Teil B

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x\mapsto (1-x^2)\cdot \mathrm{e}^{-x}.$
Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ von $f.$

Grafik eines Funktionsgraphen mit Achsenbeschriftung und Gitterlinien.

Zeige, dass $f$ genau zwei Nullstellen besitzt.

(2 BE)

Bestimme rechnerisch die $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_f.$

[Zur Kontrolle: $\(f$ ]

(4 BE)

Ermittle anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-1}^{4}f(x)\;\mathrm dx.$

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F$ ist diejenige Stammfunktion von $f,$ deren Graph durch den Punkt $T(-1 \mid 2)$ verläuft.

Begründe mithilfe der Abbildung, dass der Graph von $F$ im Punkt $T$ einen Tiefpunkt besitzt.

(2 BE)

Skizziere in der Abbildung den Graphen von $F$ . Berücksichtige dabei insbesondere, dass $F(1)\approx 3,5$ und $\lim\limits_{x\to +\infty} F(x)=2$ gilt.

(3 BE)

Deute die Aussage $F(2,5)-F(0)\approx 0$ in Bezug auf $G_f$ geometrisch.

(2 BE)

Betrachtet wird nun die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k:x\mapsto (1-kx^2)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ mit $k\in \mathbb{R}.$ Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.
Für $k=1$ ergibt sich die bisher betrachtete Funktion $f.$

Gib in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Nullstellen von $h_k$ an.

(2 BE)

Für einen bestimmten Wert von $k$ besitzt $G_k$ zwei Schnittpunkte mit der $x$ -Achse, die voneinander den Abstand 4 haben. Berechne diesen Wert.

(3 BE)

Beurteile, ob es einen Wert von $k$ gibt, sodass $G_k$ und $G_f$ bezüglich der $x$ -Achse symmetrisch zueinander liegen.

(2 BE)

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x+1}.$ Ihr Graph wird mit $G_g$ bezeichnet.

Zeige, dass $g$ streng monoton zunehmend ist und die Wertemenge $]0;1[$ besitzt.

$\bigg[$ Zur Kontrolle: $\(g$ $\bigg]$

(5 BE)

Gib $\(g$ an und zeichne $G_g$ im Bereich $-4\leq x \leq 4$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse und der Tatsache, dass $G_g$ in $W (0 \mid g(0))$ seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein.

(3 BE)

Der Graph der Funktion $g^*$ geht aus $G_g$ durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von $g^*$ ist $]-1;1[.$ Gib einen möglichen Funktionsterm für $g^*$ an.

(2 BE)

Es wird das Flächenstück zwischen $G_g$ und der $x$ -Achse im Bereich $-\ln 3\leq x \leq b$ mit $b \in \mathbb{R}^+$ betrachtet. Bestimme den Wert von $b$ so, dass die $y$ -Achse dieses Flächenstück halbiert.

(6 BE)

(40) BE)

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Für Nullstellen von $f$ gilt $f(x)$ $=(1-x^2)\cdot \mathrm e^{-x} =0.$
Da $\mathrm e^{-x}\neq 0$ für alle $x\in \mathbb{R}$ ist, folgt mit dem Satz vom Nullprodukt, dass $f(x)=0$ genau dann gilt, wenn $1-x^2=0$ gilt. Diese quadratische Gleichung hat genau zwei Lösungen, $x_{1;2} = \pm 1,$ sodass $f$ genau zwei Nullstellen besitzt.

Mit der Produktregel ergibt sich für die erste Ableitung von $f:$

Rechenweg anzeigen

$\( f$

Anwendung der notwendigen Bedingung für Extremstellen liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit der $abc$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2} &=& \dfrac{2\pm \sqrt{(-2)^2 +4}}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{2\pm \sqrt{8}}{2} \\[5pt] x_1&\approx& 2,41 \\[5pt] x_2&\approx& -0,41 \end{array}$

Da die Aufgabenstellung besagt, dass es genau zwei Extrempunkte gibt, muss die hinreichende Bedingung nicht überprüft werden. Die $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_f$ lauten somit $x_1\approx 2,41$ und $x_2\approx -0,41.$

Im Intervall $[-1; 1]$ schließt $G_f$ oberhalb der $x$ -Achse mit dieser ca. 6 Kästchen ein, im Intervall $[1; 4]$ ca. 4 Kästchen unterhalb der $x$ -Achse. Da ein Kästchen ca. $0,5\cdot 0,5 = 0,25\;[\text{FE}]$ entspricht, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{4}f(x)\;\mathrm dx&\approx&6\cdot 0,25 - 4\cdot 0,25 \\[5pt] &=&0,5\;[\text{FE}] \end{array}$

Der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=-1$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus zu Plus. Mit dem Vorzeichenwechselkriterium folgt somit, dass der Graph von $F$ an dieser Stelle einen Tiefpunkt besitzt.

