Teil A

Gegeben sind die drei Punkte $A(2\mid 1\mid -4)$ , $B(6\mid 1\mid -12)$ und $C(0\mid 1\mid 0).$

Weise nach, dass der Punkt $C$ auf der Gerade $AB$ , nicht aber auf der Strecke $[AB]$ liegt.

(3 BE)

Auf der Strecke $[AB]$ gibt es einen Punkt $D$ , der von $B$ dreimal so weit entfernt ist wie von $A$ . Bestimme die Koordinaten von $D$ .

(2 BE)

Gegeben ist die Ebene $E:\; 2x_1+x_2-2x_3 = -18.$

Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$ -Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$ -Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreieckes. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

(2 BE)

Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene $E$ ist.

(3 BE)

(10 BE)

$\blacktriangleright$ Lage des Punktes nachweisen

Du sollst nachweisen, dass der Punkt $C$ auf der Gerade $AB$ , aber nicht auf der Strecke $[AB]$ liegt. Er liegt also auf der Geraden, aber nicht zwischen den beiden Punkten $A$ und $B$ . Du kannst wie folgt vorgehen:

Stelle eine Gleichung der Geraden $AB$ auf.
Führe eine Punktprobe mit dem Punkt $C$ auf der Geraden $AB$ durch, um zu zeigen, dass $C$ auf der Geraden liegt.
Berechne die Abstände zwischen $A$ und $B$ , $B$ und $C$ und $A$ und $C$ . Ist $\left| [AB]\right| = \left| [AC]\right|+ \left| [BC]\right|,$ liegt der Punkt $C$ auf der Strecke $[AB]$ , andernfalls nicht.

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Eine Geradengleichung hat allgemein folgende Form:

$g: \; \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{r}$

Dabei ist $\overrightarrow{p}$ ein Stützvektor und $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor. Wähle als Stützvektor den Ortsvektor eines Punkts der Geraden, also beispielsweise $\overrightarrow{OA}$ . Als Richtungsvektor kannst du den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ verwenden.

$\overrightarrow{OA} = \pmatrix{2\\1\\-4}$

$\begin{array}[t]{rll} & \overrightarrow{AB} \\[5pt] =&\pmatrix{6\\1\\-12}- \pmatrix{2\\1\\-4} \\[5pt] =& \pmatrix{4\\0\\-8}\\[5pt] \end{array}$

Also erhältst du folgende Geradengleichung:

$AB: \; \overrightarrow{OX}$

$= \pmatrix{2\\1\\-4} +t\cdot \pmatrix{4\\0\\-8}$

2. Schritt: Punktprobe durchführen

Setze den Ortsvektor von $C$ in die Geradengleichung ein und überprüfe, ob es einen Wert für $t$ gibt, für den die Gleichung erfüllt wird.

$\pmatrix{-2\\0\\4}= t\cdot \pmatrix{4\\0\\-8}$

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$t= -0,5$ erfüllt die Gleichung für alle drei Zeilen. Daher liegt der Punkt $C$ auf der Geraden $AB$ .

3. Schritt: Abstände berechnen

Die Abstände zwischen den Punkten, kannst du über den Betrag des jeweiligen Verbindungsvektors berechnen:

$\left| \overrightarrow{AB} \right| = \sqrt{80}$

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$\left| \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{20}$

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$\left| \overrightarrow{BC} \right| = \sqrt{180}$

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Es gilt $\left| \overrightarrow{AC} \right| + \left| \overrightarrow{BC} \right| \neq \left| \overrightarrow{AB} \right|.$ Also liegt der Punkt $C$ nicht auf der Strecke $[AB].$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punkts bestimmen

Der Punkt $D$ soll auf der Strecke $[AB]$ liegen und dreimal so weit entfernt von $B$ sein wie von $A$ . Es gilt also $\overrightarrow{DB} = 3\cdot \overrightarrow{AD}.$ Stelle nun eine Gleichung auf mit Hilfe dieser beiden Vektoren und dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}.$

Es gilt:

$\pmatrix{1\\0\\-2}=\overrightarrow{AD}$

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Damit kannst du nun den Ortsvektor von $D$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{OD} \\[5pt] =&\overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{AD} \\[5pt] =& \pmatrix{2\\1\\-4}+ \pmatrix{1\\0\\-2}\\[5pt] =& \pmatrix{3\\1\\-6} \end{array}$

Die Koordinaten des Punkts lauten $D(3\mid 1\mid -6).$

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, bestimme zunächst die Koordinaten der Eckpunkte. Anschließend kannst du den Flächeninhalt über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren wie folgt berechnen:

$A_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{QR} \right|$

1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen

Einer der Eckpunkte ist der Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$ Ein weiterer Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $x_1$ -Achse. Für alle Punkte auf der $x_1$ -Achse gilt $(x_1\mid 0 \mid 0).$ Setze diese in die Ebenengleichung ein und löse nach $x_1$ auf.

$-9=x_1$

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Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $P(-9\mid 0 \mid 0).$
Für den dritten Eckpunkt kannst du genauso vorgehen. Hierbei handelt es sich um den Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$ -Achse.

$-18 = x_2$

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Die Koordinaten des dritten Eckpunktes lauten $Q(0 \mid -18 \mid 0).$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Setze nun in die obige Formel ein, indem du das Kreuzprodukt mit folgender Formel bildest:

$\begin{array}[t]{rll} &\pmatrix{a_1\\a_2\\a_3} \times \pmatrix{b_1\\b_2\\b_3} \\[5pt] =&\pmatrix{a_2b_3-b_2a_3 \\ a_3b_1- b_3a_1 \\ a_1b_2- b_1a_2} \end{array}$

$A = 81$

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Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $81$ Flächeneinheiten.

$\blacktriangleright$ Koordinaten ermitteln

Gesucht ist ein Vektor $\overrightarrow{v}$ , der sowohl ein Normalenvektor von $E$ ist, als auch der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist. Aus der Ebenengleichung kannst du einen Normalenvektor von $E$ ablesen. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:

$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$ .

Um $t$ zu bestimmen, setze diesen Vektor in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach $t$ auf. So erhältst du das $t$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.

$-2 = t$

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Setze ein:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-4\\-2\\4} \end{array}$

Der Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-4\\-2\\4}$ ist sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes in $E.$