektor

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6} - \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} = \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$ ,

um ihn anschließend in die Gleichung einzusetzen.

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-2 - c_1 \\ 1 - c_2 \\ 4 - c_3} &=& 2 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ -2 \\ 4} \end{array}$

Somit folgt $c_1 = 2$ , $c_2 = 3$ und $c_3 = 0$ . Der gesuchte Punkt $C$ hat also die Koordinaten $(2 \mid 3 \mid 0).$

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Gesucht ist eine Gerade $h$ , die die zwei Bedingungen $I$ und $II$ erfüllt. Bestimme also zuerst einen Vektor $\vec{t}$ , der die Bedingung $I$ erfüllt, um anschließend einen Aufpunkt $P$ für die Gerade $h$ auf der Geraden $g$ zu finden, der den Abstand $3$ zum Punkt $A$ hat.

1.Schritt: Vektor $\boldsymbol{\vec{t}}$ bestimmen

Der Vektor $\vec{t}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{AB}$ liegen, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss null sein.

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \overrightarrow{AB} \circ \vec{t} \\[5pt] &=& -2t_1 - t_2 + 2t_3 \end{array}$

Wähle $t_1 = 1$ und $t_2=0$ , sodass für $t_3$ automatisch $t_3 = 1$ folgt.

Somit ist $\vec{t} = \pmatrix{1 \\ 0 \\ 1}$ und orthogonal zu $\overrightarrow{AB}$ .

2.Schritt: Aufpunkt für die Gerade $\boldsymbol{h}$ finden

Um zu garantieren, dass die Gerade $h$ die Gerade $g$ auf jeden Fall schneidet und vom Punkt $A$ einen Abstand von $3$ hat, kannst du den Aufpunkt $P$ der gesuchten Gerade $h$ so wählen, dass er auf der Geraden $g$ liegt und den Abstand $3$ zum Punkt $A$ hat. Somit gibt es zwei mögliche Kandidaten für den Punkt $P,$ da es auf der Geraden $g$ genau zwei Punkte mit dem Abstand $3$ zu $A$ gibt.

$P$ muss also $3$ Einheiten entlang des Richtungsvektors $\pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2}$ vom Punkt $A$ aus liegen.

$\begin{array}[t]{rll} 3 &=& \left| \lambda \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-2\lambda)^2 + (-\lambda)^2 + (2\lambda)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{9 \lambda^2} \\[5pt] &=& \pm 3 \lambda \end{array}$

Somit kann $\lambda$ entweder $1$ oder $-1$ sein.

Wähle beispielsweise $\lambda = 1$ und bestimme die Koordinaten von $P$ .

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \overrightarrow{OA} + 1 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2 \\ 1 \\ 4} + 1 \cdot \pmatrix{-2 \\ -1 \\ 2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6}. \end{array}$

Demnach hat $P$ die gleichen Koordinaten wie der Punkt $B$ .

3.Schritt: Geradengleichung aufstellen

Nun hast du alle notwendigen Informationen berechnet, um die Geradengleichung von $h$ aufzustellen. Du benutzt als Aufpunkt den Punkt $P$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{t}$ .

$h:$ $\pmatrix{-4 \\ 0 \\ 6}+ \lambda \cdot \pmatrix{1 \\ 0 \\ 1}$

Bemerkung: Beachte, dass es hier unendlich viele Lösungen gibt. Du kannst den Richtungsvektor der Gerade $h$ auch anders wählen und für den Aufpunkt $P$ gibt es zwei Möglichkeiten.

Bildnachweise [nach oben]

[1]