Teil A

In Sonnenstadt gibt es 6000 Einfamilienhäuser, von denen 2400 mit einer Holzpelletheizung ausgestattet sind. Bei zwei Dritteln der Einfamilienhäuser mit Holzpelletheizung ist diese mit einer solarthermischen Anlage kombiniert. $50\,\%$ aller Einfamilienhäuser sind weder mit einer Holzpelletheizung noch mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet.

Stelle zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf.

(3 BE)

Ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus ist mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es eine Holzpelletheizung?

(2 BE)

Das abgebildete Baumdiagramm stellt ein zweistufiges Zufallsexperiment mit den Ereignissen $A$ und $B$ sowie deren Gegenereignissen $\overline{A}$ und $\overline{B}$ dar.

Bestimme den Wert von $p$ so, dass das Ereignis $B$ bei diesem Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeit $0,3$ eintritt.

(2 BE)

Ermittle den größtmöglichen Wert, den die Wahrscheinlichkeit von $B$ annehmen kann.

(3 BE)

(10 BE)

$A:$

Ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus aus Sonnenstadt ist mit einer Holzpelletheizung ausgestattet.

$B:$

Ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus aus Sonnenstadt ist mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet.

Aus der Aufgabenstellung folgt direkt:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \dfrac{2400}{6000} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{5} \end{array}$

$P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)= 0,5$

Von den $2400$ Häusern mit Holzpelletheizung sind zwei Drittel mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet, somit gilt:

$P(A\cap B) = \dfrac{\frac{2}{3}\cdot 2400}{6000} = \dfrac{4}{15}$

Mit den Zeilen- und Spaltensummen ergibt sich somit folgende Vierfeldertafel:

	$\color{#ffff}{B}$	$\color{#ffff}{\overline{B}}$
$\color{#ffff}{A}$	$\dfrac{4}{15}$	$\dfrac{2}{15}$	$\dfrac{2}{5}$
$\color{#ffff}{\overline{A}}$	$\dfrac{1}{10}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{3}{5}$
	$\dfrac{11}{30}$	$\dfrac{19}{30}$	$1$

Mit Hilfe der Vierfeldertafel folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=& \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{4}{15}}{\frac{11}{30}}\\[5pt] &=& \dfrac{8}{11}\\[5pt] \end{array}$

Mit den Pfadregeln folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Rechenweg anzeigen

$p = 0,25$

Mit Hilfe von Aufgabenteil a) folgt für die Wahrscheinlichkeit von $B$ in Abhängigkeit von $p$ folgende Funktion:

$B(p)=0,4p+0,2$

Diese Funktion beschreibt eine Gerade mit positiver Steigung. Die Wahrscheinlichkeit von $B$ ist somit für den maximalen Wert von $p$ am größten, das heißt für $p=1.$ Damit ist $P(B) = 0,4\cdot1+0,2$ $= 0,6$ der größtmögliche Wert, den die Wahrscheinlichkeit von $B$ annehmen kann.