Analysis Prüfungsteil B

Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto20\cdot\ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right)$ mit Definitionsmenge $D_f=]0;\;1[$ .
Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

1 $\;\;$ a) Bestimme die Nullstelle von $f$ . Untersuche das Verhalten von $f$ an den Grenzen von $D_f$ und gib die Gleichungen der Asymptoten von $G_f$ an.

(5P)

b) Begründe, dass $f$ in $D_f$ umkehrbar ist. Untersuche das Krümmungsverhalten von $G_f$ . Bestimme die Gleichung der Tangente $w$ an $G_f$ im Wendepunkt $W$ von $G_f$ .

(zur Kontrolle: $x$ -Koordinate von $W:\frac{1}{2}$ )

(5P)

c) Verschiebt man $G_f$ so, dass der Wendepunkt $W$ im Ursprung liegt, erhält man den Graphen der Funktion $g$ . Gib den Funktionsterm von $g$ an. Welche Folgerung für $G_f$ ergibt sich aus der Tatsache, dass der Graph von $g$ punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist?

(3P)

d) Zeichne $G_f$ und die Tangente $w$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.

(4P)

e) $G_f$ schließt mit den Koordinatenachsen und der Tangente $w$ ein Flächenstück mit dem Inhalt $A$ ein. Berechnen $A$ .

(4P)

2 Mithilfe der Funktion $f$ lässt sich modellhaft das Alter einer Fichte in Abhängigkeit von ihrer Stammdicke $x$ in Metern beschreiben, sofern die Fichte zwischen $10$ und $120$ Jahre alt ist. Als Stammdicke wird der in $1,30\,\text{m}$ Höhe über dem Erdboden gemessene Durchmesser des Fichtenstamms bezeichnet. Der Funktionsterm $f(x)=20\cdot\ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right)$ gibt im Modell das Alter der Fichte in Jahren an.

a) Bestimme auf der Grundlage des Modells das Alter einer Fichte, deren Stammdicke $40\,\text{cm}$ beträgt.

(2P)

b) Ermittle rechnerisch die Werte der Stammdicke, für die das Modell aufgrund des angegebenen Altersbereichs gültig ist.

(zur Kontrolle: von etwa $8\,\text{cm}$ bis etwa $95\,\text{cm}$ )

(3P)

c) Interpretiere die Bedeutung der $y$ -Koordinate des Wendepunkts $W$ von $G_f$ in Bezug auf die Wachstumsgeschwindigkeit der Stammdicke in Abhängigkeit vom Baumalter.

(2P)

d) Abbildung 1 Zeigt den Graphen $G_h$ einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h:x\mapsto a\cdot\dfrac{\mathrm e^{bx}}{\mathrm e^{bx}+c}$ mit $a$ , $b$ , $c\in\mathbb{R}^+$ .

Begründe mithilfe des Grenzwerts $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=40$ , dass $a=40$ ist, und mithilfe des Achsenschnittpunkts $S(0\mid4)$ von $G_h$ , dass $c=9$ ist.

Bestimme mithilfe des Wendepunkts $W_h\left(40\cdot\ln9\mid h\left(40\cdot\ln9\right)\right)$ den Wert von $b$ .

Graph mit einer Kurve, die die Beziehung zwischen x- und y-Werten zeigt, inklusive markierter Punkte.

Abbildung 1

(5P)

e) Mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion

$h:x\mapsto40\cdot\dfrac{\mathrm e^{0,025x}}{\mathrm e^{0,025x}+9}$

kann im Bereich $10\leq x\leq120$ modellhaft die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit von ihrem Alter beschrieben werden. Dabei ist $x$ das Alter der Fichte in Jahren und $h(x)$ die Höhe der Fichte in Metern.

Berechne auf der Grundlage der beiden betrachteten Modelle die Höhe einer Fichte mit einer Stammdicke von $25\,\text{cm}$ und trage den zugehörigen Punkt in Abbildung 2 ein.

Diagramm zur Darstellung von Baumhöhe und Stammdicke. Achsen beschriftet in Metern.

Abbildung 2

(3P)

f) Zeichne in Abbildung 2 den Verlauf des Graphen der Funktion, die auf der Grundlage der beiden betrachteten Modelle die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit von ihrer Stammdicke beschreibt.

(4P)

(40P)

Aufgabengruppe 2

1 Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto\sqrt{16-2x}=\sqrt{2(8-x)}$ mit maximalem Definitionsbereich $D_f$ . Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f$ .

Diagramm mit Koordinatensystem und einer Kurve, die von oben links nach unten rechts verläuft.

Abbildung 1

a) Zeichne den Graphen der in $\mathbb{R}^+_0$ definierten Funktion $w:x\mapsto\sqrt{x}$ in Abbildung 1 ein. Gib eine Möglichkeit dafür an, wie der Graph von $f$ schrittweise aus dem Graphen von $w$ hervorgehen kann.

(4P)

b) Bestimme die Größe des Winkels, den $G_f$ und die $y$ -Achse einschließen. Begründe, dass $G_f$ keine waagrechte Tangente besitzt.

(4P)

$\;\;$ Für jedes $x\in D_f$ mit $0\lt x\lt 8$ wird ein Dreieck $OP_xQ_x$ mit den Eckpunkten $O(0\mid0)$ , $P_x(x\mid0)$ und $Q_x(x\mid f(x))$ festgelegt.

c) Trage für $x=4$ das zugehörige Dreieck $OP_4Q_4$ in Abbildung 1 ein.
Begründe, dass der Flächeninhalt $A$ des Dreiecks $OP_xQ_x$ durch den Term $A(x)=\sqrt{4x^2-\dfrac{1}{2}x^3}$ beschrieben wird.

(4P)

d) Es gibt ein Dreieck $OP_xQ_x$ mit maximalem Flächeninhalt $A_{\text{max}}$ .
Bestimme den prozentualen Anteil von $A_{\text{max}}$ am Inhalt der Fläche, die $G_f$ im I. Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt.

(5P)

2 Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_f$ der Funktion $f$ aus Aufgabe 1. Gegeben ist weiter die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-\dfrac{1}{2}x+7,5$ .

Grafik mit einem Diagramm, das eine Kurve in einem Koordinatensystem darstellt.

Abbildung 2

a) Zeichne die Gerade $g$ in Abbildung 2 ein. Bestimmen rechnerisch die Koordinaten des Punkts $T(x_T\mid y_T)$ von $G_f$ , in dem die Tangente an $G_f$ parallel zur Geraden $g$ ist.

(Teilergebnis: $x_T=6$ )

(3P)

b) Berechne den Abstand $d$ des Punkts $T$ von der Geraden $g$ .

(4P)

$\;\;$ Betrachtet wird zusätzlich die Differenzfunktion $u:x\mapsto g(x)-f(x)$ mit dem Definitionsbereich $D_u=D_f$ .

c) Zeige, dass $u$ an der Stelle $x_T$ ein Minimum $u(x_T)$ besitzt.

(3P)

d) Begründe ohne Rechnung, dass das Minimum $u(x_T)$ der Differenzfunktion $u$ größer ist als der Abstand des Punkts $T$ von der Geraden $g$ .
Zeichne dazu auch geeignete Strecken in Abbildung 2 ein.

(3P)

3 Ein Fahrzeug bremst mit konstanter Verzögerung bis zum Stillstand ab. Der gesamte Bremsweg in Metern wird dabei mit $x_B$ bezeichnet.

Die Geschwindigkeit des Fahrzeugs beträgt zu Beginn des Bremsvorgangs $20\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und nimmt in den ersten zehn Metern um $2\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ ab.

Für $0\leq x\leq x_B$ gibt den Term $v(x)=\sqrt{20^2-2ax}$ die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ während des Bremsvorgangs in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg $x$ in Metern an. Dabei ist $a$ der Betrag der Verzögerung des Fahrzeugs in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ .

a) Bestimme die Werte von $a$ und $x_B$ .

(Ergebnis: $a=3,8;\;x_B=\frac{1.000}{19}$ )

(4P)

c) Betrachtet wird für $0\leq x\leq x_B-10$ der Term $h(x)=v(x)-v(x+10)$ .
Erläutere die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang.
Begründe, dass $2\sqrt{19}$ der maximale Wert von $h(x)$ ist.

