Teil B
Die SMV eines Gymnasiums initiierte im vergangenen Schuljahr die Aktionen "Baumpatenschaft" und "Umweltwoche".
1
Mit einer Umfrage auf dem Schulfest wird der Bekanntheitsgrad der beiden Aktionen ermittelt. Von den Befragten kennt jeder Fünfte die Aktion "Baumpatenschaft". 
der Befragten kennen keine der beiden Aktionen; die Aktion "Umweltwoche" kennen 
der Befragten nicht.
Aus den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
"Die Person kennt die Aktion 'Baumpatenschaft'."
"Die Person kennt die Aktion 'Umweltwoche'."
Aus den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
a)
Weise nach, dass die Ereignisse 
und 
stochastisch unabhängig sind.
(4 BE)
b)
Gib für den Fall, dass die ausgewählte Person die Aktion "Baumpatenschaft" kennt, die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sie die Aktion "Umweltwoche" nicht kennt.
(1 BE)
2
Um Geld für die beiden Aktionen einzunehmen, bietet die SMV auf dem Schulfest das Spiel "2022" an. Bei dem Spiel werden zwei Glücksräder mit drei bzw. vier gleich großen Sektoren verwendet, die wie in Abbildung 1 beschriftet sind. Für einen Einsatz von 
darf man jedes der beiden Glücksräder einmal drehen. Für jede Ziffer 
die auf den erzielten Sektoren steht, werden 
ausbezahlt. Die Zufallsgröße 
beschreibt, wie oft die Ziffer 
auf den erzielten Sektoren insgesamt vorkommt.
Abb. 1
a)
Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von 
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten 
und 
Zur Kontrolle: ![\(p_2= \dfrac{1}{4} \bigg]\)](https://mathjax.schullv.de/6c4f68c4698dc7920ac4f97cadc7e1b541435dafce1e7c13318e9770c635ed1d?color=5a5a5a)
(3 BE)
b)
Ermittle, wie viele Spiele durchgeführt werden müssen, damit der Erwartungswert der Einnahme für die beiden Aktionen 
beträgt.
Acht Personen spielen nacheinander jeweils einmal das Spiel "2022".
(4 BE)
c)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die SMV mehr als zweimal mindestens 
ausbezahlen muss.
(4 BE)
d)
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen insgesamt 
ausbezahlt werden.
(4 BE)
3
Die binomialverteilte Zufallsgröße 
mit den Parametern 
und 
besitzt die Standardabweichung 
In Abbildung 2 ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von dargestellt.
Abb. 2
a)
Ermittle mithilfe einer Rechnung den Wert des Parameters 
(3 BE)
b)
Die binomialverteilte Zufallsgröße 
hat die Parameter und 
Kennzeichne in Abbildung 2 eine Fläche, die die Wahrscheinlichkeit 
darstellt.
(2 BE)
(25 BE)
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1
a)
b)
Da die Ereignisse und stochastisch unabhängig sind, gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P_B(\overline{U}) &=& P(\overline{U}) \\[5pt]
&=& 0,3 \\[5pt]
&=& 30\;\text{%}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/701d0f27583e54e995149c6274c1b8387a471f82f5dcc1b7983a24be4d443d75?color=5a5a5a)
2
a)
b)
Erwartungswert bei einem Spiel:
Somit ist die Anzahl an nötigen Spielen 
für einen Erwartungswert von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
n &=& \dfrac{300}{\dfrac{5}{6}} \\[5pt]
&=& 360
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e2346523e920bf551f41bc3f86a2ce640981a4465c846ecb84e40d7f0a6117f7?color=5a5a5a)
c)
Gegeben ist die Binomialverteilung mit den Parametern 
und 
![\(\begin{array}[t]{rll}
P_{8;\frac{1}{3}}(X \gt 2)&=& 1 - P_{8;\frac{1}{3}}(X \leq 2) \\[5pt]
&=& 1 - 0,4682 \\[5pt]
&=& 0,5318 \\[5pt]
&=& 53,18\;\text{%}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/56764fd12aa2e33b746bf88a215865ee6bba1d4e7eaf1d626415fa3468b8311e?color=5a5a5a)
d)
Die Summe 
ergibt sich durch Auszahlung von 
und 
Es gibt 3! Möglichkeiten, woraus folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P &=& 3! \cdot \left( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{12} \right) \\[5 pt]
&=& \dfrac{1}{24} \\[5 pt]
&=& 4,2 \; \%
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ed8af39bb837c44150577b926956e4157815b8eaa81cd4f2c5ab3d625e262509?color=5a5a5a)
3
a)
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sigma &=& \dfrac{4}{3} \\[5pt]
\sqrt{n \cdot p_X \cdot (1-p_X)} &=& \dfrac{4}{3} \\[5pt]
\sqrt{8 \cdot p_X \cdot (1-p_X)} &=& \dfrac{4}{3} &\quad \scriptsize \mid\; {\;}^2 \\[5pt]
8 \cdot p_X \cdot (1-p_X) &=& \dfrac{16}{9} &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt]
p_X \cdot (1-p_X) &=& \dfrac{2}{9} &\quad \scriptsize \mid\; - \dfrac{2}{9} \\[5pt]
-p_X^2 + p_X - \dfrac{2}{9}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt]
p_X^2 - p_X + \dfrac{2}{9} &=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0a36eb319d9f4b341766182d0c11c0d2081491b320e20b438eea867a1f7bc0c4?color=5a5a5a)
Mithilfe der pq-Formel ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_{X_{1,2}}&=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 - \dfrac{2}{9}} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{1}{6}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7823df3f36cb106bd9b092c28fc15a562626777aa46a69e99a1bc4fede906952?color=5a5a5a)
Aus der Abbildung lässt sich folgern:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\mu &\approx& 2,5 \\[5pt]
n \cdot p &=& 2,5 \\[5pt]
8p &=& 2,5 &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt]
p &=& 0,3125
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/eaea11171b347123054c4e39ff449ff691b88ddba734b64b6b86e6cb0516554e?color=5a5a5a)
Da 
näher an 
liegt als 
, gilt 
b)
Bei den Zufallsgrößen und sind Treffer und Niete vertauscht.
Es folgt:
Somit ergibt sich folgende Fläche:
