Teil A
1
Gegeben sind die beiden Kugeln 
mit Mittelpunkt 
und Radius 
sowie 
mit Mittelpunkt 
und Radius 
a)
Zeige, dass sich und schneiden.
(2 BE)
b)
Die Schnittfigur von und ist ein Kreis. Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises.
(3 BE)
2
a)
Die Ebene 
enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimme diese Koordinaten.
(2 BE)
b)
Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
(3 BE)
(10 BE)
1
a)
Die beiden Kugeln schneiden sich, wenn der Abstand der beiden Mittelpunkte geringer ist als die Summe der beiden Radien. Für den Abstand der beiden Mittelpunkte folgt:
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist mit 
somit kleiner als die Summe der beiden Radien von 
das heißt die beiden Kugeln und schneiden sich.
b)
Koordinaten des Mittelpunkts bestimmen
Da beide Kugeln denselben Radius besitzen, also die gleiche Form haben, liegt der Mittelpunkt 
des Schnittkreises genau mittig zwischen den beiden Kugelmittelpunkten. Es folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM_3}&=& \overrightarrow{OM_1}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{M_1M_2} \\[5pt]
&=& \pmatrix{1\\2\\3}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{-4\\-4\\-2} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-1\\0\\2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a325e620d6829ad958fac4b797185a991d5cc27f83dbc7906832c6e140ddb3db?color=5a5a5a)
Der Mittelpunkt des Schnittkreises der beiden Kugeln und besitzt somit die Koordinaten 
Radius des Kreises bestimmen
Der gesuchte Radius 
bildet zusammen mit der Hälfte der Strecke ![\([M_1M_2]\)](https://mathjax.schullv.de/22bcb056e9bd308bbc4c955a3ddb95a38746971c0881b32c8771ac26df2a62d9?color=5a5a5a)
und dem Radius 
der Kugel ein rechtwinkliges Dreieck mit 
als Hypothenuse. Mit dem Satz des Pythagoras folgt somit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
r_3^2 + \left\vert\overrightarrow{M_1M_3}\right\vert^2 &=& r_1^2 \\[5pt]
r_3^2 + 3^2 &=& 5^2 \\[5pt]
r_3^2 +9 &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; -9\\[5pt]
r_3^2 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt]
r_3 &=& 4\;[\text{LE}]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2e5b2fc3a8f2d202216dcac60bc95927241ccaf050facbd8879d37e4ec5e4b41?color=5a5a5a)
2
a)
Der gesuchte Punkt besitzt Koordinaten der Form 
Einsetzen in die Ebenengleichung liefert für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
3t+2t+2t &=& 6 \\[5pt]
7t &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt]
t &=& \dfrac{6}{7}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2643f4f5df6e5befafa26af6831ac0c2fbf8f2a0535724a3fb819faa63229f38?color=5a5a5a)
Die gesuchten Koordinaten lauten somit 
b)
Alle Punkte, deren drei Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden mit der Gleichung 
Da zu jeder Geraden unendlich viele Ebenen existieren, die zu ihr parallel verlaufen, sie aber nicht enthalten, gibt es somit unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt mit drei identischen Koordinaten besitzen.