(6P)

(40P)

Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen

Hier sollst du die Nullstellen von $f$ bestimmen. Setze den Funktionsterm von $f$ null und löse die Gleichung nach $x$ auf, um die Nullstellen zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} 20 \cdot \ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right)&=&0 \quad \scriptsize \mid\; :20\\[5pt] \ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right)&=&0\quad \scriptsize \mid\; \mathrm{e}^{()}\\[5pt] \dfrac{20x}{1-x}&=&\mathrm{e}^0\quad \scriptsize \mid\; \cdot (1-x)\\[5pt] 20x &=&1-x\quad \scriptsize \mid\; +x\\[5pt] 21x &=&1\quad \scriptsize \mid\; :21\\[5pt] x &=&\dfrac{1}{21} \end{array}$

Alternativ kannst du diese Gleichung auch mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.

Mathematische Gleichung zur Berechnung von Nullstellen. Bildschirmansicht einer Software.

$\blacktriangleright$ Grenzwerte bestimmen

Du sollst das Verhalten von $f$ an den Grenzen des Definitionsbereichs untersuchen. Du sollst also die beiden Grenzwerte

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to0^+}f(x)&=&\lim\limits_{x\to0^+}20 \cdot \ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \\[5pt] \lim\limits_{x\to1^-}f(x)&=&\lim\limits_{x\to1^-}20 \cdot \ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \end{array}$

berechnen.

menu 4: Analysis 4: Limes

Mathematische Darstellung von Grenzwerten und einer Funktion in einem digitalen Tool.

Für das Verhalten der Funktion $f$ an den Grenzen von $D_f$ gilt

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to0^+}f(x)&=&\lim\limits_{x\to0^+}20 \cdot \ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right) = - \infty \\[5pt] \lim\limits_{x\to1^-}f(x)&=&\lim\limits_{x\to1^-}20 \cdot \ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right) = \infty \end{array}$

$\blacktriangleright$ Asymptoten bestimmen

Nun sollst du noch die Asymptoten von $f$ bestimmen. Die senkrechten Asymptoten sind die Definitionslücken der Funktion, also die Werte, die du nicht in die Funktion einsetzen darfst.

Für $x=0$ wäre das Argument im natürlichen Logarithmus gleich null, dieser ist für null jedoch nicht definiert. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet also

$x = 0$ .

Für $x =1$ würdest du durch null teilen, das liefert dir die Gleichung der 2. senkrechten Asymptoten:

$x = 1$ .

b) $\blacktriangleright$ Umkehrbarkeit der Funktion begründen

Du sollst begründen, dass die Funktion $f$ umkehrbar ist. Eine Funktion ist umkehrbar, falls für alle $x,y \in D_f$ aus $\color{#87c800}{\boldsymbol{f(x)=f(y)}}$ auch $\color{#87c800}{\boldsymbol{x=y}}$ folgt.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&f(y)\\[5pt] 20\cdot \ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right)&=&20\cdot \ln\left(\dfrac{20y}{1-y}\right)\quad \scriptsize \mid\; :20\\[5pt] \ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right)&=&\ln\left(\dfrac{20y}{1-y}\right)\quad \scriptsize \mid\; \mathrm{e}^{()}\\[5pt] \dfrac{20x}{1-x}&=&\dfrac{20y}{1-y}\quad \scriptsize \mid\; :20\\[5pt] \dfrac{x}{1-x}&=&\dfrac{y}{1-y}\quad \scriptsize \mid\; \cdot (1-y)\\[5pt] \dfrac{x(1-y)}{1-x}&=&y\quad \scriptsize \mid\; \cdot (1-x)\\[5pt] x-xy &=&y-xy\quad \scriptsize \mid\; +xy\\[5pt] x&=&y \end{array}$

Die Funktion $f$ ist somit umkehrbar auf $D_f$ .

$\blacktriangleright$ Krümmungsverhalten untersuchen

Das Krümmungsverhalten einer Funktion untersuchst du mit der 2. Ableitung. Es gilt

$f‘‘(x) \lt 0\quad$ rechtsgekrümmt

$f‘‘(x) > 0\quad$ linksgekrümmt

Bilde also die ersten beiden Ableitungen und untersuche dann, ob die 2. Ableitung größer (linksgekrümmt) oder kleiner (rechtsgekrümmt) als null ist.

menu 4: Analysis 1: Ableitung

Mathematische Darstellung von Ableitungen mit Formeln und Ergebnissen.

Mit dem solve-Befehl deines CAS kannst du nun die beiden Ungleichungen

$f‘‘(x) > 0$ und $f‘‘(x) \lt 0$

lösen.

Mathematische Gleichungen und Lösungsansätze zur Krümmung in einer Softwareanwendung.

Die Funktion ist also für $x \in ]0;0,5[$ rechtsgekrümmt und für $x \in ]0,5;1[$ linksgekrümmt.

$\blacktriangleright$ Tangente im Wendepunkt bestimmen

In diesem Aufgabenteil ist außerdem noch nach der Tangente an $G_f$ im Wendepunkt gefragt. Berechne zunächst die Koordinaten des Wendepunkts von $G_f$ . Bestimme anschließend die Steigung im Wendepunkt. Die gesuchte Tangente hat dann die berechnete Steigung und verläuft durch den Wendepunkt.

1. Schritt: Wendepunkt bestimmen

Den Wendepunkt kannst du bestimmen, indem du die 2. Ableitung null setzt. Die zugehörige $y$ -Koordinate erhältst du, indem du den $x$ -Wert des Wendepunkts in die Gleichung der Funktion $f$ einsetzt.

Screenshot einer mathematischen Software mit Ableitungen und Gleichungen.

Der Wendepunkt von $G_f$ hat die Koordinaten $W(0,5 \mid 59,9146)$ .

2. Schritt: Steigung bestimmen

Die Steigung im Wendepunkt berechnest du, indem du die $x$ -Koordinate des Wendepunkts in die erste Ableitung einsetzt.

Mathematische Darstellung von Funktionen und Wendepunkten in einer Software.

Die Steigung im Wendepunkt beträgt $m=80$ .

3. Schritt: Tangentengleichung bestimmen

Die gesuchte Tangente $w$ hat dann die berechnete Steigung $m=80$ und verläuft durch den Wendepunkt $W(0,5 \mid 59,9146)$ .

Die allgemeine Gleichung einer Tangente lautet:

$y = mx +b$

Setze die Steigung $m$ und den Punkt $W$ in die Gleichung ein und löse diese nach $b$ auf, um die Gleichung von $w$ zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} 59,9146&=& 80 \cdot 0,5 +b \\[5pt] 59,9146&=& 40 +b \quad \scriptsize \mid\; -40\\[5pt] b&=&19,9146 \end{array}$

Somit lautet die Tangentengleichung $w(x) = 80x+19,9146$ .

c) $\blacktriangleright$ Verschieben von $\boldsymbol{G_f}$

Der Graph $G_f$ soll so verschoben werden, dass sich der Wendepunkt im Ursprung befindet. Die Koordinaten des Wendepunkts lauten $W(0,5 \mid 59,9146)$ . Verschiebe den Graphen zunächst in $x$ -Richtung und anschließend in $y$ - Richtung.

Eine Funktion wird in $x$ -Richtung um $c$ verschoben durch $\color{#87c800}{\boldsymbol{f(x-c)}}$ . Hier soll der Graph um $c=-0,5$ in $x$ -Richtung verschoben werden.

$f(x+0,5) = 20\cdot \ln\left(\dfrac{20(x+0,5)}{1-(x+0,5)}\right) = 20\cdot \ln\left(\dfrac{20x+10}{0,5-x}\right)$

Eine Funktion wird zusätzlich in $y$ -Richtung um $d$ verschoben durch $\color{#87c800}{\boldsymbol{f(x-c)+d}}$ . Die verschobene Funktion soll durch den Punkt $O(0 \mid 0)$ verlaufen. Setze diesen Punkt ein und berechne $d$ .

