Stochastik Prüfungsteil B

Aufgabengruppe 1

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei $100.000$ der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind $12.000$ jeweils $5\,€$ wert, der Rest ist jeweils $1\,€$ wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
A: $\quad$ „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“
B: $\quad$ „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von $1\,€$ .“

Berechne die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$ .

(2P)

Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis $A$ eintritt. Begründe, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann.

(2P)

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets $P(A)= 0,05$ und $P(B) =0,044$ .

Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der letzten Flasche eine Gewinnmarke befindet und diese den Wert $5\,€$ hat.

(3P)

Bestimme, z. B. durch systematisches Probieren, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $5\,\%$ mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.

(4P)

Berechne den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der $20$ Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden.

(3P)

Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede $20.$ Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorle-Flaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als $0,05$ ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.

Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von $200$ zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens $0,05$ .“ auf einem Signifikanzniveau von $1\,\%$ durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.

Ermittle den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimme anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur $3\,\%$ der Saftschorle-Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt.

(6P)

(20P)

Aufgabengruppe 2

Nach einem Bericht zur Allergieforschung aus dem Jahr 2008 litt damals in Deutschland jeder vierte bis fünfte Einwohner an einer Allergie. $41\,\%$ aller Allergiker reagierten allergisch auf Tierhaare. Kann aus diesen Aussagen gefolgert werden, dass 2008 mindestens $10\,\%$ der Einwohner Deutschlands auf Tierhaare allergisch reagierten? Begründe deine Antwort.

(3P)

Nach einer aktuellen Erhebung leiden $25\,\%$ der Einwohner Deutschlands an einer Allergie. Aus den Einwohnern Deutschlands werden $n$ Personen zufällig ausgewählt.

Bestimme, wie groß $n$ mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\,\%$ mindestens eine der ausgewählten Personen an einer Allergie leidet.

(3P)

Ermittle, z. B. durch systematisches Probieren, wie groß $n$ mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $25$ der ausgewählten Personen an einer Allergie leiden, kleiner als $10\,\%$ ist.

(3P)

Im Folgenden ist $n=200$ . Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße $X$ höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht.

(4P)

Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $39,5\,\%$ ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von $85\,\%$ positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von $35\,\%$ ebenfalls positiv.

Ermittle, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert.

(Ergebnis: $9\,\%$ )

(3P)

Eine aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählte Person wird getestet; das Testergebnis ist positiv. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person tatsächlich an einer Tierhaarallergie leidet.

(2P)

Aus der Bevölkerung Deutschlands wird eine Person zufällig ausgewählt und getestet. Beschreibe das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang mit dem Term $0,09\cdot 0,15 + 0,91\cdot 0,35$ berechnet wird.

(2P)

(20P)

Aufgabengruppe 1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Von einem Getränkehersteller werden $2.000.000$ Flaschen für eine Werbeaktion produziert. Bei $100.000$ Flaschen wird eine Gewinnmarke in den Verschluss geklebt. $12.000$ davon sind $5\,€$ wert, $88.000$ lediglich $1\,€$ . Du sollst die Wahrscheinlichkeit zu zwei Ereignissen berechnen, wenn eine Flasche geöffnet wird:

$A$ : Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke
$B$ : Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von $1\,€$

1. Schritt: $\boldsymbol{P(A)}$ berechnen

Die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ erhältst du aus dem Quotienten der Flaschen mit Gewinnmarke und allen Flaschen.

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \dfrac{100.000}{2.000.000} \\[5pt] &=& 0,05 =5\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit eine Flasche mit Gewinnmarke zu öffnen beträgt $5\%$ .

2. Schritt: $\boldsymbol{P(B)}$ berechnen

Um auf die Wahrscheinlichkeit zu schließen eine Gewinnmarke im Wert von $1\,€$ zu erhalten, verwendest du die Wahrscheinlichkeit für eine Gewinnmarke und berechnest mit dem Verhältnis der $1\,€$ und $5\,€$ Marken die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 0,05\cdot \dfrac{88.000}{100.000} \\[5pt] &=& 0,044 =4,4\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $4,4\%$ wird eine Flasche mit einer $1\,€$ Marke geöffnet.

$\blacktriangleright$ Zufallsexperiemnt als Bernoullikette begründen

Du sollst begründen, warum es sich bei dem Öffnen mehrerer Flaschen, näherungsweise um eine Bernoullikette handelt, wenn auf das Ereignis $A$ geprüft wird.
Eine Bernoullikette zeichnet aus, dass die Wahrscheinlichkeit in jedem Schritt gleich bleibt. Es werden mehrere, aber trotzdem wenige, Flaschen geöffnet. Da die Anzahl der Stichproben im Verhältniss zur Gesamtzahl klein ist, ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht wesentlich. Selbst wenn zehn Flaschen mit Gewinnmarke geöffnet werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit gerundet weiterhin $5\%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass erstmals in der zehnten Flasche eine Gewinnmarke gefunden wird. Da du gerade festgestellt hast, dass sich dieses Experiment als Bernoullikette beschreiben lässt, ist die Zufallsvariable $X$ , welche die Anzahl der Gewinnmarken angibt binomialverteilt mit $P(A)=p=0,05$ . Um die Wahrscheinlichkeiten innerhalb einer Bernoullikette zu berechnen, verwendest du die Bernoulli-Formel:

$P(X=k)=B_{n,p}(k)= \quad ...$

Vollständige Lösung anzeigen

In dieser Aufgabe kannst du den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ jedoch vernachlässigen, da die Reihenfolge in welcher die Flaschen geöffnet werden, eine Rolle spielt. Du erhältst mit $n=10$ geöffneten Flaschen und genau $k=1$ Treffer:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=& 0,05^1 \cdot \left(1-0,05\right)^{10-1} \\[5pt] &\approx& 0,0315 =3,15\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $3,15\%$ enthält erstmals die zehnte Flasche eine Gewinnmarke.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Flaschen nachschlagen

Du sollst bestimmen, wie viele Flaschen geöffnet werden müssen, also wie groß $n$ sein muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $5\%$ , mindestens zwei Gewinnmarken zu erhalten. Du betrachtest also die Ungleichung in $n$ :

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 2)&=& \sum\limits_{k=2}^n \binom{n}{k}\cdot 0,05^k\cdot 0,95^{n-k} \\[5pt] 0,05 &\leq& \sum\limits_{k=2}^n \binom{n}{k}\cdot 0,05^k\cdot 0,95^{n-k} \end{array}$

Um diese Ungleichung mit dem nspire zu lösen verwendest du eine Tabelle und den Befehl „binomialCDf“. Du findest ihn unter:

Menü $\rightarrow$ Statistik $\rightarrow$ Verteilung $\rightarrow$ Binom Cdf

Du befüllst die Spalte A mit den Zahlen $0,\,1,\,2,\,\cdots$ aufsteigend. Für „Binom Cdf“ benutzt in der ersten Zeile der ersten Spalte die Untergrenze $2$ , die Obergrenze $A1$ , die Anzahl der Versuche $A1$ und die Wahrscheinlichkeit $p=0,05$ . Das Feld ziehst du nach unten, um den Befehl zu vervielfachen.

Tabelle mit Zahlen und Formeln in einer Software-Anwendung. Highlighted Wert in Zeile 8.

Abb. 1: Binomialverteilung mit dem nspire lösen

Du erkennst, dass $n\geq 8$ gelten muss, da dort die Wahrscheinlichkeit erstmals größer als $5\%$ ist.

$\blacktriangleright$ Gesamtwert der Gewinnmarken berechnen

Du sollst den Gesamtwert der Gewinnmarken berechnen, die ein Kunde erhält, wenn er zwanzig Flaschen öffnet. Dazu berechnest du den Erwartungswert $E(X)$ einer geöffneten Flasche. Diesen erhältst du aus der Multiplikation des Ergebnisses mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein Kunde kann bei einer Flasche mit einem Gewinn von $0,226\,€$ rechnen. Bei zwanzig Flaschen sind also $20\cdot0,226\,€=4,52\,€$ .

$\blacktriangleright$ Hypothesentest durchführen

Nach dem die ersten zwei Millionen Flaschen verkauft wurden, gibt der Herstellen bekannt, dass die Aktion verlängert wurde. Du sollst überprüfen ob die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei $p=0,05$ geblieben ist . Dazu stellst du eine Nullhypothese und eine Alternativhypothese auf.

$H_0$ : $p_0\geq0,05$

$H_1$ : $p \lt 0,05$

Du betrachtest die Ungleichung in $k$ bei einem Signifikanzniveau, welche als Grenzwahrscheinlichkeit dient, von $\alpha=0,01$ und $n=200$ getesteten Flaschen:

$\begin{array}[t]{rll} 0,01 &\geq& P(X\leq k) \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dem Taschenrechner löst du diese Aufgabe wie zuvor 1) $\,$ d). Du benutzt, in der ersten Zeile, $0$ als Untergrenze, $A1$ als Obergrenze, $n=200$ als Anzahl der Versuche und $p=0,05$ als Wahrscheinlichkeit.

Tabelle mit Zahlen und Formeln, die Wahrscheinlichkeiten darstellen.

Abb. 2: Binomialverteilung mit dem nspire lösen

Für $n=4$ beträgt die Wahrscheinlichkeit das Erste mal mehr als $1\%$ . Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist $\lbrace 0,\,\cdots,\,3\rbrace$ . Werden weniger als vier Flaschen mit einer Gewinnmarke gefunden, ist davon auszugehen, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner als $5\%$ ist und die Nullhypothese ist abzulehnen.

$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art berechnen

Du sollst bestimmen mit welcher Wahrscheinlichkeit der Getränkehersteller keine Sonderwerbeveranstaltung bezahlt, obwohl die Wahrscheinlichkeit für eine Gewinnmarke nur $3\%$ beträgt. Gesucht ist der Fehler 2. Art. Den Fehler 2. Art $\beta$ bestimmst du mit $1-P(X\leq k)$ , wobei du nun die Wahrscheinlichkeit $p=0,3$ benutzt und $k$ durch den Annahmebereich der Nullhypothese festgelegt wird auf $k=3$ .

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 1-\sum\limits_{k=0}^3\binom{200}{k}\cdot 0,03^k\cdot 0,97^{200-k} \\[5pt] &\approx& 0,8528 =85,28\% \end{array}$

Erneut löst du diese Aufgabe mit dem Befehl ‚Binom Cdf‘, allerdings kannst du nun direkt das „Berechnen“ Fenster verwenden. Du verwendest $0$ für die Untergrenze, $3$ für die Obergrenze, $n=200$ für die Anzahl der Versuche und $p=0,03$ als Wahrscheinlichkeit.

Screenshot eines Berechnungsprogramms mit einer Binomialverteilungsfunktion und einem Ergebnis von 0,852849.

Abb. 3: Binomialverteilung mit dem nspire lösen

Es liegt mit $85,28\%$ ein Fehler 2. Art vor.

Aufgabengruppe 2

$\blacktriangleright$ Aussage begründen

Du sollst begründen, ob es möglich ist zu behaupten, dass mindestens $10\%$ aller Einwohner an einer Tierhaarallergie litten. Hier wurde eine „mindetens“ Aussage getroffen, das heißt es ist das Minimum zu bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Allergiker ist, beträgt also $P(A)=\frac{1}{5}$ und nicht $\frac{1}{4}$ . Betrachtest du weiter die Allergiker mit Tierhaarallergie beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür $P(T\vert A)=41\%$ . Für eine Tierhaarallergie ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(T)&=& P(A)\cdot P(T\vert A) \\[5pt] &=& 0,082 =8,2\% \end{array}$

$8,2\%$ sind weniger als $10\%$ . Somit kann man nicht bestätigen, dass jeder zehnte Einwohner an einer Tierhaarallergie litt.

$\blacktriangleright$ Notwendige Anzahl bestimmen

Du sollst bestimmen, wie viele Personen ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\%$ , mindestens eine der Personen an einer Allergie leidet. Da die Anzahl der Einwohner Deutschlands wesentlich größer ist, als die Anzahl der befragten Personen kannst du davon ausgehen, dass die Zufallsvariable $X$ mit $p=25\%$ binomialverteilt ist. Für binomialverteilte Zufallsvariablen kannst du die Bernoulli-Formel benutzen, welche mit $n$ der Anzahl der untersuchten Personen, $k$ der Anzahl der Allergiker und $p=0,25$ die Wahrscheinlichkeit für $k$ aus $n$ allergischen Personen angibt.

$P(X=k)=B_{n,p}(k)= \quad ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Da mindestens eine Person an einer Allergie leiden soll, erhältst du eine Ungleichung in $n$ , wobei du um die Rechnung zu vereinfach, das Gegenereignis betrachtest:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 1)&=& 1-P(X=0) \\[5pt] 1-0,99&\geq& \binom{n}{0}\cdot 0,25^0\cdot 0,75^{n} \\[5pt] 0,01&\geq& 0,75^n \end{array}$

Diese Gleichung kannst du von deinem Taschenrechner lösen lassen. Den Befehl findest du unter:

Menü $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Löse

Mathematische Gleichung zur Lösung einer Ungleichung mit Variablen und Zahlen.

