Teil B

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: x \mapsto \frac{4}{1+\mathrm{e}^x}.$ Der Graph ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $(0 \mid 2).$

Begründe anhand des Funktionsterms von $f,$ dass $f$ keine Nullstelle hat, und gib $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ sowie $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)$ an.

(3 BE)

Berechne die mittlere Steigung des Graphen von $f$ im Bereich $-1 \leq x \leq 1$ auf Hundertstel genau und bestimme grafisch die Steigung des Graphen von $f$ in seinem Wendepunkt.

(5 BE)

Für die in $\mathbb{R}$ definierte erste Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ gilt $\(f$ Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von $\(f$ an und skizziere in der Abbildung den Graphen von $\(f$

(3 BE)

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F: x \mapsto 4 x-4 \cdot \ln \left(\mathrm{e}^x+1\right).$

Zeige, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

(3 BE)

Beurteile die folgende Aussage:

$\,$

Der Graph von $F$ verläuft vollständig unterhalb der $x$ -Achse.

(3 BE)

Begründe, dass der Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-k}^{k}f(x)\;\mathrm dx$ für jede positive reelle Zahl $k$ ohne Verwendung einer Stammfunktion von $f$ exakt bestimmt werden kann, und gib den Wert des Integrals an.

(4 BE)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $w_{a;b;c}: x \mapsto \frac{a}{b+\mathrm{e}^{cx}}$ mit $a, b \in\mathbb{R}^+$ und $c \in \mathbb{R}.$ Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar.

Jeder der abgebildeten Graphen I, II und III der Schar gehört, bei festen Werten von $a$ und $b$ , zu einem der Werte von $c = -1, c = 0$ und $c = 1.$

Ordne den Graphen die genannten Werte von $c$ zu und begründe deine Zuordnung.

(4 BE)

Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion $w_{40 ; 1 ;-0,2}$ beschrieben, die im Folgenden mit $w$ bezeichnet wird. Es gilt also $w(x)=\frac{40}{1+\mathrm e^{-0,2 x}}.$ Dabei ist $x$ die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und $w(x)$ die Anzahl der Seeadler.

Gib auf Grundlage des Modells an, wie viele Seeadler angesiedelt wurden, und berechne, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Seeadler auf $32$ angewachsen ist.

(4 BE)

Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(0 \mid w(0))$ hat die Steigung $2.$ Würde die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe dieser Tangente beschrieben werden, so ergäbe sich für den Zeitpunkt vier Jahre nach der Ansiedlung eine bestimmte Anzahl von Seeadlern. Untersuche, ob diese Anzahl mit denjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von $w$ ergeben würde.

(3 BE)

Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus der Schar der Funktionen $w_{a ; b ; c}$ beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von $a, b$ und $c.$

$(1) \quad \dfrac{a}{b+1}=20$

$(2) \quad \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{a}{b+\mathrm e^{c x}}=45$

$(3) \quad \dfrac{a}{b+\mathrm e^{15 c}}=35$

Interpretiere jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Ermittle die Werte von $a$ und $b.$

(5 BE)

(40 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Die Funktion $f(x) = \frac{4}{1+\mathrm{e}^x}$ hat keine Nullstellen, da der Zähler keine Nullstellen besitzt. Daher kann $f(x)$ niemals 0 werden. Für die gesuchten Grenzwerte gilt:

$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = 4$

$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0$

Die mittlere Steigung $m$ des Graphen von $f$ im Bereich $-1 \leq x \leq 1$ wird durch den folgenden Differenzenquotienten berechnet:

$m = \dfrac{f(1) - f(-1)}{1 - (-1)}$

Für die benötigten Funktionswerte folgt:

$f(1) = \dfrac{4}{1+\mathrm{e}}$

$f(-1) = \dfrac{4}{1+\frac{1}{\mathrm{e}}}$

Somit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{\frac{4}{1+\mathrm{e}} - \frac{4}{1+\frac{1}{\mathrm{e}}}}{2} \\[5pt] &\approx&\dfrac{-1,848}{2} \\[5pt] &=&-0,92 \end{array}$

Die graphische Bestimmung der Steigung des Graphen von $f$ im Wendepunkt $(0 \mid 2)$ mit Hilfe der Abbildung liefert eine Steigung von ungefähr $-1.$

Bedeutung angeben

Die Gleichung $\(f$ bedeutet, dass der Graph der Ableitungsfunktion $\(f$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse verläuft.