$\begin{array}[t]{rll} f(0+0,5)+ d&=&0 \\[5pt] 20\cdot \ln\left(\dfrac{20\cdot 0+10}{0,5-0}\right)+ d&=&0\\[5pt] 20\cdot \ln\left(20\right)+ d&=&0 \quad \scriptsize \mid\; -20 \cdot \ln(20)\\[5pt] d&=&-20 \cdot \ln(20)\\[5pt] d&=& -59,9146 \end{array}$

Die verschobene Funktion lautet also

$g(x) = 20\cdot \ln\left(\dfrac{20x+10}{0,5-x}\right) - 59,9146$

$\blacktriangleright$ Folgerung aus der Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Aus der Punktsymmetrie des Graphen $G_g$ folge, dass der am Ursprung gespiegelte Punkt auf $G_g$ wieder auf $G_g$ liegt und es gilt:

$g(x) = -g(-x)$ .

d) $\blacktriangleright$ Skizzieren von $\boldsymbol{G_f}$

Du sollst den Graphen $G_f$ und $w$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Das weißt du über den Graphen von $f$ :

$G_f$ besitzt den Wendepunkt: $W(0,5 \mid 59,9146)$

$G_f$ besitzt die senkrechte Asymptote $x=0$

$G_f$ besitzt die senkrechte Asymptoten $x=1$

$G_f$ ist in $]0;0,5[$ rechtsgekrümmt

$G_f$ ist in $]0,5;1[$ linksgekrümmt

Grafik mit Achsen und Datenpunkten, die eine statistische Verteilung oder Trend darstellen.

e) $\blacktriangleright$ Fläche berechnen

Der Graphen $G_f$ und $w$ schließen mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Du sollst den Inhalt dieser Fläche berechnen.

Die linke Flächengrenze ist $x=0$ , da die $y$ -Achse die Fläche begrenzen soll. Die rechte Flächengrenze ist die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts von den Graphen der Funktionen $f$ und $w$ . Das ist gerade die $x$ -Koordinate des Wendepunkts $x=0,5$ .

Du sollst also folgendes Integral berechnen:

$I = \left|\displaystyle\int_{0}^{0,5}w(x) - f(x)\;\mathrm dx\right|$

Dafür kannst du dein CAS verwenden.

menu 4: Analysis 3: Integral

Mathematische Berechnungen mit Integralen und Funktionen in einer Software-Anwendung.

Der Flächeninhalt ist 3,86292.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Alter der Fichte bestimmen

Hier ist dir die Funktion $f$ gegeben, die das Alter der Fichte in Jahren angibt und $x$ ist die Stammdicke in Metern, mit:

$f(x) = 20 \cdot \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right)$

Deine Aufgabe ist es, das Alter einer Fichte zu bestimmen, die eine Stammdicke von 40 cm = 0,4 m hat.
Setze also die Stammdicke in die Funktionsgleichung von $f$ ein und berechne das Alter.

$\begin{array}[t]{rll} f(0,4)&=& 20 \cdot \ln \left(\dfrac{20\cdot 0,4}{1-0,4}\right) \\[5pt] &=&20 \cdot \ln \left(\dfrac{8}{0,6}\right)\\[5pt] &\approx&51,805 \end{array}$

Die Fichte ist ungefähr 52 Jahre alt.

b) $\blacktriangleright$ Mögliche Werte für Stammdicke bestimmen

In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass das Modell für Fichten mit einem Alter zwischen 10 und 120 Jahren gültig ist. Du sollst nun die möglichen Werte der Stammdicke rechnerisch bestimmen.
Setze dafür die Grenzen des Altersbereichs in die Gleichung von $f$ ein und löse nach $x$ auf, um die Stammdicke zu berechnen.

1. Schritt: linke Grenze

Für die linke Grenze des Intervalls, das die Stammdicke angibt, löse die Gleichung $f(x) = 10$ nach $x$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 20 \cdot \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right)&=&10 \quad \scriptsize \mid\;:20 \\[5pt] \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right)&=&\dfrac{1}{2}\quad \scriptsize \mid\;\mathrm{e}^{()} \\[5pt] \dfrac{20x}{1-x}&=&\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\quad \scriptsize \mid\;\cdot (1-x) \\[5pt] 20x &=&\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}-\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}x\quad \scriptsize \mid\;+\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}x \\[5pt] 20x+\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}x &=&\mathrm{e}^{\frac{1}{2}} \\[5pt] (20+\mathrm{e}^{\frac{1}{2}})x &=&\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\quad \scriptsize \mid\; :(20+\mathrm{e}^{\frac{1}{2}})\\[5pt] x&\approx&0,076 \end{array}$

Die linke Grenze des Intervalls liegt bei 8 cm.

2. Schritt: rechte Grenze

Für die rechte Grenze des Intervalls, das die Stammdicke angibt, löse die Gleichung $f(x) = 120$ nach $x$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 20 \cdot \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right)&=&120 \quad \scriptsize \mid\;:20 \\[5pt] \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right)&=&6\quad \scriptsize \mid\;\mathrm{e}^{()} \\[5pt] \dfrac{20x}{1-x}&=&\mathrm{e}^{6}\quad \scriptsize \mid\;\cdot (1-x) \\[5pt] 20x &=&\mathrm{e}^{6}-\mathrm{e}^{6}x\quad \scriptsize \mid\;+\mathrm{e}^{6}x \\[5pt] 20x+\mathrm{e}^{6}x &=&\mathrm{e}^{6} \\[5pt] (20+\mathrm{e}^{6})x &=&\mathrm{e}^{6}\quad \scriptsize \mid\; :(20+\mathrm{e}^{6})\\[5pt] x&\approx&0,953 \end{array}$

Die linke Grenze des Intervalls liegt bei 95 cm.

c) $\blacktriangleright$ Interpretieren des Wendepunkts

Du sollst nun die Bedeutung der $y$ -Koordinate des Wendepunkts $W$ von $G_f$ in Bezug auf die Wachstumsgeschwindigkeit der Stammdicke in Abhängigkeit vom Baumalter interpretieren.

Vor dem Wendepunkt $W$ ist $G_f$ rechtsgekrümmt, das bedeutet, mit zunehmenden Alter wird die Wachstumsgeschwindigkeit kleiner. Nach dem Wendepunkt ist $G_f$ linksgekrümmt, das bedeutet, mit zunehmendem Alter wird die Wachstumsgeschwindigkeit wieder größer. Die $y$ -Koordinate des Wendepunkts ist somit das Alter ab dem die Wachstumsgeschwindigkeit wieder zunimmt.

d) $\blacktriangleright$ Begründe den Parameterwert für a

Du hast die Funktion $h$ mit $h(x)= a\cdot \frac{\mathrm{e}^{bx}}{\mathrm{e}^{bx}+c}$ gegeben, wobei $a,b,c\ \in \mathbb{R}^+$ .

Der Grenzwert dieser Funktion ist $\lim_{x \to \infty} h(x) = 40$ . Du sollst nun mit diesem Grenzwert begründen, warum $a=40$ gilt.

Betrachte dafür den Grenzwert des Bruchs:

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{bx}}{\mathrm{e}^{bx}+c}$ $= \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{bx}+c}{\mathrm{e}^{bx}}\right)^{-1}$ $= \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{\mathrm{e}^{bx}}{\mathrm{e}^{bx}} + \dfrac{c}{\mathrm{e}^{bx}}\right)^{-1}$ $= \lim\limits_{x\to\infty}\left(1 + \dfrac{c}{\mathrm{e}^{bx}}\right)^{-1} = (1+0)^{-1} = 1$

Somit gilt

$\begin{array}[t]{rll} 40 &=& \lim\limits_{x\to\infty}h(x)\\[5pt] 40 &=& \lim\limits_{x\to\infty}a \cdot \dfrac{\mathrm{e}^{bx}}{\mathrm{e}^{bx}+c}\\[5pt] 40&=&a\cdot \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{bx}}{\mathrm{e}^{bx}+c}\\[5pt] 40&=&a \end{array}$

$\blacktriangleright$ Begründe den Parameterwert für c

Du hast den Punkt $S(0 \mid 4)$ gegeben und sollst damit begründen, warum $c=9$ gilt.

Setze den Punkt in die Gleichung von $h$ ein und löse nach $c$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 4&=&h(0) \quad\\[5pt] 4&=&40\cdot \frac{\mathrm{e}^{b\cdot 0}}{\mathrm{e}^{b\cdot 0}+c}\quad \scriptsize \mid\; :40 \\[5pt] \dfrac{1}{10}&=&\frac{1}{1+c}\quad \scriptsize \mid\; \cdot (1+c) \\[5pt] \dfrac{1+c}{10}&=&1\quad \scriptsize \mid\; \cdot 10\\[5pt] 1+c&=&10\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] c&=&9 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Wert für b bestimmen

Du sollst nun mit dem Wendepunkt $W_h(40 \cdot \ln(9) \mid h(40\cdot \ln(9)))$ den Wert für $b$ bestimmen. Setze die anderen Parameter in die Funktionsgleichung von $h$ ein und bilde die 2. Ableitung, da diese null ist für den Wendepunkt. Löse also folgende Gleichung nach $b$ auf

$h‘‘(40 \cdot \ln(9)) = 0$ .

Dafür kannst du dein CAS verweden.

Mathematische Berechnung mit Ableitungen und Lösung für eine Gleichung in einem Software-Interface.

Da $b \in \mathbb{R}^+$ ist der gesuchte Wert $b=\frac{1}{40} = 0,025$ .

e) $\blacktriangleright$ Höhe berechnen

Die Funktion $h$ beschreibt die Höhe einer Fichte in Abhängigkeit von ihrem Alter. Du sollst nun die Funktion $f$ und die Funktion $h$ nutzen, um die Höhe einer Fichte mit einer Stammdicke von 25 cm zu berechnen. Gehe folgendermaßen vor:

Berechne das Alter der Fichte mit einer Stammdicke von 25 cm.

Berechne die Höhe der Fichte mit dem gerade berechneten Alter.

1. Schritt: Alter berechnen

Mit der Funktion $f$ kannst du das Alter der Fichte berechnen. Setze dafür $x=0,25$ in den Funktionsterm ein.

Screenshot eines mathematischen Berechnungsprogramms mit Eingabefeld und Ergebnissen.

Die Fichte ist ungefähr 37,9424 Jahre alt.

2. Schritt: Höhe berechnen

Mit der Funktion $h$ kannst du die Höhe der Fichte berechnen. Setze dafür $x=37,9424$ in den Funktionsterm ein.

Mathematische Berechnungen mit Funktionen und Ergebnissen in einer Softwareanwendung.

Die Fichte ist ungefähr 8,92 m hoch.

$\blacktriangleright$ Punkt einzeichnen

Du sollst nun die berechnete Höhe der Fichte in die Abbildung eintragen. Zeichne also den Punkt $A(0,25 \mid 8,92)$ ein.

Diagramm mit einer Achse für Baumhöhe und einer für Stammdicke, zeigt einen Punkt in einem Koordinatensystem.

f) $\blacktriangleright$ Modell zeichnen

Du sollst den Verlauf des Graphen der Funktion, die die Höhe der Fichte in Abhängigkeit von ihrer Stammdicke beschreibt, in die Abbildung einzeichnen.

Die Funktion ist gerade die Verkettung der Funktionen $f$ und $h$ :

$i(x) = h(f(x))$

Setze einige Werte für $x$ in $i$ ein um dann die Funktion zu zeichnen.

$i(0,1) = 5,68$
$i(0,25) = 8,92$
$i(0,5) = 13,28$
$i(0,75) = 18,5$
$i(0,9) = 23,94$

Diagramm mit Achsen für Baumhöhe und Stammgröße, zeigt einen Punkt.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Funktionsgraph zeichnen

Du sollst in Abb. 1 den Graphen der Funktion $w(x) = \sqrt(x)$ einzeichnen. Zeichne zunächst einige Punkte, beispielsweise

$w(1) = 1\quad$ und $\quad w(4) = 2 \quad$ und $\quad w(9)=3$ ,

in die Abbildung ein und verbinde die Punkte.

Graf mit einem Raster aus weißen Linien auf schwarzem Hintergrund.

$\blacktriangleright$ Entstehung des Funktionsterms

Du sollst eine Möglichkeit angeben, wie der Funktionsterm von $f$ aus dem von $w$ hervorgehen kann. Du kannst in drei Schritten vorgehen

Spiegelung an der $y$ -Achse

Verschiebung in $x$ -Richtung

Streckung in $y$ -Richtung

1. Schritt: Spiegelung

Spiegle den Graphen der Funktion $w$ zunächst an der $y$ -Achse, indem du $x$ durch $-x$ ersetzt.

$\hat{w}(x)=w(-x) = \sqrt{-x}$

2. Schritt: Verschiebung

Verschiebe den Graphen von $\hat{w}$ der Funktion dann um 8 Einheiten in positive $x$ -Richtung.

$\overline{w}(x) = \hat{w}(x-8) = \sqrt{-(x-8)} = \sqrt{8-x}$

3. Schritt: Streckung

Strecke den Graphen der Funktion $\overline{w}$ nun um den Faktor $\sqrt{2}$ in $y$ -Richtung, durch multiplizieren mit $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot \overline{w}$ $= \sqrt{2} \cdot \sqrt{8-x} = \sqrt{2(8-x)} =f(x)$

b) $\blacktriangleright$ Winkel zwischen $\boldsymbol{G_f}$ und der $\boldsymbol{y}$ -Achse

Hier sollst du nun den Winkel $\beta$ zwischen dem Graphen $G_f$ und der $y$ -Achse berechnen. Dafür benötigst du zunächst die Steigung des Graphen für $x=0$ . Die Gerade mit dieser Steigung bildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck. Du kann somit mit der Formel

$\alpha = \left|tan^{-1}(m)\right|$

den Winkel zwischen der Gerade und der $x$ -Achse ausrechnen und anschließend die Eigenschaft des rechtwinkligen Dreiecks nutzen $180° = 90° + \alpha + \beta$ .

1. Schritt: Steigung berechnen

Leite die Funktion zunächst ab und berechne dann die Ableitung an der Stelle $x=0$ .

$f‘(x) = - \dfrac{1}{\sqrt{2(8-x)}}$

$f‘(0) = - \dfrac{1}{\sqrt{2(8-0)}} = - \dfrac{1}{4}$

2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

Berechne nun mit $m=-0,25$ und der Formel den Winkel $\alpha$ .

$\alpha = \left|tan^{1}(-0,25)\right| \approx \left|-14,04\right| = 14,04°$

3. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

Nutze nun, dass die Gerade mit der Steigung $m=-0,25$ ein rechtwinkliges Dreieck mit den Koordinatenachsen und berechne $\beta$ mit Hilfe der Winkelsumme.

$\begin{array}[t]{rll} 180°&=&90° + \alpha + \beta\\[5pt] 180°&=&90° + 14,04° + \beta \\[5pt] 180°&=&104,04° + \beta \quad \scriptsize \mid\; -104,04°\\[5pt] \beta &=&75,96° \end{array}$

Der Graph der Funktion $f$ und die $y$ -Achse schließen einen Winkel von 76° ein.

$\blacktriangleright$ Waagrechte Tangente

Du sollst begründen, warum $G_f$ keine waagrechte Tangente besitzt. Für eine waagrechte gilt $f‘(x) =0$ :

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=&0\\[5pt] - \dfrac{1}{\sqrt{2(8-x)}}&=&0\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{2(8-x)}\\[5pt] -1 &\ne&0 \end{array}$

Das bedeutet, es existiert kein $x$ , sodass der Graph der Funktion eine Steigung von null hat. Der Graph der Funktion $f$ hat also keine waagrechte Tangente.

c) $\blacktriangleright$ Dreieck einzeichnen

Du sollst das Dreieck mit $O(0\mid 0)$ , $P_x(x\mid 0)$ und $Q_x(x\mid f(x))$ für $x=4$ in die Abbildung einzeichnen. Berechne zuerst die Koordinaten der Punkte und zeichne dann das Dreieck ein.
$P_4(4\mid 0)$
$Q_4(4\mid f(4)) = Q_4(4\mid \sqrt{8})$

Grafik mit einem Gittermuster und zwei kleinen, hellen Punkten darauf.

$\blacktriangleright$ Formel für Flächeninhalt begründen

Es handelt sich bei dem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck. Somit kannst du den Flächeninhalt mit der Länge der Katheten berechnen. In diesem Fall sind diese $x$ und $f(x)$ . Für den Flächeninhalt erhältst du also folgende Formel

$\begin{array}[t]{rll} A(x)&=&\dfrac{1}{2}\cdot x \cdot f(x) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot x \cdot \sqrt{16-2x} \\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot x^2} \cdot \sqrt{16-2x} \\[5pt] &=&\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot x^2 \cdot (16-2x)} \\[5pt] &=&\sqrt{4 x^2 -\frac{1}{2}x^3} \end{array}$

d) $\blacktriangleright$ Anteil der Dreiecksfläche an der Fläche unter der Kurve

Du sollst den Anteil des Dreiecks mit maximaler Fläche an der Fläche, die die Kurve mit den Koordinatenachsen einschließt, berechnen. Berechne also zuerst den maximalen Flächeninhalt, die Fläche unter der Kurve und dann den gesuchten Anteil.

1. Schritt: Maximales Dreieck

Den Inhalt des maximalen Dreiecks berechnest du, indem du das Maximum der Funktion $A(x)$ berechnest. Leite $A(x)$ ab, setze die Ableitung null und löse die Gleichung nach $x$ auf. Dafür kannst du dein CAS verweden.

menu 4: Analysis 1: Ableitung

Mathematische Gleichungen zur Berechnung eines Maximums, dargestellt in einer Softwareoberfläche.

Da $A‘‘(\frac{16}{3}) \lt 0$ handelt es sich tatsächlich um ein Maximum.

Du weist nun, dass für $x=\frac{16}{3}$ das Dreieck den maximalen Flächeninhalt hat. Setze diesen $x$ -Wert in den Funktionsterm von $A$ ein, um den Flächeninhalt zu berechnen.

$A(\frac{16}{3}) \approx 6,1584$

Der maximale Flächeninhalt beträgt 6,1584.

2. Schritt: Integral berechnen

Du benötigst noch den Inhalt der Fläche, die der Graph $G_f$ mit den Koordinatenachsen einschließt. Die Integralgrenzen sind $x=0$ und die Nullstelle der Funktion $f$ bei $x=8$ . Berechne also folgendes Integral:

$I = \displaystyle\int_{0}^{8}f(x)\;\mathrm dx$

menu 4: Analysis 3: Integral

Mathematische Gleichung und Integralberechnung auf einem Bildschirm.

Die Fläche hat eine Größe von $\frac{64}{3}\approx 21,3333$ .

3. Schritt: Anteil berechnen

Den Anteil der Fläche kannst du berechnen, indem du den Flächeninhalt der Dreiecksfläche durch den der gesamten Fläche unter der Kurve dividierst.

$\dfrac{6,1584}{21,333} \approx 0,2887$

Die Dreiecksfläche nimmt ca. 28,9 % der Fläche ein, die der Graph $G_f$ und die Koordinatenachsen einschließen.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Gerade einzeichnen

Du sollst die Gerade mit der Gleichung $y=-\frac{1}{2}x+7,5$ in die Abbildung einzeichnen.

Schwarze Fläche mit einem weißen Gittermuster aus horizontalen und vertikalen Linien.

$\blacktriangleright$ Koordinaten von T bestimmen

Der Graph $G_f$ hat im Punkt $T(x_T \mid y_T)$ eine Tangente, die parallel zur Gerade $g$ verläuft. Du sollst die Koordinaten dieses Punktes bestimmen. Wenn der Graph parallel zur Gerade $g$ ist, bedeutet das, dass er die gleiche Steigung hat wie die Gerade.

Die Gerade hat eine Steigung von $m=-0,5$ , du musst also die Gleichung $f‘(x)=-0,5$ nach $x$ auflösen, um die $x$ -Koordinate von $T$ zu berechnen. Das Ergebnis setzt du dann in die Gleichung von $f$ ein um die $y$ -Koordinate zu erhalten.

menu 4: Analysis 1: Ableitung

Mathematische Darstellung mit Funktionen, Ableitungen und Lösungen in einer Software-Oberfläche.

Die Koordinaten des gesuchten Punkts lauten $T(6 \mid 2)$ .

b) $\blacktriangleright$ Abstand von T zur Gerade berechnen

Du sollst nun den Abstand zwischen der Gerade $g$ und dem Punkt $T$ berechnen. Mit dem Abstand ist immer der kürzeste Abstand gemeint. Bestimme dafür die Gleichung der Gerade $n$ mit $y=m_n \cdot x + b$ , die senkrecht zu $g$ und durch den Punkt $T$ verläuft. Berechne dann den Schnittpunkt der beiden Geraden. Als letztes kannst du dann den Abstand des Schnittpunkts vom Punkt $T$ berechnen.

1. Schritt: Geradengleichung bestimmen

Für die Steigung der Geraden $n$ , die senkrecht zu $g$ , gilt also $m_g \cdot m_n = -1$ .

$\begin{array}[t]{rll} m_g \cdot m_n&=&-1 \quad \scriptsize \mid\; m_g=-0,5\\[5pt] -0,5m_n&=&-1\quad \scriptsize \mid\; :(-0,5)\\[5pt] m_n&=&2 \end{array}$

Die Steigung von $n$ ist also $m_n = 2$ . Die Gerade soll außerdem durch den Punkt $T(6 \mid 2)$ verlaufen. Setze den Punkt in die Gleichung von $n$ ein und berechne $b$ .

$\begin{array}[t]{rll} 2&=&2 \cdot 6 +b\\[5pt] 2&=&12 + b\quad \scriptsize \mid\; -12\\[5pt] b&=&-10 \end{array}$

Die Gerade $n$ lautet $y = 2x-10$ .

2. Schritt: Schnittpunkt berechnen

Um den Schnittstelle der beiden Geraden zu bestimmen, setze die Terme gleich und löse nach $x$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 2x-10&=&-0,5x+7,5 \quad \scriptsize \mid\; +0,5x\\[5pt] 2,5x-10&=&7,5\quad \scriptsize \mid\; +10\\[5pt] 2,5x&=&17,5\quad \scriptsize \mid\; :2,5\\[5pt] x&=&7 \end{array}$

Die zugehörige $y$ -Koordinate lautet $y=2 \cdot 7 -10 = 4$ . Der Schnittpunkt lautet $S(7 \mid 4)$ .

3. Schritt: Abstand berechnen

Der Abstand von zwei Punkten wird mit folgender Formel berechnet:

$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$

Für die Punkte $S$ und $T$ gilt:

$\Delta x = 7-6 = 1$ und $\Delta y = 4-2 = 2$

Für den Abstand erhältst du dann

$d = \sqrt{1^2 +2^2} = \sqrt{5}$

Der Punkt $T$ hat einen Abstand von $\sqrt{5}$ von der Gerade $g$ .

c) $\blacktriangleright$ Minimum der Differenzfunktion

Die Differenzfunktion ist wie folgt definiert $u(x) = g(x)-f(x)$ . Du sollst zeigen, dass $u$ an der Stelle $x_T=6$ ein Minimum hat. Ein Minimum hat folgende Bedingungen:

$u‘(x_T)=0$ und $u‘‘(x_T) > 0$

Leite also die Funktion $u$ zweimal ab und überprüfe die Bedingungen.

$u‘(x) = g‘(x) - f‘(x) = -\dfrac{1}{2} - \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2(8-x)}}\right)$ $= -\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{\sqrt{2(8-x)}}$
$u‘‘(x) = g‘‘(x) - f‘‘(x) = - \left(-(16-2x)^{-\frac{3}{2}}\right)$ $= (16-2x)^{-\frac{3}{2}}$

Setze nun jeweils $x_T=6$ ein und überprüfe ob die Bedingungen für ein Minimum erfüllt sind.

$u‘(6) = -\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{\sqrt{2(8-6)}}$ $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{4}} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}=0$
$u‘‘(6) = (16-2\cdot 6)^{-\frac{3}{2}} = 4^{-\frac{3}{2}} > 0$

Somit hat $u$ an der Stelle $x_T$ ein Minimum.

d) $\blacktriangleright$ Begründe, dass Minimum der Differenz größer als Abstand ist

Du sollst begründen, warum der Abstand zwischen dem Graph $G_f$ und der Gerade $g$ kleiner ist als das Minimum der Differenzfunktion.

Der Abstand ist der geringste Abstand zwischen den Graphen, dabei wird der Abstand zwischen Punkten mit unterschiedlichen $x$ -Koordinaten betrachtet. Bei der Differenzfunktion wird der Abstand zwischen zwei Punkten mit gleicher $x$ -Koordinate betrachtet. Dieser Abstand ist immer größer (oder gleich) dem minimalen Abstand. Wobei die Gleichheit nur gilt, falls der Graph eine waagrechte Asymptote hat und die Gerade waagrecht verläuft.

Betrachte zur Verdeutlichung auch die folgende Skizze.

Grafik mit einem Koordinatensystem und zwei markierten Punkten in grün.

Aufgabe 3

a) $\blacktriangleright$ Berechnen von $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{x_B}$

Der Term $v(x) = \sqrt{20^2-2ax}$ gibt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in m/s während des Bremsvorgangs in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg $x$ in Metern an. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass nach 10 m die Geschwindigkeit um 2 m/s abgenommen hat. Das bedeutet

$v(10) = 20-2 = 18$

Du sollst den Wert des Parameters $a$ bestimmen. Nutze dafür die oben angegebene Information.

$\begin{array}[t]{rll} v(10)&=&18\\[5pt] \sqrt{20^2-2a\cdot 10}&=&18\quad \scriptsize \mid\; ()^2\\[5pt] 400-20a&=&324\quad \scriptsize \mid\; +20a\\[5pt] 400&=&324+20a\quad \scriptsize \mid\; -324\\[5pt] 76&=&20a\quad \scriptsize \mid\; :20\\[5pt] a&=&3,8 \end{array}$

Der gesamte Bremsweg wird mit $x_B$ bezeichnet. Du sollst den Wert des Bremswegs berechnen. Der Bremsweg ist dann zu ende, wenn das Fahrzeug keine Geschwindigkeit mehr hat. Du sollst also die Nullstelle der Funktion $v$ ausrechnen.

Berechnung des Bremsweges mit einer mathematischen Gleichung auf einem Bildschirm.

Der Bremsweg beträgt 52,63 m.

b) $\blacktriangleright$ Erläutern des Terms im Sachzusammenhang

Du sollst den Term $h(x) = v(x)-v(x+10)$ für $0 \leq x \leq x_B-10$ im Sachzusammenhang erklären.

Der Term ist die Differenz der aktuellen Geschwindigkeit und der Geschwindigkeit 10 Meter später. Er gibt also an, um wie viele m/s die Geschwindigkeit innerhalb der nächsten 10 Meter abnehmen wird.

$\blacktriangleright$ Maximalen Wert begründen

Du sollst begründen, warum $2\sqrt{19}$ der maximale Wert von $h(x)$ ist. Beachte dafür, dass die Ableitung von $v$ gegeben ist durch

$v‘(x) = -3,8 \dfrac{1}{\sqrt{20^2-7,6x}}\lt 0$

Da die Ableitung kleiner als null ist, ist der Graph von $v$ streng monoton fallend. Die größte Differenz erhältst du somit wenn $v(x+10)=0$ gilt. Das ist genau dann der Fall, wenn $x=x_B-10$ .

$\begin{array}[t]{rll} v(x_B-10)&=&\sqrt{20^2-7,6 (\frac{1000}{19}-10)}\\[5pt] &=&\sqrt{400-324}\\[5pt] &=&\sqrt{76} = 2\sqrt{19} \end{array}$

Der maximale Wert von $h(x)$ ist somit $2\sqrt{19}$ .

Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen

Hier sollst du die Nullstellen von $f$ bestimmen. Setze den Funktionsterm von $f$ null und löse die Gleichung nach $x$ auf, um die Nullstellen zu bestimmen.

Alternativ kannst du diese Gleichung auch mit dem solve-Befehl deines CAS lösen.

Mathematische Software zeigt die Funktion y=20·ln(20·x/(1-x)) und deren Graphen.

$\blacktriangleright$ Grenzwerte bestimmen

Du sollst das Verhalten von $f$ an den Grenzen des Definitionsbereichs untersuchen. Du sollst also die beiden Grenzwerte

berechnen.

Aktion Berechnungen lim

Mathematische Berechnungen mit Grenzwerten in einem Software-Interface.

Für das Verhalten der Funktion $f$ an den Grenzen von $D_f$ gilt

$\blacktriangleright$ Asymptoten bestimmen

Nun sollst du noch die Asymptoten von $f$ bestimmen. Die senkrechten Asymptoten sind die Definitionslücken der Funktion, also die Werte, die du nicht in die Funktion einsetzen darfst.

Für $x=0$ wäre das Argument im natürlichen Logarithmus gleich null, dieser ist für null jedoch nicht definiert. Die Gleichung der senkrechten Asymptote lautet also

$x = 0$ .

Für $x =1$ würdest du durch null teilen, das liefert dir die Gleichung der 2. senkrechten Asymptoten:

$x = 1$ .

b) $\blacktriangleright$ Umkehrbarkeit der Funktion begründen

Die Funktion $f$ ist somit umkehrbar auf $D_f$ .

$\blacktriangleright$ Krümmungsverhalten untersuchen

Das Krümmungsverhalten einer Funktion untersuchst du mit der 2. Ableitung. Es gilt

$f‘‘(x) \lt 0\quad$ rechtsgekrümmt

$f‘‘(x) > 0\quad$ linksgekrümmt

Bilde also die ersten beiden Ableitungen und untersuche dann, ob die 2. Ableitung größer (linksgekrümmt) oder kleiner (rechtsgekrümmt) als null ist.

$f‘(x) = \dfrac{-20}{x(x-1)}$

$f‘‘(x) = \dfrac{20\cdot (2x-1)}{x^2(x-1)^2}$

Mit dem solve-Befehl deines CAS kannst du nun die beiden Ungleichungen

$f‘‘(x) > 0$ und $f‘‘(x) \lt 0$

lösen.

Mathematische Software-Oberfläche zeigt eine Funktion und ihre Lösungen.

Die Funktion ist also für $x \in ]0;0,5[$ rechtsgekrümmt und für $x \in ]0,5;1[$ linksgekrümmt.

$\blacktriangleright$ Tangente im Wendepunkt bestimmen

1. Schritt: Wendepunkt bestimmen

Mathematische Berechnungen in einer Software mit Funktionen und Ergebnissen.

Der Wendepunkt von $G_f$ hat die Koordinaten $W(0,5 \mid 59,9146)$ .

2. Schritt: Steigung bestimmen

Die Steigung im Wendepunkt berechnest du, indem du die $x$ -Koordinate des Wendepunkts in die erste Ableitung einsetzt.

Bildschirmansicht einer mathematischen Software mit Funktionsdefinition und Berechnung.

Die Steigung im Wendepunkt beträgt $m=80$ .

3. Schritt: Tangentengleichung bestimmen

Die gesuchte Tangente $w$ hat dann die berechnete Steigung $m=80$ und verläuft durch den Wendepunkt $W(0,5 \mid 59,9146)$ .

Die allgemeine Gleichung einer Tangente lautet:

$y = mx +b$

Setze die Steigung $m$ und den Punkt $W$ in die Gleichung ein und löse diese nach $b$ auf, um die Gleichung von $w$ zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} 59,9146&=& 80 \cdot 0,5 +b \\[5pt] 59,9146&=& 40 +b \quad \scriptsize \mid\; -40\\[5pt] b&=&19,9146 \end{array}$

Somit lautet die Tangentengleichung $w(x) = 80x+19,9146$ .

c) $\blacktriangleright$ Verschieben von $\boldsymbol{G_f}$

Eine Funktion wird in $x$ -Richtung um $c$ verschoben durch $\color{#87c800}{\boldsymbol{f(x-c)}}$ . Hier soll der Graph um $c=-0,5$ in $x$ -Richtung verschoben werden.

