Teil A

Gib für die Funktionen $f_1$ und $f_2$ jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

$f_1: x \mapsto \dfrac{2x+3}{x^2-4}$

$f_2: x \mapsto \ln\left(x+2 \right)$

(4 BE)

Gib den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion an, deren Graph im Punkt $(2\mid 1)$ eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat.

(3 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= -x^3+9x^2-15x-25.$
Weise nach, dass $f$ folgende Eigenschaften besitzt:

$(1)$

Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=0$ die Steigung $-15.$

$(2)$

Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $A\left(5\mid f(5)\right)$ die $x$ -Achse als Tangente.

$(3)$

Die Tangente $t$ an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $B\left(-1\mid f(-1) \right)$ kann durch die Gleichung $y=-36x-36$ beschrieben werden.

(5 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit dem Wendepunkt $W(1\mid 4).$
Ermittle mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von $f$ an der Stelle $x=1.$
Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ in die Abbildung; berücksichtige dabei insbesondere die Lage der Nullstellen von $\(f$ sowie den für $\(f$ ermittelten Näherungswert.

(3 BE)

Für jeden Wert von $a$ mit $a\in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_a$ durch $f_a(x)=\frac{1}{a}\cdot x^3 -x$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von $f_a$ dar. Gib an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründe deine Antwort.

Abb. 1

Abb. 2

(2 BE)

Für jeden Wert von $a$ besitzt der Graph von $f_a$ genau zwei Extrempunkte. Ermittle denjenigen Wert von $a,$ für den der Graph der Funktion $f_a$ an der Stelle $x=3$ einen Extrempunkt hat.

(3 BE)

(20 BE)

Definitionsmengen angeben

Für die Nullstellen des Nenners von $f_1$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x^2-4&=& 0 \\[5pt] x^2&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] x&=& \pm 2\\[5pt] \end{array}$

Der maximale Definitionsbereich von $f_1$ ergibt sich somit als $\mathbb{D}_{f_1} = \mathbb{R}\setminus \{-2;2\}.$

Bei $f_2$ muss das Argument des Logarithmus positiv sein:

$\begin{array}[t]{rll} x+2&\gt & 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x&\gt & -2 \end{array}$

Der maximale Definitionsbereich von $f_2$ folgt somit als $\mathbb{D}_{f_2} =\;]-2;+\infty[.$

Nullstellen bestimmen

Die Nullstelle von $f_1$ ergibt sich als die Nullstelle des Zählers:

$\begin{array}[t]{rll} 2x+3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] 2x&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=& -1,5 \\[5pt] \end{array}$

Die Logarithmusfunktion $\ln(x)$ besitzt die Nullstelle $x=1.$ Somit folgt für die Nullstelle von $f_2:$

$\begin{array}[t]{rll} x+2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x&=& -1 \end{array}$

Ein Punkt mit waagerechter Tangente, der kein Extrempunkt ist, ist ein Sattelpunkt. Die Funktion $f(x)=x^3$ besitzt einen Sattelpunkt in $(0\mid0).$ Durch Verschiebung von $f$ um zwei Längeneinheiten in $x$ -Richtung und eine Längeneinheit in $y$ -Richtung ergibt sich somit eine mögliche Funktion:

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& f(x-2) +1 \\[5pt] &=& (x-2)^3 +1 \end{array}$

Der Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion, deren Graph im Punkt $(2\mid 1)$ eine waagerechte Tangente, aber keinen Extrempunkt besitzt, ist somit beispielsweise gegeben durch $g(x)= (x-2)^3 +1.$

Ableiten von $f$ liefert:

$\(f$

$(1)$

Steigung

Einsetzen von $x=0$ in $\(f$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Der Graph von $f$ besitzt somit an der Stelle $x=0$ die Steigung $-15.$

$(2)$

Tangente

$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& -5^3+9\cdot 5^2 -15\cdot 5 -25 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Die $x$ -Achse mit der Gleichung $y= 0$ ist somit eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A.$

$(3)$

Tangente

Die Gerade mit der Gleichung $y= -36x-36$ besitzt die Steigung $-36.$ Für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $B$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

Für die Funktionswerte der beiden Funktionen an der Stelle $x=-1$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -36\cdot (-1) -36 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$f(-1)=0$

Da sowohl die beiden Steigungen, als auch die beiden Funktionswerte im Punkt $B$ übereinstimmen, kann die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $B$ durch $y= -36x-36$ beschrieben werden.

Ableitungswert bestimmen

Der Wert der Ableitung von $f$ an der Stelle $x=1$ entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an dieser Stelle. Einzeichnen dieser in die Abbildung und Bestimmung der Steigung mit Hilfe eines Steigungsdreiecks liefert für den gesuchten Wert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Graphen skizzieren

Da $a$ eine positive reelle Zahl ist, folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to +\infty}f_a(x)&=& \lim\limits_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{a}\cdot x^3-x \right) \\[5pt] &=& +\infty \end{array}$

Somit stellt Abbildung 2 den Graph von $f_a$ dar.

Da die Ableitung von $f$ eine quadratische Funktion ist und somit maximal zwei Nullstellen besitzt, muss nur die notwendige Bedingung überprüft werden. Für die Ableitung von $f$ gilt:

$\(f_a$

Einsetzen von $x=3$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Für $a=27$ besitzt der Graph von $f_a$ an der Stelle $x=3$ somit einen Extrempunkt.