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Inhaltsverzeichnis

Teil B

Gegeben ist die Funktion \(f:x\mapsto \dfrac{4x}{(x+1)^2}\) mit Definitionsmenge \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1 \}.\) Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_f\) von \(f\) im I. Quadranten.
Funktionsgraph
a)
Begründe, dass \(x=0\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist. Gib die Gleichung der senkrechten Asymptote von \(G_f\) an und begründe anhand des Funktionsterms von \(f\), dass \(G_f\) die Gerade mit der Gleichung \(y=0\) als waagrechte Asymptote besitzt.
(3 BE)
b)
Bestimme rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_f.\)
(5 BE)
c)
Begründe, dass \(G_f\) für \(x\lt0\) nur im III. Quadranten verläuft, und zeichne in die Abbildung den darin fehlenden Teil von \(G_f\) ein. Berechne dazu \(f(-3)\) und drei weitere geeignete Funktionswerte von \(f.\)
(4 BE)
d)
Gegeben ist ferner die in \(]-1;+\infty[\) definierte Funktion
\(F: x \mapsto 4 \cdot \ln(x+1)+\dfrac{4}{x+1}.\)
Zeige, dass \(F\) für \(x\gt-1\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
(3 BE)
Ein Pharmaunternehmen führt eine Studie zur Wirksamkeit und Verträglichkeit eines neu entwickelten Medikaments durch. Wenn das Medikament einmalig in Form einer Tablette eingenommen wird, kann die zeitliche Entwicklung der Konzentration des Wirkstoffs im Blut des Patienten modellhaft durch die betrachtete Funktion \(f\) für \(x \in[0 ; 9]\) beschrieben werden. Dabei steht \(x\) für die Zeit in Stunden seit der Einnahme der Tablette und \(f(x)\) für die Konzentration des Wirkstoffs im Blut des Patienten (im Weiteren kurz als Wirkstoffkonzentration bezeichnet) in Milligramm pro Liter \(\left(\frac{\text{mg}}{l}\right).\) Die folgenden Aufgaben e bis i sollen auf der Grundlage dieses Modells bearbeitet werden.
e)
Berechne die Wirkstoffkonzentration \(30\) Minuten nach Einnahme der Tabletten und gib die maximal auftretende Wirkstoffkonzentration an.
(2 BE)
f)
An der Stelle \(x=2\) hat \(G_f\) einen Wendepunkt. Beschreibe, wie man rechnerisch vorgehen könnte, um dies zu begründen. Gib die Bedeutung der \(x\)-Koordinate des Wendepunkts im Sachzusammenhang an.
(3 BE)
In der Pharmakologie wird das in positive \(x\)-Richtung unbegrenzte Flächenstück, das sich im I. Quadranten zwischen \(G_f\) und der \(x\)-Achse befindet, als AUC („area under the curve“) bezeichnet. Nur dann, wenn diesem Flächenstück ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann, kann die betrachtete Funktion \(f\) die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration auch für große Zeitwerte \(x\) realistisch beschreiben.
g)
Die \(x\)-Achse, \(G_f\) und die Gerade mit der Gleichung \(x=b\) mit \(b\in\mathbb{R}^+\) schließen im I. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(b)\) ein. Bestimme mithilfe der in Aufgabe d) angegebenen Stammfunktion \(F\) einen Term für \(A(b)\) und beurteile unter Verwendung dieses Terms, ob die Funktion \(f\) auch für große Zeitwerte eine realistische Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentrsation darstellt.
(4 BE)
Das Medikament zeigt die gewünschte Wirkung erst ab einer bestimmten Wirkstoffkonzentration. Daher soll der Patient nach der ersten Tablette des Medikaments eine zweite identisch wirkende Tablette einnehmen, noch bevor die Konzentration des Wirkstoffs im Blut unter \(0,75\;\frac{\text{mg}}{l}\) fällt. Nach der Einnahme der zweiten Tablette erhöht sich die Wirkstoffkonzentration um die durch diese Tablette verursachte Konzentration des Wirkstoffs im Blut.
h)
Ermittle durch Rechnung den spätesten Zeitpunkt, zu dem die zweite Tablette eingenommen werden soll.
(4 BE)
i)
Wird die zweite Tablette zweieinhalb Stunden nach der ersten Tablette eingenommen, so kann die Wirkstoffkonzentration für \(x\in [2,5;9]\) mit einem der folgenden Terme beschrieben werden. Wähle den passenden Term aus und begründe deine Wahl.
(A)
\(f(x)+f(x+2,5)\)
(B)
\(f(x)+f(x-2,5)\)
(C)
\(f(x-2,5)+f(2,5)\)
(D)
\(f(x)-f(x-2,5)\)
(3 BE)
Verabreicht man das Medikament nicht in Form von Tabletten, sondern mittels einer Dauerinfusion, so wird der Wirkstoff langsam und kontinuierlich zugeführt. Die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(k: x \mapsto \frac{3 \cdot \mathrm e^{2 x}}{\mathrm e^{2 x}+1}-1,5\) beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer Dauerinfusion. Dabei ist \(x\) die seit Anlegen der Dauerinfusion vergangene Zeit in Stunden und \(k(x)\) die Wirkstoffkonzentration in \(\frac{\text{mg}}{l}.\)
j)
Begründe, dass der Graph von \(k\) streng monoton steigend ist.
(zur Kontrolle: \(k)
(4 BE)
k)
Bei Dauerinfusionen dieses Medikaments muss die Wirkstoffkonzentration spätestens \(60\) Minuten nach Beginn der Infusion dauerhaft größer als \(0,75 \;\frac{\text{mg}}{l}\) sein und stets mindestens \(25\,\%\) unter der gesundheitsschädlichen Grenze von \(2 \; \frac{\text{mg}} {l}\) liegen. Ermittle \( \lim\limits_{x\to+\infty} k(x)\) und beurteile beispielsweise unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, ob gemäß der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind.
(5 BE)
(40 BE)