Teil A

Gegeben sind die beiden bezüglich der $x_1x_3$ -Ebene symmetrisch liegenden Punkte $A(2\mid 3\mid 1)$ und $B(2\mid -3\mid 1)$ sowie der Punkt $C(0\mid 2\mid 0).$

Weise nach, dass das Dreieck $ABC$ bei $C$ rechtwinklig ist.

(3 BE)

Gib die Koordinaten eines weiteren Punkts $D$ der $x_2$ -Achse an, so dass das Dreieck $ABD$ bei $D$ rechtwinklig ist. Begründe deine Antwort.

(2 BE)

Gegeben ist die Ebene $E:\; 2x_1+x_2-2x_3 = -18.$

Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$ -Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$ -Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreieckes. Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

(2 BE)

Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene $E$ ist.

(3 BE)

(10 BE)

$\blacktriangleright$ Rechten Winkel nachweisen

Du sollst nachweisen, dass das Dreieck $ABC$ bei $C$ einen rechten Winkel besitzt. Dies ist dann der Fall, wenn die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht zueinander stehen. Das ist der Fall, wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt. Berechne also das Skalarprodukt aus den beiden Vektoren:

$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{AC}\circ \overrightarrow{BC} \\[5pt] =& \pmatrix{-2\\-1\\-1}\circ\pmatrix{-2\\5\\-1} \\[5pt] =& 4-5+1 \\[5pt] =& 0 \end{array}$

Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AC}$ und $\overrightarrow{BC}$ stehen also senkrecht zueinander und damit besitzt das Dreieck $ABC$ bei $C$ einen rechten Winkel.

$\blacktriangleright$ Koordinaten eines weiteren Punktes angeben

Der Punkt $D$ soll so wie $C$ auf der $x_2$ -Achse liegen und mit $A$ und $B$ ein Dreieck bilden, das in $D$ einen rechten Winkel besitzt. Du kannst dazu ähnlich vorgehen wie im letzten Aufgabenteil. Die Koordinaten von $D$ lauten $D(0\mid x_2 \mid 0)$ . Die beiden Vektoren $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{BD}$ hängen dann von $x_2$ ab. Setze das Skalarprodukt der beiden mit Null gleich und löse nach $x_2$ .

Damit das Dreieck einen rechten Winkel bei $D$ besitzt, muss $\overrightarrow{AD}\circ \overrightarrow{BD} = 0$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \overrightarrow{AD}\circ \overrightarrow{BD} \\[5pt] & ...& \\[5pt] x_{2_1}&=& 2\\[5pt] x_{2_2}&=& -2\\[5pt] \end{array}$

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Die Koordinaten von $D$ lauten also $D(0\mid -2\mid 0),$ da hierfür $\overrightarrow{AD}\circ \overrightarrow{BD} = 0$ gilt.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, bestimme zunächst die Koordinaten der Eckpunkte. Anschließend kannst du den Flächeninhalt über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren wie folgt berechnen:

$A_{\triangle PQR} = \frac{1}{2} \cdot \left|\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{QR} \right|$

1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen

Einer der Eckpunkte ist der Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$ Ein weiterer Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $x_1$ -Achse. Für alle Punkte auf der $x_1$ -Achse gilt $(x_1\mid 0 \mid 0).$ Setze diese in die Ebenengleichung ein und löse nach $x_1$ auf.

$-9=x_1$

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Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $P(-9\mid 0 \mid 0).$
Für den dritten Eckpunkt kannst du genauso vorgehen. Hierbei handelt es sich um den Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$ -Achse.

$-18 = x_2$

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Die Koordinaten des dritten Eckpunktes lauten $Q(0 \mid -18 \mid 0).$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Setze nun in die obige Formel ein, indem du das Kreuzprodukt mit folgender Formel bildest:

$\begin{array}[t]{rll} &\pmatrix{a_1\\a_2\\a_3} \times \pmatrix{b_1\\b_2\\b_3} \\[5pt] =&\pmatrix{a_2b_3-b_2a_3 \\ a_3b_1- b_3a_1 \\ a_1b_2- b_1a_2} \end{array}$

$A = 81$

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Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $81$ Flächeneinheiten.

$\blacktriangleright$ Koordinaten ermitteln

Gesucht ist ein Vektor $\overrightarrow{v}$ , der sowohl ein Normalenvektor von $E$ ist, als auch der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist. Aus der Ebenengleichung kannst du einen Normalenvektor von $E$ ablesen. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:

$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$ .

Um $t$ zu bestimmen, setze diesen Vektor in die Ebenengleichung von $E$ ein und löse nach $t$ auf. So erhältst du das $t$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.

$-2 = t$

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Setze ein:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-4\\-2\\4} \end{array}$

Der Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-4\\-2\\4}$ ist sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes in $E.$