$f(x+0,5) = 20\cdot \ln\left(\dfrac{20(x+0,5)}{1-(x+0,5)}\right) = 20\cdot \ln\left(\dfrac{20x+10}{0,5-x}\right)$

Die verschobene Funktion lautet also

$g(x) = 20\cdot \ln\left(\dfrac{20x+10}{0,5-x}\right) - 59,9146$

$\blacktriangleright$ Folgerung aus der Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Aus der Punktsymmetrie des Graphen $G_g$ folge, dass der am Ursprung gespiegelte Punkt auf $G_g$ wieder auf $G_g$ liegt und es gilt:

$g(x) = -g(-x)$ .

d) $\blacktriangleright$ Skizzieren von $\boldsymbol{G_f}$

Du sollst den Graphen $G_f$ und $w$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Das weißt du über den Graphen von $f$ :

$G_f$ besitzt den Wendepunkt: $W(0,5 \mid 59,9146)$

$G_f$ besitzt die senkrechte Asymptote $x=0$

$G_f$ besitzt die senkrechte Asymptoten $x=1$

$G_f$ ist in $]0;0,5[$ rechtsgekrümmt

$G_f$ ist in $]0,5;1[$ linksgekrümmt

e) $\blacktriangleright$ Fläche berechnen

Der Graphen $G_f$ und $w$ schließen mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Du sollst den Inhalt dieser Fläche berechnen.

Du sollst also folgendes Integral berechnen:

$I = \displaystyle\int_{0}^{0,5}\left|w(x) - f(x)\right|\;\mathrm dx$

Dafür kannst du dein CAS verwenden.

Aktion Berechnungen

Mathematische Berechnungen in einer Software mit Funktionen und Integralen.

Der Flächeninhalt ist 3,86292.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Alter der Fichte bestimmen

Hier ist dir die Funktion $f$ gegeben, die das Alter der Fichte in Jahren angibt und $x$ ist die Stammdicke in Metern, mit:

$f(x) = 20 \cdot \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right)$

Deine Aufgabe ist es, das Alter einer Fichte zu bestimmen, die eine Stammdicke von 40 cm = 0,4 m hat.
Setze also die Stammdicke in die Funktionsgleichung von $f$ ein und berechne das Alter.

$\begin{array}[t]{rll} f(0,4)&=& 20 \cdot \ln \left(\dfrac{20\cdot 0,4}{1-0,4}\right) \\[5pt] &=&20 \cdot \ln \left(\dfrac{8}{0,6}\right)\\[5pt] &\approx&51,805 \end{array}$

Die Fichte ist ungefähr 52 Jahre alt.

b) $\blacktriangleright$ Mögliche Werte für Stammdicke bestimmen

1. Schritt: linke Grenze

Für die linke Grenze des Intervalls, das die Stammdicke angibt, löse die Gleichung $f(x) = 10$ nach $x$ auf.

Die linke Grenze des Intervalls liegt bei 8 cm.

2. Schritt: rechte Grenze

Für die rechte Grenze des Intervalls, das die Stammdicke angibt, löse die Gleichung $f(x) = 120$ nach $x$ auf.

Die linke Grenze des Intervalls liegt bei 95 cm.

c) $\blacktriangleright$ Interpretieren des Wendepunkts

Du sollst nun die Bedeutung der $y$ -Koordinate des Wendepunkts $W$ von $G_f$ in Bezug auf die Wachstumsgeschwindigkeit der Stammdicke in Abhängigkeit vom Baumalter interpretieren.

d) $\blacktriangleright$ Begründe den Parameterwert für a

Du hast die Funktion $h$ mit $h(x)= a\cdot \frac{\mathrm{e}^{bx}}{\mathrm{e}^{bx}+c}$ gegeben, wobei $a,b,c\ \in \mathbb{R}^+$ .

Der Grenzwert dieser Funktion ist $\lim_{x \to \infty} h(x) = 40$ . Du sollst nun mit diesem Grenzwert begründen, warum $a=40$ gilt.

Betrachte dafür den Grenzwert des Bruchs:

Somit gilt

$\blacktriangleright$ Begründe den Parameterwert für c

Du hast den Punkt $S(0 \mid 4)$ gegeben und sollst damit begründen, warum $c=9$ gilt.

Setze den Punkt in die Gleichung von $h$ ein und löse nach $c$ auf.

$\blacktriangleright$ Wert für b bestimmen

$h‘‘(40 \cdot \ln(9)) = 0$ .

Dafür kannst du dein CAS verweden.

Screenshot eines mathematischen Programms mit definierten Funktionen und Berechnungen.

Da $b \in \mathbb{R}^+$ ist der gesuchte Wert $b=\frac{1}{40} = 0,025$ .

e) $\blacktriangleright$ Höhe berechnen

Berechne das Alter der Fichte mit einer Stammdicke von 25 cm.

Berechne die Höhe der Fichte mit dem gerade berechneten Alter.

1. Schritt: Alter berechnen

Mit der Funktion $f$ kannst du das Alter der Fichte berechnen. Setze dafür $x=0,25$ in den Funktionsterm ein.

Mathematische Software zeigt die Definition einer Funktion und deren Berechnung für f(0.25).

Die Fichte ist ungefähr 37,9424 Jahre alt.

2. Schritt: Höhe berechnen

Mit der Funktion $h$ kannst du die Höhe der Fichte berechnen. Setze dafür $x=37,9424$ in den Funktionsterm ein.

Mathematische Software zeigt eine Funktion und deren Berechnung für einen bestimmten Wert.

Die Fichte ist ungefähr 8,92 m hoch.

$\blacktriangleright$ Punkt einzeichnen

Du sollst nun die berechnete Höhe der Fichte in die Abbildung eintragen. Zeichne also den Punkt $A(0,25 \mid 8,92)$ ein.

f) $\blacktriangleright$ Modell zeichnen

Du sollst den Verlauf des Graphen der Funktion, die die Höhe der Fichte in Abhängigkeit von ihrer Stammdicke beschreibt, in die Abbildung einzeichnen.

Die Funktion ist gerade die Verkettung der Funktionen $f$ und $h$ :

$i(x) = h(f(x))$

Setze einige Werte für $x$ in $i$ ein um dann die Funktion zu zeichnen.

$i(0,1) = 5,68$
$i(0,25) = 8,92$
$i(0,5) = 13,28$
$i(0,75) = 18,5$
$i(0,9) = 23,94$

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Funktionsgraph zeichnen

Du sollst in Abb. 1 den Graphen der Funktion $w(x) = \sqrt(x)$ einzeichnen. Zeichne zunächst einige Punkte, beispielsweise

$w(1) = 1\quad$ und $\quad w(4) = 2 \quad$ und $\quad w(9)=3$ ,

in die Abbildung ein und verbinde dies Punkte.

$\blacktriangleright$ Entstehung des Funktionsterms

Du sollst eine Möglichkeit angeben, wie der Funktionsterm von $f$ aus dem von $w$ hervorgehen kann. Du kannst in drei Schritten vorgehen

Spiegelung an der $y$ -Achse

Verschiebung in $x$ -Richtung

Streckung in $y$ -Richtung

1. Schritt: Spiegelung

Spiegle den Graphen der Funktion $w$ zunächst an der $y$ -Achse, indem du $x$ durch $-x$ ersetzt.

$\hat{w}(x)=w(-x) = \sqrt{-x}$

2. Schritt: Verschiebung

Verschiebe den Graphen von $\hat{w}$ der Funktion dann um 8 Einheiten in positive $x$ -Richtung.

$\overline{w}(x) = \hat{w}(x-8) = \sqrt{-(x-8)} = \sqrt{8-x}$

3. Schritt: Streckung

Strecke den Graphen der Funktion $\overline{w}$ nun um den Faktor $\sqrt{2}$ in $y$ -Richtung, durch multiplizieren mit $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot \overline{w}$ $= \sqrt{2} \cdot \sqrt{8-x} = \sqrt{2(8-x)} =f(x)$

b) $\blacktriangleright$ Winkel zwischen $\boldsymbol{G_f}$ und der $\boldsymbol{y}$ -Achse

$\alpha = \left|tan^{-1}(m)\right|$

den Winkel zwischen der Gerade und der $x$ -Achse ausrechnen und anschließend die Eigenschaft des rechtwinkligen Dreiecks nutzen $180° = 90° + \alpha + \beta$ .

1. Schritt: Steigung berechnen

Leite die Funktion zunächst ab und berechne dann die Ableitung an der Stelle $x=0$ .

$f‘(x) = - \dfrac{1}{\sqrt{2(8-x)}}$

$f‘(0) = - \dfrac{1}{\sqrt{2(8-0)}} = - \dfrac{1}{4}$

2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

Berechne nun mit $m=-0,25$ und der Formel den Winkel $\alpha$ .

$\alpha = \left|tan^{1}(-0,25)\right| \approx \left|-14,04\right| = 14,04°$

3. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

Nutze nun, dass die Gerade mit der Steigung $m=-0,25$ ein rechtwinkliges Dreieck mit den Koordinatenachsen und berechne $\beta$ mit Hilfe der Winkelsumme.

$\begin{array}[t]{rll} 180°&=&90° + \alpha + \beta\\[5pt] 180°&=&90° + 14,04° + \beta \\[5pt] 180°&=&104,04° + \beta \quad \scriptsize \mid\; -104,04°\\[5pt] \beta &=&75,96° \end{array}$

Der Graph der Funktion $f$ und die $y$ -Achse schließen einen Winkel von 76° ein.

$\blacktriangleright$ Waagrechte Tangente

Du sollst begründen, warum $G_f$ keine waagrechte Tangente besitzt. Für eine waagrechte gilt $f‘(x) =0$ :

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=&0\\[5pt] - \dfrac{1}{\sqrt{2(8-x)}}&=&0\quad \scriptsize \mid\; \cdot \sqrt{2(8-x)}\\[5pt] -1 &\ne&0 \end{array}$

Das bedeutet, es existiert kein $x$ , sodass der Graph der Funktion eine Steigung von null hat. Der Graph der Funktion $f$ hat also keine waagrechte Tangente.

c) $\blacktriangleright$ Dreieck einzeichnen

$\blacktriangleright$ Formel für Flächeninhalt begründen

d) $\blacktriangleright$ Anteil der Dreiecksfläche an der Fläche unter der Kurve

1. Schritt: Maximales Dreieck

Aktion Berechnungen diff

Bildschirmaufnahme einer mathematischen Software mit Gleichungen und Funktionen.

Da $A‘‘(\frac{16}{3}) \lt 0$ handelt es sich tatsächlich um ein Maximum.

Du weist nun, dass für $x=\frac{16}{3}$ das Dreieck den maximalen Flächeninhalt hat. Setze diesen $x$ -Wert in den Funktionsterm von $A$ ein, um den Flächeninhalt zu berechnen.

$A(\frac{16}{3}) \approx 6,1584$

Der maximale Flächeninhalt beträgt 6,1584.

2. Schritt: Integral berechnen

$I = \displaystyle\int_{0}^{8}f(x)\;\mathrm dx$

Aktion Berechnungen

Mathematische Berechnung mit einer Funktion und Integral, Ergebnis 21.33333333.

Die Fläche hat eine Größe von $\frac{64}{3}\approx 21,3333$ .

3. Schritt: Anteil berechnen

Den Anteil der Fläche kannst du berechnen, indem du den Flächeninhalt der Dreiecksfläche durch den der gesamten Fläche unter der Kurve dividierst.

$\dfrac{6,1584}{21,333} \approx 0,2887$

Die Dreiecksfläche nimmt ca. 28,9 % der Fläche ein, die der Graph $G_f$ und die Koordinatenachsen einschließen.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Gerade einzeichnen

Du sollst die Gerade mit der Gleichung $y=-\frac{1}{2}x+7,5$ in die Abbildung einzeichnen.

$\blacktriangleright$ Koordinaten von T bestimmen

Aktion Berechnungen diff

Mathematische Software zeigt Funktionsdefinition und Ableitung, sowie Lösung einer Gleichung.

Die Koordinaten des gesuchten Punkts lauten $T(6 \mid 2)$ .

b) $\blacktriangleright$ Abstand von T zur Gerade berechnen

1. Schritt: Geradengleichung bestimmen

Für die Steigung der Geraden $n$ , die senkrecht zu $g$ , gilt also $m_g \cdot m_n = -1$ .

$\begin{array}[t]{rll} m_g \cdot m_n&=&-1 \quad \scriptsize \mid\; m_g=-0,5\\[5pt] -0,5m_n&=&-1\quad \scriptsize \mid\; :(-0,5)\\[5pt] m_n&=&2 \end{array}$

Die Steigung von $n$ ist also $m_n = 2$ . Die Gerade soll außerdem durch den Punkt $T(6 \mid 2)$ verlaufen. Setze den Punkt in die Gleichung von $n$ ein und berechne $b$ .

$\begin{array}[t]{rll} 2&=&2 \cdot 6 +b\\[5pt] 2&=&12 + b\quad \scriptsize \mid\; -12\\[5pt] b&=&-10 \end{array}$

Die Gerade $n$ lautet $y = 2x-10$ .

2. Schritt: Schnittpunkt berechnen

Um den Schnittstelle der beiden Geraden zu bestimmen, setze die Terme gleich und löse nach $x$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 2x-10&=&-0,5x+7,5 \quad \scriptsize \mid\; +0,5x\\[5pt] 2,5x-10&=&7,5\quad \scriptsize \mid\; +10\\[5pt] 2,5x&=&17,5\quad \scriptsize \mid\; :2,5\\[5pt] x&=&7 \end{array}$

Die zugehörige $y$ -Koordinate lautet $y=2 \cdot 7 -10 = 4$ . Der Schnittpunkt lautet $S(7 \mid 4)$ .

3. Schritt: Abstand berechnen

Der Abstand von zwei Punkten wird mit folgender Formel berechnet:

$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$

Für die Punkte $S$ und $T$ gilt:

$\Delta x = 7-6 = 1$ und $\Delta y = 4-2 = 2$

Für den Abstand erhältst du dann

$d = \sqrt{1^2 +2^2} = \sqrt{5}$

Der Punkt $T$ hat einen Abstand von $\sqrt{5}$ von der Gerade $g$ .

c) $\blacktriangleright$ Minimum der Differenzfunktion

Die Differenzfunktion ist wie folgt definiert $u(x) = g(x)-f(x)$ . Du sollst zeigen, dass $u$ an der Stelle $x_T=6$ ein Minimum hat. Ein Minimum hat folgende Bedingungen:

$u‘(x_T)=0$ und $u‘‘(x_T) > 0$

Leite also die Funktion $u$ zweimal ab und überprüfe die Bedingungen.

Setze nun jeweils $x_T=6$ ein und überprüfe ob die Bedingungen für ein Minimum erfüllt sind.

$u‘(6) = -\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{\sqrt{2(8-6)}}$ $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\sqrt{4}} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}=0$
$u‘‘(6) = (16-2\cdot 6)^{-\frac{3}{2}} = 4^{-\frac{3}{2}} > 0$

Somit hat $u$ an der Stelle $x_T$ ein Minimum.

d) $\blacktriangleright$ Begründe, dass Minimum der Differenz größer als Abstand ist

Du sollst begründen, warum der Abstand zwischen dem Graph $G_f$ und der Gerade $g$ kleiner ist als das Minimum der Differenzfunktion.

Betrachte zur Verdeutlichung auch die folgende Skizze.

Aufgabe 3

a) $\blacktriangleright$ Berechnen von $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{x_B}$

$v(10) = 20-2 = 18$

Du sollst den Wert des Parameters $a$ bestimmen. Nutze dafür die oben angegebene Information.

Mathematik-Software zeigt eine Gleichungslösung mit einer Zahl und verschiedenen Funktionen.

Der Bremsweg beträgt 52,63 m.

b) $\blacktriangleright$ Erläutern des Terms im Sachzusammenhang

Du sollst den Term $h(x) = v(x)-v(x+10)$ für $0 \leq x \leq x_B-10$ im Sachzusammenhang erklären.

$\blacktriangleright$ Maximalen Wert begründen

Du sollst begründen, warum $2\sqrt{19}$ der maximale Wert von $h(x)$ ist. Beachte dafür, dass die Ableitung von $v$ gegeben ist durch

$v‘(x) = -3,8 \dfrac{1}{\sqrt{20^2-7,6x}}\lt 0$

Da die Ableitung kleiner als null ist, ist der Graph von $v$ streng monoton fallend. Die größte Differenz erhältst du somit wenn $v(x+10)=0$ gilt. Das ist genau dann der Fall, wenn $x=x_B-10$ .

$\begin{array}[t]{rll} v(x_B-10)&=&\sqrt{20^2-7,6 (\frac{1000}{19}-10)}\\[5pt] &=&\sqrt{400-324}\\[5pt] &=&\sqrt{76} = 2\sqrt{19} \end{array}$

Der maximale Wert von $h(x)$ ist somit $2\sqrt{19}$ .