Teil B

Im Dezember 2021 wurden in Norwegen rund 14000 Pkw neu zugelassen. In einer vereinfachten Übersicht sind die Anteile der verschiedenen Antriebsarten an diesen Neuzulassungen dargestellt:

Für eine Untersuchung werden aus diesen Neuzulassungen 200 Fahrzeuge zufällig ausgewählt und deren Besitzer nach den Gründen für die Wahl der Antriebsart befragt. Da aus einer großen Anzahl von Fahrzeugen nur verhältnismäßig wenige ausgewählt werden, wird das Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen" verwendet.

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$D:$

„Unter den ausgewählten Pkw befinden sich sieben oder acht Verbrenner mit Dieselmotor.“

$E:$

„Unter den ausgewählten Pkw befinden sich mehr als 135 mit rein elektrischem Antrieb.“

(4 BE)

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{25}\pmatrix{200\\k}$ $\cdot 0,1^k$ $\cdot(1-0,1)^{200-k}$ berechnet werden kann.

(3 BE)

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Pkw mit Elektromotor unter den ausgewählten Fahrzeugen. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$ .

(2 BE)

Für einen bestimmten Wert $n \in\{1;2;3;\ldots\}$ werden für $p \in]0;1[$ die binomialverteilten Zufallsgrößen $Z_p$ mit den Parametern $n$ und $p$ betrachtet. Weise nach, dass unter diesen Zufallsgrößen diejenige mit $p=0,5$ die größte Varianz hat.

(3 BE)

Aus den neu zugelassenen Pkw mit Elektromotor werden 40 Fahrzeuge zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybride befinden.

(3 BE)

In Deutschland waren zu Beginn des Jahres 2021 etwa 320000 Pkw mit rein elektrischem Antrieb und 280000 Plug-in-Hybride zugelassen, also insgesamt etwa 600000 Pkw mit Elektromotor. Der Anteil der Pkw mit Elektromotor am Gesamtbestand aller in Deutschland zugelassenen Pkw betrug rund $1,2\,\%.$ Bestimme die Anzahl der Pkw, die aus diesem Gesamtbestand mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $97\,\%$ mindestens ein Pkw mit rein elektrischem Antrieb darunter ist.

(5 BE)

Ein Autozulieferer hat zwei Betriebsstandorte $A$ und $B.$ Die Zahl der Beschäftigten am Standort $A$ ist viermal so groß wie am Standort $B.$ $60\,\%$ aller Beschäftigten des Autozulieferers haben sich für den Kauf eines Jobtickets entschieden, mit dem die Firma die Nutzung des öffentlichen Personennahverkehrs für den Weg zur Arbeit fördert.

Bestimme unter der Annahme, dass der Anteil der Beschäftigten mit einem Jobticket an beiden Standorten gleich ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers am Standort $B$ arbeitet und kein Jobticket besitzt.

(2 BE)

Tatsächlich ist der Anteil der Beschäftigten mit einem Jobticket an beiden Standorten unterschiedlich; am Standort $B$ besitzt nur die Hälfte der Beschäftigten ein Jobticket. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Beschäftigter des Autozulieferers, der ein Jobticket besitzt, am Standort $A$ arbeitet.

(3 BE)

(25 BE)

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Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der PkW mit Dieselmotor in der betrachteten Stichprobe beschreibt. $X$ kann wegen des „Ziehen mit Zurücklegen“-Modells als binomialverteilt mit $n=200$ und $p=0,04$ betrachtet werden.

$P(D)$ $=P_{0,04}^{200}(X = 7)+P_{0,04}^{200}(X = 8)$ $\approx 14,17\,\% + 14,25\,\%$ $= 28,42\,\%$

Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der PkW mit rein elektrischem Antrieb in der betrachteten Stichprobe beschreibt. $Y$ kann analog zu $X$ als binomialverteilt mit $n=200$ und $p=0,65$ betrachtet werden.

$P(E) = P_{0,65}^{200}(Y \gt 135)$ $=1-P_{0,65}^{200}(Y \leq 135)$ $\approx 20,82\,\%$

„Unter den ausgewählten PkW befinden sich höchstens 25 Verbrenner.“

Mit $n=200, p=0,65+0,25$ $= 0,9$ und $1-p$ $= 1-0,9$ $= 0,1$ folgt für den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ der binomialverteilten Zufallsgröße $X:$

$\mu$ $= n\cdot p$ $= 200\cdot 0,9$ $= 180$

$\sigma$ $= \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$ $= \sqrt{200\cdot0,9\cdot0,1}$ $\approx 4,24$

1. Schritt: Funktion für die Varianz aufstellen

Die Varianz der binomialverteilten Zufallsgröße $Z_p$ ist definiert durch $V_Z(p) = n\cdot p\cdot (1-p)$ $= n\cdot p-n\cdot p^2.$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(V_Z$ $= n-2n\cdot p$ $= n\cdot(1-2p)$

$\(\begin{array}[t]{rll} V_Z$

Da $n\neq 0,$ muss mit dem Satz des Nullprodukts $(1-2p)=0$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 1-2p&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1\\[5pt] -2p&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-2)\\[5pt] p&=& 0,5 \end{array}$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(V_Z$ $= -2n \lt 0$

Da die zweite Ableitung stets kleiner Null ist, hat die Zufallsgröße $Z_p$ also für $p=0,5$ die größte Varianz.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten Pkw mit Elektromotor (E) um einen Plug-in-Hybrid (H) handelt, beträgt:

$P_E(H) = \dfrac{P(H\cap E)}{P(E)} = \dfrac{0,25}{0,9} = \dfrac{5}{18}$

Die binomialverteilte Zufallgröße $X$ mit den Parametern $n=40$ und $p=\frac{5}{18}$ gibt daher die Anzahl der Plug-in-Hybride in der Stichprobe von $40$ Pkw mit Elektromotor an.

$P_{\frac{5}{18}}^{40}(X=10)$ $= B(40;\frac{5}{18};10)$ $\approx 13,35\,\%$

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_n,$ die die Anzahl der PkW mit rein elektrischem Antrieb in der betrachteten Stichprobe beschreibt. $X_n$ kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p$ betrachtet werden.

Die Anzahl aller zugelassenen Autos beträgt $600\,000\cdot\frac{100}{1,2}$ $= 50\,000\,000.$
Der Anteil der PkW mit rein elektrischem Antrieb des Gesamtbestandes aller in Deutschland zugelassenen PkW beträgt somit $p=\frac{320\,000}{50\,000\,000}$ $= 0,0064.$

Rechenweg anzeigen

$n \gt 546,15$

Es müssen somit mindestens $547$ Pkw zufällig aus dem Gesamtbestand ausgewählt werden.

$B:$

„Ein Beschätigter arbeitet am Standort $B$ “

$J:$

„Ein Beschäftigter hat ein Jobticket“

Da die Zahl der Beschäftigten am Standort $A$ viermal so groß ist wie am Standort $B,$ folgt $P(B) = 0,2.$ Unter der Annahme aus der Aufgabenstellung folgt mit Hilfe der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: