Teil B

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit maximalem Definitionsbereich $D.$ Ihr Graph wird mit $G_f$ bezeichnet.

Gib $D$ und die Nullstellen von $f$ an.

(2 BE)

Zeige rechnerisch, dass jeder Punkt auf $G_f$ den gleichen Abstand zum Koordinatenursprung hat.

(2 BE)

Der Graph $G_f$ ist ein Halbkreis. Für $k \in] 0 ; 5 [$ wird die Tangente an $G_f$ im Punkt $P_k(k \mid f(k))$ mit $t_k$ bezeichnet und die Ursprungsgerade durch $P_k$ mit $u_k$ (vgl. Abbildung 1).

Abb. 1

Bestimme denjenigen Wert von $k,$ für den die Tangente $t_k$ mit der $x$ -Achse einen Winkel mit einer Größe von $30^{\circ}$ einschließt.

(2 BE)

Weise rechnerisch nach, dass $t_k$ und $u_k$ zueinander senkrecht stehen.

(3 BE)

Für jeden Wert $k \in] 0 ; 5[$ schließen $t_k, u_k$ und die $x$ -Achse ein Dreieck ein, dessen Flächeninhalt durch die in $]0;5[$ definierte Funktion $A: k \mapsto A(k)$ beschrieben wird.

Begründe geometrisch, dass $\lim _{k \rightarrow 0} A(k)=+\infty$ und $\lim _{k \rightarrow 5} A(k)=0$ gilt.

(3 BE)

Weise nach, dass $A(k)=\frac{25}{2} \cdot \frac{\sqrt{25-k^2}}{k}$ ein Term von $A$ ist.

(4 BE)

Zeige, dass $A$ in $] 0 ; 5[$ streng monoton abnimmt und genau eine Wendestelle besitzt. Gib diese Wendestelle und ihre Bedeutung für den von $k$ abhängigen Flächeninhalt des Dreiecks an.

(4 BE)

Betrachtet wird die Funktion $g_b: x \mapsto \frac{b}{5} \cdot \sqrt{25-x^2}$ mit maximalem Definitionsbereich und $b \in] 0 ; 5[.$

Beschreibe, wie der Graph von $g_b$ aus dem Graphen $G_f$ aus Aufgabe 1 hervorgeht, und gib die Wertemenge von $g_b$ in Abhängigkeit von $b$ an.

(2 BE)

Der Graph von $g_b$ schließt mit der $x$ -Achse ein Flächenstück ein. Zeige, dass dieses Flächenstück den Inhalt $\frac{5}{2} b \pi$ hat.

(2 BE)

Der Graph von $g_b$ geht durch Spiegelung an der $x$ -Achse in den Graphen der Funktion $g_b^*$ über. Die Graphen von $g_b$ und $g_b^*$ bilden zusammen eine Ellipse, die beispielhaft für einen bestimmten Wert von $b$ in Abbildung 2 als durchgezogene Linie dargestellt ist.

Abb. 2

Gib einen Funktionsterm von $g_b^*$ an.

(1 BE)

Durch eine $90^{\circ}$ -Drehung der Ellipse um den Koordinatenursprung entsteht eine weitere Ellipse, die in Abbildung 2 als gestrichelte Linie dargestellt ist. Ermittle einen Term einer Funktion, deren Graph im ersten Quadranten mit dieser weiteren Ellipse übereinstimmt.

(3 BE)

In einem bestimmten Planetensystem bewegt sich ein Planet auf einer elliptischen Bahn um einen Stern. Der Graph $G_h$ der in $[-2;8]$ definierten Funktion $h: x \mapsto \dfrac{4}{5}$ $\cdot \sqrt{-x^2+6x+16}$ beschreibt modellhaft einen Teil dieser Bahn. In diesem Modell entspricht die Position des Sterns dem Koordinatenursprung $O$ und die Position, an der der Planet den größten Abstand vom Stern besitzt, dem Punkt $N(8\mid0)$ (vgl. Abbildung 3).

Abb. 3

Weise rechnerisch nach, dass $G_h$ aus dem Graphen der Funktion $g_4$ durch Verschiebung um $3$ in positive $x$ -Richtung hervorgeht.

(1 BE)

Die Punkte $B_a(a \mid h(a))$ mit $a \in[-2 ; 8]$ entsprechen den Positionen des Planeten auf dem modellierten Teil seiner Bahn.
Für die Bewegung des Planeten gilt im Modell: Die Strecke $[OB_a]$ überstreicht in gleichen Zeitabschnitten Flächenstücke gleich großen Inhalts.

Das bedeutet für $a_1, a_2, a_3, a_4 \in[-2 ; 8]$ mit $a_1\lt a_2$ und $a_3\lt a_4:$ Wenn der Planet für den Bahnabschnitt, der im Modell durch die Punkte $B_{a_1}$ und $B_{a_2}$ begrenzt wird, die gleiche Zeit benötigt wie für den Bahnabschnitt, der durch die Punkte $B_{a_3}$ und $B_{a_4}$ begrenzt wird, so hat das Flächenstück, das von $G_h,[OB_{a_1}]$ und $[OB_{a_2}]$ eingeschlossen wird, den gleichen Inhalt wie das Flächenstück, das von $G_h,[OB_{a_3}]$ und $[OB_{a_4}]$ eingeschlossen wird (vgl. Abbildung 4).

Abb. 4

Es gibt einen Wert $a^*\gt 0$ , für den das von $G_h,[OB_{a^*}]$ und $[ON]$ eingeschlossene Flächenstück den gleichen Inhalt hat wie das Flächenstück, das $G_h$ im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt. Ermittle diesen Wert $a^*.$

(zur Kontrolle: $a^*\approx 7,8$ )

(4 BE)

Zeichne den Punkt $B_{a^*}$ in Abbildung 3 ein. Begründe anhand von Abbildung 3, dass die mittlere Bahngeschwindigkeit des Planeten in dem Bahnabschnitt, der im Modell im zweiten Quadranten durch die Schnittpunkte von $G_h$ mit den Koordinatenachsen begrenzt wird, größer ist als die mittlere Bahngeschwindigkeit des Planeten auf dem im Modell durch $N$ und $B_{a^*}$ im ersten Quadranten begrenzten Bahnabschnitt.

(4 BE)

Der Planet benötigt für den in Aufgabe 2g beschriebenen Bahnabschnitt, der im Modell im zweiten Quadranten liegt, drei Tage. Berechne die Zeit, die der Planet für einen vollständigen Umlauf um den Stern benötigt.

(3 BE)

(40 BE)

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Da die Wurzelfunktion nur für nichtnegative Zahlen definiert ist, gilt $D$ $= [-5;5].$

Auf diese Weise ergeben sich auch die Nullstellen von $f$ zu $x_1=-5$ und $x_2=5.$

Für den Abstand $d(x)$ eines Punkts $P(x\mid f(x))$ zum Koordinatenursprung gilt:

$\begin{array}[t]{rll} d(x) &=& \sqrt{x^2 +f(x)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{x^2+\sqrt{25-x^2}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{x^2 + 25 -x^2} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$

Jeder Punkt auf $G_f$ hat also den Abstand $5$ zum Koordinatenursprung.

Ableiten von $f$ im CAS liefert folgenden Funktionsterm:

$\(f$

Die Steigung $m$ der Tangenten $t_k$ ist somit gegeben durch $m$ $= -\frac{k}{\sqrt{25-k^2}}.$ Es folgt:

$\tan\left(-\dfrac{k}{\sqrt{25-k^2}}\right) = 30^\circ$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt weiter:

$k \approx 4,19$

Für die Steigung $\(m$ der Geraden $u_k$ folgt mit dem Differenzenquotienten:

$\(m$ $= \dfrac{\sqrt{25-k^2}-0}{k-0}$ $= \dfrac{\sqrt{25-k^2}}{k}$

Mit der Steigung von $t_k$ aus Aufgabenteil c) folgt weiter:

$\(m\cdot m$ $= -\dfrac{k}{\sqrt{25-k^2}}\cdot\dfrac{\sqrt{25-k^2}}{k}$ $= -\dfrac{k\cdot\sqrt{25-k^2}}{k\cdot\sqrt{25-k^2}}$ $= -1$

Somit stehen $t_k$ und $u_k$ zueinander senkrecht.

Je weiter sich $k$ dem Wert null annähert, desto mehr nähert sich die Tangente $t_k$ der waagerechten Geraden mit der Gleichung $y=25$ an. Somit verschiebt sich ihr Schnittpunkt mit der $x$ -Achse immer weiter nach rechts auf der $x$ -Achse. Somit gilt $\lim\limits_{k\to0} A(k) = +\infty.$
Je mehr sich $k$ dem Wert $5$ annähert, desto mehr nähert sich $u_k$ der $x$ -Achse an. In diesem Fall hätte das Dreieck keinen Flächeninhalt. Somit folgt $\lim\limits_{k\to5} A(k) = 0.$

Die Grundseite des Dreiecks liegt auf der $x$ -Achse und wird durch den Koordinatenursprung sowie den Schnittpunkt von $t_k$ mit der $x$ -Achse begrenzt. Die Länge der Grundseite entspricht daher der Nullstelle von $t_k.$

Die zugehörige Höhe ist die $y$ -Koordinate von $P_k,$ also $h_k = \sqrt{25-k^2}.$

1. Schritt: Gleichung von $\boldsymbol{t_k}$ bestimmen

Nach Aufgabenteil c) ist die Steigung von $t_k$ mit $t_k(x) = m\cdot x + b$ gegeben durch:

$m = -\dfrac{k}{\sqrt{25-k^2}}$

Eine Punktprobe mit $P_k\left(k\mid \sqrt{25-k^2}\right)$ liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} t_k(x) &=& -\dfrac{k}{\sqrt{25-k^2}}\cdot x + b \\[5pt] \sqrt{25-k^2} &=& -\dfrac{k}{\sqrt{25-k^2}}\cdot k + b \scriptsize \quad\mid \; CAS \\[5pt] b &=& \dfrac{25}{\sqrt{25-k^2}} \end{array}$

Eine Gleichung von $t_k$ ist also:

$t_k:\, y = -\frac{k}{\sqrt{25-k^2}}\cdot x + \frac{25}{\sqrt{25-k^2}}$

2. Schritt: Nullstelle von $\boldsymbol{t_k}$ bestimmen

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} t_k(x) &=& 0 \\[5pt] -\dfrac{k}{\sqrt{25-k^2}}\cdot x + \dfrac{25}{\sqrt{25-k^2}} &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& \dfrac{25}{k} \end{array}$

Die Grundseite des Dreiecks besitzt daher die Länge $g_k=\frac{25}{k}.$

3. Schritt: Term von $A(k)$ nachweisen

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A(k) &=& \dfrac{1}{2}\cdot g_k \cdot h_k \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \frac{25}{k}\cdot \sqrt{25-k^2} \\[5pt] &=& \dfrac{25}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{25-k^2}}{k}\;[\text{FE}] \end{array}$

Strenge Monotonie zeigen

Mit dem CAS ergibt sich:

$\(A$

Wegen $2k^2\gt 0$ und $\sqrt{25-k^2}\gt 0$ für $k\in ]0;5[,$ ist $\(A$ für alle $k\in ]0;5[.$
Also nimmt $A$ in $]0;5[$ streng monoton ab.

Wendestelle zeigen

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt für die Nullstellen von $\(A$

$k_1\approx -4,08$

$k_2\approx 4,08$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendestellen überprüfen

Mit dem CAS ergibt sich:

$\(A$

Da $k_1\notin]0;5[,$ besitzt $A$ somit genau eine Wendestelle in diesem Intervall.

Bedeutung angeben

Die relative Abnahme des Flächeninhalts des Dreiecks ist für $k\approx 4,08$ am größten, da $\(A$

Der Graph von $g_b$ geht aus dem Graphen $G_f$ durch Stauchung mit dem Faktor $\frac{b}{5}$ hervor, das heißt aus dem Halbkreis wird die Hälfte einer Ellipse.

Die Wertemenge von $f$ ist das Intervall $[0;5],$ somit ergibt sich die Wertemenge von $g_b$ als das Intervall $\left[0;\dfrac{b}{5}\cdot5\right] = [0;b].$

$G_f$ schließt mit der $x$ -Achse einen Halbkreis mit Flächeninhalt $\frac{1}{2}\cdot\pi\cdot5^2$ $= \frac{25}{2}\pi\;[\text{FE}]$ ein. Da der Graph von $g_b$ aus $G_f$ durch eine Stauchung mit Faktor $\frac{b}{5}$ entsteht, folgt für den gesuchten Flächeninhalt $\frac{25}{2}\pi\cdot\frac{b}{5}$ $= \frac{5}{2}b\pi\;[\text{FE}].$

$g_b^*:x \mapsto -\dfrac{b}{5}\cdot\sqrt{25-x^2}$

Die durch die gestrichelte Linie dargestellte Ellipse entsteht aus $g_b$ durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. Somit handelt es sich hierbei um die Umkehrfunktion. Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$y = \sqrt{25\cdot\left(1-\left(\dfrac{x}{b}\right)^2\right)}$

Ein Term einer Funktion, die im ersten Quadranten mit der gestrichelte Ellipse übereinstimmt, ist somit gegeben durch $i:x\mapsto \sqrt{25\cdot\left(1-\left(\frac{x}{b}\right)^2\right)}.$

$g_4(x-3)$ $= \dfrac{4}{5}\cdot\sqrt{25-(x-3)^2}$ $= \dfrac{4}{5}\cdot\sqrt{25-(x^2-6x+9)}$ $= \dfrac{4}{5}\cdot\sqrt{-x^2+6x+16}$ $= h(x)$

1. Schritt: Flächeninhalt im zweiten Quadranten bestimmen

Die Nullstellen von $h$ sind $x_1=-2$ und $x_2=8.$

Der Inhalt der Fläche, die $G_h$ im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen einschließt kann also durch folgendes Integral bestimmt werden:

$A_1 =\displaystyle\int_{-2}^{0}h(x)\;\mathrm dx$

2. Schritt: $\boldsymbol{a^*\gt0}$ bestimmen

Flächeninhalt - Ellipse - Bayern Abi CAS 2023

Das gesuchte Flächenstück setzt sich aus dem Integral über $h(x)$ zwischen $x_1=a^*$ und $x_2=8$ und einem Dreieck mit den Kathetenlängen $a=a^*$ und $b=h(a^*)$ zusammen. Es gilt also:

$A_2 = \frac{1}{2}\cdot a^*\cdot h(a^*) + \displaystyle\int_{a^*}^{8}h(x)\;\mathrm dx$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

Rechenweg anzeigen

$a^* \approx 7,8$

Punkt $\boldsymbol{B_{a^*}}$ einzeichnen

Mittlere Bahngeschwindigkeit begründen

Da der Planet laut Aufgabenstellung für die beiden beschriebenen Teilstücke der Bahn gleich viel Zeit benötigen muss, und in der Abbildung klar erkennbar ist, dass das Bahnstück im zweiten Quadranten länger ist als das andere, folgt, dass die mittlere Bahngeschwindigkeit im ersten Teilstück größer sein muss.

Nach Aufgabenteil 2b) ist die Größe der durch die Planetenbahn eingeschlossenen Fläche $2\cdot\dfrac{5}{2}\cdot4\cdot\pi$ $\approx 62,83\;[\text{FE}].$

Der Flächeninhalt des Teilstücks im zweiten Quadranten ergibt sich nach Aufgabenteil 2f) zu:

$\displaystyle\int_{-2}^{0}h(x)\;\mathrm dx\approx 4,47\;\text{FE}$

Der Planet braucht somit für einen vollständigen Umauf um den Stern ca. $\frac{62,83}{4,47}\cdot 3\text{ Tage}$ $\approx 42,17\,\text{ Tage}.$

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