Graphen von zwei Funktionen in einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Im Intervall $[0; 2,5]$ ist die Fläche, die $G_f$ mit der $x$ -Achse oberhalb dieser einschließt, genauso groß wie die Fläche, die $G_f$ mit der $x$ -Achse unterhalb dieser einschließt.

Da stets $\mathrm e^{-x}\neq 0$ gilt, ergeben sich die Nullstellen von $h_k$ mit dem Satz vom Nullprodukt als die des Terms $1-kx^2.$ Da $1$ und $x^2$ immer größer als Null sind, folgt:

Für $k\leq 0$ besitzt $h_k$ keine Nullstelle
Für $k\gt 0$ besitzt $h_k$ zwei Nullstellen

Für die Nullstellen von $h_k$ mit $k\gt 0$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h_k(x) &=& 0 \\[5pt] (1-kx^2)\cdot \mathrm{e}^{-x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm{e}^{-x} \\[5pt] 1-k x^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -kx^2&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-k) \\[5pt] x^2 &=& \dfrac{1}{k} \\[5pt] x &=& \pm\sqrt{\dfrac{1}{k}} \end{array}$

Da die beiden Schnittpunkte mit der $x$ -Achse, das heißt die beiden Nullstellen, den Abstand 4 voneinander haben sollen, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\dfrac{1}{k}}- \left(-\sqrt{\dfrac{1}{k}} \right) &=& 4 \\[5pt] 2 \sqrt{\dfrac{1}{k}} &=& 4&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \sqrt{\dfrac{1}{k}} &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] \dfrac{1}{k} &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k\\[5pt] 1 &=& 4k &\quad \scriptsize \mid\;:4\\[5pt] \dfrac{1}{4} &=& k \end{array}$

Für $k=\frac{1}{4}$ haben die beiden Schnittpunkte von $G_k$ mit der $x$ -Achse somit den Abstand 4 voneinander.

Damit die beiden Graphen $G_k$ und $G_f$ bezüglich der $x$ -Achse symmetrisch zueinander liegen, müssen $h_k$ und $f$ mindestens die gleichen Nullstellen besitzen. Die Nullstellen von $f$ folgen aus Aufgabenteil a) als $x_1=-1$ und $x_2=1.$ Gleichsetzen von $x_2$ mit der positiven Nullstelle von $G_k$ aus Aufgabenteil h) liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 1 &=& \sqrt{\dfrac{1}{k}} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 1 &=& \dfrac{1}{k} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k\\[5pt] k&=& 1 \end{array}$

Da $h_1=f$ gilt, gibt es somit keinen weiteren Graphen $G_k,$ der die gleichen Nullstellen wie $G_f$ besitzt, und damit keinen Graphen $G_k$ der bezüglich der $x$ -Achse symmetrisch zu $G_f$ liegt.

Streng monotone Zunahme zeigen

Mit der Quotientenregel folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Da stets $\mathrm e^x\gt0$ gilt, sind sowohl Zähler als auch Nenner stets positiv und es folgt $\(g$ für alle $x\in \mathbb{R}.$ Somit ist $g$ streng monoton zunehmend.

Wertemenge zeigen

Es gilt stets $\mathrm e^x\gt0,$ das heißt $g(x)$ kann den Wert Null nicht annehmen. Zudem gilt $\mathrm e^x\lt \mathrm e^x+1,$ das heißt es folgt $\frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x+1}\lt 1.$ Weiterhin folgt:

$\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x+1} = 0$
$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x+1} = 1$

Somit besitzt $g$ die Wertemenge $W=\;]0;1[.$

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Graph einer Funktion mit Achsenbeschriftung und einer grünen Kurve.

Bei Verschiebung und Streckung eines Graphen in $y$ -Richtung ändert sich auch die Wertemenge. Eine Verschiebung von $G_g$ um $0,5$ Längeneinheiten in negative $y$ -Richtung liefert somit das Intervall $]-0,5;0,5[$ als Wertemenge. Anschließende Streckung in $y$ -Richtung um den Faktor $2$ liefert dann die Wertemenge $W^*=\;]-1;1[$ von $g^*.$ Ein möglicher Funktionsterm von $g^*$ lautet somit:

$g^*: x \mapsto 2\left(\dfrac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x+1}-0,5\right)$

Für den Flächeninhalt $A_1$ des Teilflächenstücks links der $y$ -Achse folgt:

Rechenweg anzeigen

$b \approx 0,69$

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