Teil B

Das Laplace-Gymnasium veranstaltet auf dem Sportplatz ein Fußballturnier für die neuen 5. Klassen.

An dem Turnier nehmen neun Mannschaften teil. Die Mannschaften bestehen jeweils aus Jungen und Mädchen, wobei zwei Drittel aller mitspielenden Kinder männlich sind.

Die drei Spielführerinnen und die sechs Spielführer der Fußballmannschaften stellen sich in einer Reihe für ein Foto auf. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten für die Aufstellung der neun Kinder, wenn die drei Spielführerinnen nebeneinanderstehen sollen.

(3 BE)

Im Rahmen der Begrüßung durch die Schulleiterin werden aus allen Spielerinnen und Spielern zunächst zehn Kinder ausgelost, die je einen Fußball erhalten sollen. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass fünf Mädchen und fünf Jungen einen Ball erhalten, verwendet Max den Ansatz

$\pmatrix{10\\5}\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^5.$

Gib an, ob Max dabei vom Modell „Ziehen mit Zurücklegen“ oder vom Modell „Ziehen ohne Zurücklegen“ ausgeht. Begründe rechnerisch unter Zugrundelegung eines im Sachkontext realistischen Zahlenwerts für die Gesamtzahl der Spielerinnen und Spieler, dass die von Max berechnete Wahrscheinlichkeit nur geringfügig von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit abweicht.

(5 BE)

Neben dem Fußballturnier werden für die Schülerinnen und Schüler auch ein Elfmeterschießen und ein Torwandschießen angeboten.

Dafür konnten sich die Kinder in zwei Listen eintragen. $45 \,\%$ der Kinder haben sich sowohl für das Torwandschießen als auch für das Elfmeterschießen eingetragen, $15 \,\%$ haben sich nur für das Elfmeterschießen eingetragen. $90 \,\%$ der Kinder, die sich für das Torwandschießen eingetragen haben, haben sich auch für das Elfmeterschießen eingetragen. Aus den Kindern wird eines zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$T:$

„Das Kind hat sich für das Torwandschießen eingetragen.“

$E:$

„Das Kind hat sich für das Elfmeterschießen eingetragen.“

Untersuche die Ereignisse $T$ und $E$ auf stochastische Unabhänigkeit.

(4 BE)

Drücke jedes der beiden folgenden Ereignisse unter Verwendung der Mengenschreibweise durch $T$ und $E$ aus.

$A:$

„Das Kind hat sich in keine der Listen eingetragen.“

$B:$

„Das Kind hat sich in genau eine Liste eingetragen.“

(3 BE)

Beim Torwandschießen treten zwei Schützen gegeneinander an. Zunächst gibt der eine sechs Schüsse ab, anschließend der andere. Wer dabei mehr Treffer erzielt, hat gewonnen; andernfalls geht das Torwandschießen unentschieden aus.

Joe trifft beim Torwandschießen bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von $20 \,\%,$ Hans mit einer Wahrscheinlichkeit von $30 \,\%$ .

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Joe beim Torwandschießen gegen Hans gewinnt, wenn Hans bei seinen sechs Schüssen genau zwei Treffer erzielt hat. Erläutere anhand einer konkreten Spielsituation, dass das dieser Aufgabe zugrunde gelegte mathematische Modell im Allgemeinen nicht der Realität entspricht.

(4 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term

$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^6 (B(6;0,2;k) \cdot B(6;0,3;k))$

angegeben wird.

(2 BE)

Lisa erreichte im Training in $90 \,\%$ aller Fälle bei sechs Schüssen mindestens einen Treffer. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ihr erster Schuss im Wettbewerb ein Treffer ist, wenn man davon ausgeht, dass sich ihre Trefferquote im Vergleich zum Training nicht ändert. Lege deiner Berechnung als Modell eine geeignete Bernoullikette zugrunde.

