Teil A
1
Die Punkte 
und 
liegen in der Ebene 
a)
Bestimme eine Gleichung von 
in Normalenform.
(4 BE)
b)
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der 
-Achse an.
(1 BE)
2
Gegeben sind die Punkte 
und 
sowie die Gerade
a)
Die Gerade 
verläuft durch die Punkte 
und 
Zeige, dass sich 
und im Punkt 
senkrecht schneiden.
(4 BE)
b)
Ein Punkt 
liegt auf und ist verschieden von 
Gib die besondere Bedeutung der Strecke ![\([CF]\)](https://mathjax.schullv.de/62122a4a6506a8bc19a4676704f44b4963288a6e8d957392d8c6968cb0a0cfd2?color=5a5a5a)
im Dreieck 
an.
(1 BE)
(10 BE)
1
a)
Ein möglicher Normalenvektor von ergibt sich wie folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-1\\1\\1} \times \pmatrix{-2\\1\\-1} \\[5pt]
&=& \pmatrix{1\cdot (-1) - 1\cdot 1\\ 1\cdot (-2) - (-1) \cdot (-1) \\ (-1) \cdot 1 -1\cdot (-2)} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-2\\ -3 \\ 1} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e7e755996480a468d538b3dd5fbf43f1894fb654f5a3ca120cf44516437911ff?color=5a5a5a)
Einsetzen der Koordinaten von beispielsweise in 
liefert für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
-2\cdot 1-3\cdot 1+1\cdot 1 &=& d \\[5pt]
-4&=&d
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8d6c1d61cbbe25a4f94db898bf9de06a85fe3cd6833483d19f9635bb1a65a453?color=5a5a5a)
Eine mögliche Ebenengleichung von in Normalenform ist somit wie folgt gegeben:
b)
Die 
- und 
-Koordinate aller Punkte auf der -Achse ist Null. Einsetzen in die Ebenengleichung von aus Aufgabenteil a) liefert:
schneidet die -Achse somit im Punkt mit den Koordinaten 
2
a)
Eine Gleichung von lautet:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h:\overrightarrow{X}&=& \overrightarrow{OA} + r\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt]
&=& \pmatrix{0\\0\\0} +r\cdot \pmatrix{3\\-6\\6} \\[5pt]
&=&r\cdot \pmatrix{3\\-6\\6}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4b2f408c6dbba743336a2af7943693668af40a441d766633579a796ad1fff32b?color=5a5a5a)
Gleichsetzen von 
mit der Geradengleichung von liefert:
Diese Gleichung ist für 
erfüllt, das heißt der Punkt liegt auf der Geraden 
Gleichsetzen von mit der Geradengleichung von liefert weiter:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\pmatrix{2\\-4\\4}&=& r\cdot \pmatrix{3\\-6\\6}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9651a8f51404c69df231523eb8d6b546e4aa145fcc04dff36ac0de3ebcc39650?color=5a5a5a)
Diese Gleichung ist für 
erfüllt, das heißt ist ein gemeinsamer Punkt von und 
Für das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden folgt: Die beiden Geraden und schneiden sich somit im Punkt senkrecht.
Für das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der beiden Geraden folgt: Die beiden Geraden
b)
Da nach Aufgabenteil 2a) für den Geradenparameter von die Ungleichung 
gilt, liegt auf der Strecke ![\([AB].\)](https://mathjax.schullv.de/d61e2c49dfb88a5e04d2709bb7878843718ad3be81571df7a1f38061c4320e0b?color=5a5a5a)
Da die Strecke ![\([AB]\)](https://mathjax.schullv.de/92f96dbb66281ccee0783c587f30bb42bd1452e61fe41eac2e04eeee7fce99a2?color=5a5a5a)
zudem auf der Geraden liegt, die Strecke auf der Geraden liegt und die beiden Geraden senkrecht zueinander stehen, ist die Strecke die Höhe des Dreiecks zur Seite