Teil B

Gegeben sind die Punkte $P(4\mid5\mid-19),$ $Q(5\mid9\mid-18)$ und $R(3\mid7\mid-17),$ die in der Ebene $E$ liegen, sowie die Gerade $g: \overrightarrow{X}= \pmatrix{-12\\11\\0} + \lambda \cdot \pmatrix{1\\2\\0},$ $\lambda \in \mathbb{R}.$

Bestimme die Länge der Strecke $[PQ].$ Zeige, dass das Dreieck $PQR$ bei $R$ rechtwinklig ist, und begründe damit, dass die Strecke $[PQ]$ Durchmesser des Umkreises des Dreiecks $PQR$ ist.

[Zur Kontrolle: $\overline {PQ} = 3 \sqrt{2}$ ]

(4 BE)

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform und zeige, dass die Gerade $g$ in $E$ liegt.

[Zur Kontrolle: $E : 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0$ ]

(5 BE)

Begründe ohne Rechnung, dass $g$ in der $x_1x_2$ -Ebene liegt.

(1 BE)

In einem Modell für einen Küstenabschnitt am Meer beschreibt die $x_1x_2$ -Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die Gerade $g$ die Uferlinie. Die Ebene $E$ stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden dar. Eine Boje schwimmt auf der Wasseroberfläche an der Stelle, die dem Koordinatenursprung $O$ entspricht (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Realität.

Bestimme die Größe des Winkels, unter dem der Meeresboden gegenüber der Wasseroberfläche abfällt.

(3 BE)

Ein Fotograf soll für ein Reisemagazin Unterwasserfotos aufnehmen.

Der Fotograf schwimmt entlang der kürzestmöglichen Strecke von der Uferlinie aus zur Boje. Ermittle die Länge dieser Strecke.

(4 BE)

Von der Boje aus taucht der Fotograf senkrecht bezüglich der Wasseroberfläche nach unten bis zu einer Stelle, deren Abstand zum Meeresboden genau drei Meter beträgt und im Modell durch den Punkt $K$ dargestellt wird.

Bestimme rechnerisch, welche Tiefe unter der Wasseroberfläche der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht.

(5 BE)

Drei kleine farbenfrohe Seesterne befinden sich am Meeresboden und werden im Modell durch die Punkte $P,$ $Q$ und $R$ dargestellt. Der Fotograf bewegt sich für seine Aufnahmen von der Stelle aus, die im Modell durch den Punkt $K$ beschrieben wird, parallel zum Meeresboden. Das Kameraobjektiv zeigt dabei senkrecht zum Meeresboden und hat ein kegelförmiges Sichtfeld mit einem Öffnungswinkel von $90^{\circ}$ (vgl. Abbildung).
Beurteile, ob der Fotograf auf diese Weise eine Stelle erreichen kann, an der er alle drei Seesterne gleichzeitig im Sichtfeld der Kamera sehen kann.

(3 BE)

(25 BE)

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$\left|\overline{PQ}\right|=\left|\pmatrix{5\\9\\-18}-\pmatrix{4\\5\\-19}\right|$ $=\left|\pmatrix{-1\\4\\1}\right|$ $=\sqrt{(-1)^2+4^2+1^2}$ $=\sqrt{18}$ $=3\sqrt{2}$

$\overrightarrow{QR}\circ\overrightarrow{RP}$ $=\pmatrix{-2\\-2\\1}\circ\pmatrix{1\\-2\\-2}$ $=(-2)\cdot 1+(-2)\cdot (-2)+1\cdot (-2)$ $=-2+4+-2$ $=0$

Begründung ist die Umkehrung vom Satz des Thales. Jeder Punkt auf einem Halbkreis über der Strecke $[PQ]$ bildet einen rechten Winkel. Somit ist die Strecke $[PQ]$ der Durchmesser des gesamten Kreises.

$E:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+s\cdot \overrightarrow{PQ}+t\cdot \overrightarrow{PR}$

$E:\vec{x}=\pmatrix{4\\5\\-19}+s\cdot \pmatrix{5-4\\9-5\\-18-(-19)}+t\cdot\pmatrix{3-4\\7-5\\-17-(-19)}$

$E:\vec{x}=\pmatrix{4\\5\\-19}+s\cdot \pmatrix{1\\4\\1}+t\cdot\pmatrix{-1\\2\\2}$

$\pmatrix{1\\4\\1}\circ \vec{n}=0$

$\pmatrix{-1\\2\\2}\circ \vec{n}=0$

$\(\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&n_1+4n_2+n_3&=&0 &\quad \scriptsize\mid\;\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-n_1+2n_2+2n_3&=&0 \\ \hline \text{I$