(4 BE)

(25 BE)

Wenn man die drei Spielführerinnen nicht voneinander unterscheidet, gibt es sieben mögliche Aufstellungen, bei denen alle nebeneinander stehen. Da zudem sowohl die drei Spielführerinnen als auch die sechs Spielführer untereinander Plätze tauschen können, gibt es insgesamt $7 \cdot 3! \cdot 6! = 30240$ mögliche Aufstellungen, bei denen die drei Spielführerinnen nebeneinander stehen.

Max geht vom Modell „Ziehen mit Zurücklegen“ aus. Das liefert die folgende Wahrscheinlichkeit:

$\pmatrix{10\\5}\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^5\approx13,65\,\%.$

In Wirklichkeit kann kein Kind zweimal ausgelost werden, somit liefert das Modell „Ziehen ohne Zurücklegen“ die korrekte Wahrscheinlichkeit. Bei insgesamt z.B. $96$ neuen Fünftklässlern ergibt sich:

Rechnung anzeigen

$13,61\,\%$

Da die Menge an Fünftklässlern relativ groß ist, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach jeder Auslosung nur leicht, sodass die von Max berechnete Wahrscheinlichkeit nur geringfügig von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit abweicht.

Mit den Wahrscheinlichkeiten $P(E\cap T)=0,45,$ $P\left(E\cap\overline{T}\right)=0,15$ und $P_T(E)=0,9$ aus der Aufgabenstellung ergibt sich $P(T)=0,5$ und damit folgende Vierfeldertafel:

	$\color{#ffff}{T}$	$\color{#ffff}{\overline{T}}$
$\color{#ffff}{E}$	$0,45$	$0,15$	$0,6$
$\color{#ffff}{\overline{E}}$	$0,05$	$0,35$	$0,4$
	$0,5$	$0,5$	$1$

Es folgt:

$P(E \cap T) =0,45$

$P(E) \cdot P(T)= 0,6 \cdot 0,5 =0,3$

Die Ereignisse $T$ und $E$ sind somit nicht stochastisch unabhängig.

$A =\{a \mid a\in \overline{T} \land a \in \overline{E}\}$

Menge anzeigen

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Treffer von Joe und kann als binomialverteilt mit den Parametern $n=6$ und $p=0,2$ angenommen werden. Für die Wahrscheinlichkeit, dass Joe gegen Hans gewinnt folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 3)&=&1- P(X\leq 2) \\[5pt] &\approx&0,0989 \\[5pt] &=&9,89\,\% \end{array}$

Beim Modell der Binomialverteilung wird mit konstanter Wahrscheinlichkeit gearbeitet. Da die beiden Schützen nacheinander schießen, kann in der Realität allerdings z.B. die Trefferwahrscheinlichkeit desjenigen der als zweites schießt abnehmen, da dieser von einer potentiell sehr guten Trefferquote des ersten Schützen unter Druck gesetzt wird.

„Beide Schützen treffen beim Torwandschießen gleich oft.“

Die Zufallsgröße $X_p$ beschreibt die Anzahl der Treffer von Lisa im Training und ist binomialverteilt mit $n=6$ und unbekanntem $p.$ Für $p$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_p\geq 1)&=&0,9 \\[5pt] 1-P(X_p=0)&=&0,9 \\[5pt] 1-(1-p)^6&=&0,9 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -(1-p)^6 &=&-0,1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-1) \\[5pt] (1-p)^6 &=&0,1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[6]{\;} \\[5pt] 1-p&=& \sqrt[6]{ 0,1}&\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -p&=& \sqrt[6]{ 0,1}-1&\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-1) \\[5pt] p&\approx& 0,32&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Lisa trifft, beträgt somit bei jedem Schuss $p\approx0,32.$ Die Wahrscheinlichkeit $p_1,$ dass ihr erster Schuss im Wettbewerb direkt ein Treffer ist, ergibt sich damit als $p_1=p\approx0,32.$