Graphen skizzieren

Mit der Kettenregel folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} F$

Für $x=0$ gilt $F(0) = -4 \ln(2) \lt 0.$ Für eine mögliche Nullstelle von $F$ muss gelten:

Rechenweg anzeigen

$0 = 1$

Somit besitzt $F$ keine Nullstelle, das heißt der Graph von $F$ verläuft vollständig unterhalb der $x$ -Achse. Die Aussage ist damit richtig.

Die Funktion $f(x)$ ist symmetrisch bezüglich des Wendepunkts $(0 \mid 2)$ und besitzt als waagerechte Asymptoten $y=4$ und $y=0.$ Damit liefert das Integral $\displaystyle\int_{-k}^{k}f(x)\;\mathrm dx$ immer den gleichen Wert wie der Inhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $k$ und $4.$ Somit folgt:

$\displaystyle\int_{-k}^{k}f(x)\;\mathrm dx=4k$

Graph I gehört zu $c = 0,$ da der Graph eine konstante Funktion darstellt.
Graph II gehört zu $c = 1,$ da die dargestellte Funktion streng monoton fallend ist und hier somit $c\gt0$ gelten muss.
Graph III gehört zu $c = -1,$ da die dargestellte Funktion hier streng monoton steigend ist und somit $c\lt0$ gilt.

Angesiedelte Seeadler angeben

$w(0) = \dfrac{40}{1+\mathrm{e}^{-0,2\cdot0}} = \dfrac{40}{2} = 20$

Anzahl der Jahre berechnen

Rechenweg anzeigen

$x \approx 6,93$

Es dauert somit ungefähr $6,93$ Jahre, bis die Seeadlerpopulation auf $32$ anwächst.

Die Tangente an den Graphen von $w$ im Punkt $(0 \mid w(0))$ hat die Steigung $2.$ Wenn die Entwicklung der Anzahl der Seeadler mit dieser Tangente beschrieben werden würde, wäre die Anzahl der Seeadler nach vier Jahren $20 + 2 \cdot 4 = 28.$ Nach dem Graphen von $w$ ist die Anzahl der Seeadler nach vier Jahren gegeben durch:

$w(4) = \dfrac{40}{1+\mathrm{e}^{-0,2 \cdot 4}} \approx 27,6$

Da die Anzahl der Seeadler ganzzahlig sein muss, wird auf $28$ gerundet. Die Anzahl der Seeadler bei der Beschreibung mit der Tangente stimmt somit mit der Anzahl der Seeadler bei der Beschreibung mit Hilfe des Graphen von $w$ überein.

Gleichung $(1)$ gibt den Wert $w_{a;b;c}(0)$ an. Die Gleichung besagt somit, dass $20$ Seeadler neu angesiedelt werden.
Gleichung $(2)$ beschreibt, wie viele Seeadler es auf lange Sicht geben wird. Diese Anzahl beträgt $45.$
Gleichung $(3)$ gibt die Anzahl der Seeadler 15 Jahre nach der Neuansiedlung an, welche $35$ beträgt.

Aus Gleichung $(1)$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{b+1}&=&20 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(b+1) \\[5pt] a&=&20b+20 \end{array}$

Einsetzen in $(2)$ liefert:

$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{20b+20}{b+\mathrm e^{c x}}=45$

Für positive Werte von $c$ gilt $\lim\limits_{x\to\infty}\mathrm e^{cx}=\infty$ und der Bruch würde gegen $0$ gehen. Da der Grenzwert des Bruches allerdings $45$ ergibt, muss $c$ entweder negativ sein oder $c=0$ gelten. Für $c=0$ stimmen die linke Seite der Gleichungen $(1)$ und $(3)$ überein. Da jedoch $20\neq35$ gilt, muss $c$ somit negativ sein und es gilt $\lim\limits_{x\to\infty}\mathrm e^{cx}=0.$ Damit liefert Gleichung $(2)$ weiter:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{20b+20}{b}&=&45 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt] 20b+20&=&45b &\quad \scriptsize \mid\;-20b \\[5pt] 20&=&25b &\quad \scriptsize \mid\;:25 \\[5pt] \dfrac{4}{5}&=&b \end{array}$

Einsetzen in $a=20b+20$ liefert für $a:$

$a=20\cdot\dfrac{4}{5}+20=36$

Somit ergeben sich die Werte $a = 36$ und $b = \frac{4}{5}.$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?