Teil B

In einer Gemeinde gibt es 6250 Haushalte, von denen 2250 über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Zwei Drittel der Haushalte, die über einen schnellen Internetanschluss verfügen, besitzen auch ein Abonnement eines Streamingdiensts. $46 \,\%$ aller Haushalte verfügen weder über einen schnellen Internetanschluss noch besitzen sie ein Abonnement eines Streamingdiensts.
Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$A:$

„Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss.“

$B:$

„Ein zufällig ausgewählter Haushalt besitzt ein Abonnement eines Streamingdiensts.“

Stelle zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf und überprüfe, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

(5 BE)

Ein Telekommunikationsunternehmen möchte neue Kunden gewinnen. Dazu schickt es an zufällig ausgewählte Haushalte Werbematerial. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $20 \,\%$ noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten

mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.
genau acht bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

(4 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term $0,2 ^{10} +(1- 0,2)^{10}$ angegeben wird.

(2 BE)

Ermittle, wie viele Haushalte das Unternehmen mindestens anschreiben müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\,\%$ wenigstens ein angeschriebener Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, einen solchen einrichten lassen würde.
Gehe dabei davon aus, dass sich jeder hundertste angeschriebene Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, dafür entscheidet, einen solchen einrichten zu lassen.

(5 BE)

Die Zufallsgröße $Y$ kann die Werte $0, 1, 2, 3$ und $4$ annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ mit $a,b \in [0;1].$

$\color{#ffff}{k}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\color{#ffff}{P(Y=k)}$	$a$	$b$	$\dfrac{3}{8}$	$b$	$a$

Beschreibe, woran man unmittelbar erkennen kann, dass der Erwartungswert von $Y$ gleich $2$ ist.

(2 BE)

Die Varianz von $Y$ ist gleich $\frac{11}{8}.$

Bestimme die Werte von $a$ und $b$ .

(5 BE)

Die Zufallsgröße $Z,$ die für eine Laplace-Münze die Anzahl des Auftretens von „Zahl“ bei viermaligem Werfen beschreibt, hat ebenfalls den Erwartungswert $2$ und es gilt analog $P(Z=2)=\frac{3}{8}.$ Berechne die Varianz von $Z,$ vergleiche diese mit der Varianz von $Y$ und beschreibe davon ausgehend einen qualitativen Unterschied der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Z$ und $Y.$

(2 BE)

(25 BE)

Aus der Aufgabenstellung folgt $P(A)=\frac{2250}{6250}=0,36$ und $P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right) = 0,46.$ Da $\frac{1}{3}\cdot0,36=0,24,$ folgt zudem mit Hilfe der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A\cap B) = 0,24.$ Mit diesen Wahrscheinlichkeiten ergibt sich die folgende vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel:

	$\color{#ffff}{A}$	$\color{#ffff}{\overline{A}}$
$\color{#ffff}{B}$	$0,24$	$0,18$	$0,42$
$\color{#ffff}{\overline{B}}$	$0,12$	$0,46$	$0,58$
	$0,36$	$0,64$	$1$

Mit Hilfe der Vierfeldertafel ergibt sich:

$P(A \cap B)= 0,24$

$P(A) \cdot P(B)= 0,36 \cdot 0,42 \approx 0,15$

Da $P(A \cap B)\neq P(A) \cdot P(B)$ gilt, sind die Ereignisse $A$ und $B$ somit nicht stochastisch unabhängig.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Haushalte ohne schnellen Internetanschluss und ist binomialverteilt mit den Parametern $n=10$ und $p=0,2.$ Somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 2)&=&1-P(X\leq 1) \\[5pt] &\approx&0,6242 \\[5pt] &=&62,42\,\% \end{array}$
$P(X=2) = \pmatrix{10\\2} \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^8$ $\approx 0,3020 = 30,2\,\%$

„Es verfügen entweder alle zehn angeschriebenen Haushalte über einen schnellen Internetanschluss oder alle zehn über keinen schnellen Internetanschluss.“

Die Zufallsgröße $X_n$ beschreibt die Anzahl der Haushalte die sich einen schnelleren Internetanschluss einrichten lassen würden und ist binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,01 \cdot 0,2 = 0,002.$ Es folgt:

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$n \gt 2300,28$

Es müssen somit mindestens 2301 Haushalte vom Unternehmen angeschrieben werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\,\%$ mindestens ein neuer schneller Internetanschluss eingerichtet wird.

Aus der Tabelle folgt, dass $2a\lt \frac{5}{8}$ und $2b\lt \frac{5}{8}$ gilt und somit sowohl $a$ als auch $b$ kleiner als $\frac{3}{8}$ sind. Die Wahrscheinlichkeiten mit denen $Y$ seine jeweiligen Werte annimmt liegen somit symmetrisch zur größten Wahrscheinlichkeit bei $k=2,$ das heißt der Erwartungswert von $Y$ beträgt $2.$

Mit dem Erwartungswert aus Teilaufgabe 3a folgt:

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$a = \dfrac{5}{16} - b$

Mit Hilfe der Formel für die Varianz folgt weiter:

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$8a+2b = \dfrac{11}{8}$

Einsetzen von $a=\frac{5}{16}-b$ in diese Gleichung liefert:

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$b = \dfrac{3}{16}$

Die Werte von $a$ und $b$ lauten somit $a=\frac{5}{16}- \frac{3}{16}=\frac{1}{8}$ und $b= \frac{3}{16}.$

Für die Varianz von $Z$ folgt $\text{Var}(Z) = 4 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 1,$ das heißt die Varianz von $Z$ ist kleiner als die von $Y.$
Die Werte, die die Zufallsgröße $Z$ annimmt, liegen somit im Schnitt näher am Erwartungswert der Zufallsgröße, als das bei $Y$ der Fall ist.