Z.B. $n_3=2$ in $\(\text{I$

$6\cdot n_2+3\cdot 2=0,$ daraus folgt $n_2=-1$

$n_2$ und $n_3$ in $\text{I}:$

$n_1+4\cdot (-1)+2=0,$ daraus folgt $n_1=2$

$E:2x_1-x_2+2x_3=d$

$P$ in $E:$ $2\cdot 4-5+2\cdot (-19)=d=-35$

$E:2x_1-x_2+2x_3+35=0$

$(-12\mid 11\mid 0)$ in $E:$

$2\cdot (-12)-11+2\cdot 0+35=0$

$0=0$

$\pmatrix{1\\2\\0}\circ\vec{n}=0$

$\pmatrix{2\\-1\\2}\circ\pmatrix{1\\2\\0}=0$

$1\cdot 2+2\cdot (-1)+0\cdot 2=0$

$0=0$

Somit liegt $g$ in $E.$

Für die $x_1x_2$ -Ebene gilt $x_3=0.$

Die $x_3$ -Koordinate des Stützvektors der Gerade beträgt $0$ und der Richtungsvektor bildet mit dem Normalenvektor $\pmatrix{0\\0\\1}$ der Ebene $x_3=0$ ein Skalarprodukt mit dem Wert $0.$

Somit liegt $g$ in der $x_1x_2$ -Ebene.

$\cos(\alpha)=\dfrac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{\left|\vec{n_1}\right|\cdot \left|\vec{n_2}\right|}$

$\cos(\alpha)=\dfrac{\pmatrix{0\\0\\1}\cdot \pmatrix{2\\-1\\2}}{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left|\pmatrix{2\\-1\\2}\right|}$

$\cos(\alpha)=\dfrac{0\cdot 2+0\cdot (-1)+1\cdot 2}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}$

$\cos(\alpha)=\dfrac{2}{1\cdot 3}$

$\alpha\approx 48,19^\circ$

Abstand Punkt-Gerade

$d=\dfrac{|(\vec{p}-\vec{q}) \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$

$\vec{p}$ entspricht dem Koordinatenursprung, $\vec{q}$ ist der Stützvektor und $\vec{u}$ der Richtungsvektor der Gerade $g.$

$d=\dfrac{\left|\left(\pmatrix{0\\0\\0}-\pmatrix{-12\\11\\0}\right)\times \pmatrix{1\\2\\0}\right|}{\left| \pmatrix{1\\2\\0}\right|}$

$d=\dfrac{\left|\pmatrix{-12\\11\\0}\times \pmatrix{1\\2\\0}\right|}{\left| \pmatrix{1\\2\\0}\right|}$

$d=\dfrac{\left|\left(\begin{array}{l}11 \cdot 0-0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1-(-12) \cdot 0 \\ (-12) \cdot 2-11 \cdot 1\end{array}\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2+0^2}}$

$d=\dfrac{35}{\sqrt{5}}$ $=7\sqrt{5}$

Die Länge der Strecke beträgt ca. $15,65\;\text{m}.$

Der Punkt $K$ befindet sich auf der zur Meeresoberfläche senkrechten Gerade $h:\vec{x}=s\cdot \pmatrix{0\\0\\s}$ und hat daher die Koordinaten $K(0\mid 0\mid s).$

Abstand Punkt-Ebene berechnen:

$d=\dfrac{\left|n_1\cdot k_1+n_2\cdot k_2+n_3\cdot k_3-d\right|}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}$

$d=3$

$\dfrac{\left|2\cdot 0+(-1)\cdot 0+2\cdot s-(-35)\right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=3$

$\dfrac{\left|2\cdot s+35\right|}{3}=3$

$\left|2\cdot s+35\right|=9$

1) $2s+35=9,$ also $s_1=-13$

2) $-(2s+35)=9,$ also $s_2=-22$

Der Punkt $K$ hat die Koordinaten $K(0\mid 0\mid -13).$ Der zweite Punkt für $s=-22$ scheidet als Lösung aus, da das unterhalb des Meeresboden wäre.

Somit beträgt die Länge der gesuchten Strecke $13\;\text{m}.$

$b$ entspricht dem Durchmesser des Sichtkegels der Kamera am Boden. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(45^{\circ})&=&\dfrac{\frac{b}{2}}{3 \;\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3 \;\text{m} \;\mid\;\cdot 2 \\[5pt] \tan(45^{\circ})\cdot 3 \;\text{m} \cdot 2&=& b \\[5pt] 6\;\text{m}&=& b \end{array}$

Es genügt den Abstand von $P$ und $Q$ zu berechnen, da $P,$ $Q$ und $R$ auf einem Umkreis liegen und der Abstand von $P$ und $Q$ am größten ist.

Aus Teilaufgabe a) folgt $\left|\overline{PQ}\right|=3\sqrt{2}\;\text{m}.$

$3\sqrt{2} \;\text{m} \lt 6\;\text{m},$ also sind alle Seesterne sichtbar.

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