Abb. 4: Gleichung lösen mit dem nspire

Da ein ganzahliges Ergebnis anzugeben ist, müssen mindestens 17 Personen untersucht werden.

$\blacktriangleright$ Minimale Anzahl bestimmen Du sollst bestimmen, wie viele Personen ausgewählt werden müssen, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $25$ davon an einer Allergie leiden, kleiner als $10\%$ ist. Du benutzt erneut die Tabellenfunktion des Taschenrechners und den Befehl „Binom Cdf“. Dabei benutzt du, in der ersten Zeile, $0$ als Untergrenze, $25$ als Obergrenze, $A1$ als Anzahl der Versuche und $p=0,25$ als Wahrscheinlichkeit.

Tabelle mit Zahlen und Berechnungen in einer Spreadsheet-Anwendung.

Abb. 5: Binomialverteilung mit dem nspire lösen

Für $n=127$ ist die Wahrscheinlichkeit erstmals kleiner als $10\%$ . Es müssen also mindestens $127$ Personen ausgewählt werden.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Abweichung vom Erwartungswert bestimmen

Es werden $200$ Personen untersucht und du sollst bestimmen mit welcher Wahrscheinlichkeit ein das Ergebnis im $1-\sigma$ Intervall liegt. Zum lösen benötigst du den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ . Für Binomialverteilungen gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 200\cdot 0,25 \\[5pt] &=& 50 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sigma &=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{200\cdot 0,25\cdot 0,75} \\[5pt] &\approx& 6,12 \end{array}$

Das $1-\sigma$ Intervall ist dementsprechend $\left[\lceil\mu-\sigma\rceil,\lfloor\mu+\sigma\rfloor\right]=\left[44,56\right]$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Allergiker in diesem Intervall liegt, berechnest du mit dem Befehl „binomialCDf“. Du verwendest $44$ als Untergrenze, $56$ als Obergrenze, $n=200$ und $p=0,25$ .

Screenshot einer Berechnung mit der Funktion binomCdf in einer Software.

Abb. : Binomialverteilung mit dem nspire lösen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $71,17\%$ liegt die Anzahl der Allergiker im $1-\sigma$ Intervall und weicht somit maximal um eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Tierhaarallergie berechnen

Du sollst berechnen mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällig ausgewählte Testperson an einer Tierhaarallergie leidet. Dazu betrachtest du die zwei Ereignisse und trägst sie in einem Baumdiagramm auf:

$T$ : Test ist positiv
$H$ : Person reagiert auf Tierhaare allergisch

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse.

: Baumdiagramm zu Aufgabe 3

Somit kannst du $P(H)$ berechnen mit:

$\begin{array}[t]{rll} 0,395&=& ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$9\%$ der Bevölkerung reagiert allergisch auf Tierhaare.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für korrektes Testergebnis berechnen

Du sollst berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein positives Testergebnis korrekt ist. Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit für eine Tierhaarallergie unter der Bedingung, dass der Test positiv ausfällt. Dazu kannst du den Satz von Bayes verwenden:

$P(H\vert T)=\dfrac{P(T\vert H)\cdot P(H)}{P(T)}$

Die Wahrscheinlichkeit $P(H)=0,09$ hast du oben bereits berechnet. Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test insgesamt kennst du aus der Aufgabenstellung $P(T)=0,395$ . $P(T\mid H) = 0,85$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test, falls der getestet Patient eine Tierhaarallergie hat und kann ebenfalls aus der Aufgabenstellung abgelesen werden.

Somit kannst du, unter Verwendung der Bayschen Formel, die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(H\vert T)&=& \dfrac{P(T\vert H)\cdot P(H)}{P(T)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,85\cdot 0,09}{0,395} \\[5pt] &\approx& 0,1937=19,37\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $19,37\%$ ist eine positiv getestete Person wirklich allergisch.

$\blacktriangleright$ Term im Sachzusammenhang interpretieren

Du sollst den Term $p=0,09\cdot 0,15+0,91\cdot 0,35$ im Sachzusammenhang interpretieren. Du erkennst, dass es sich durch die Addition um zwei verschieden Ereignisse handelt. Betrachte beide Teile getrennt.

1. Teil: $\boldsymbol{0,09\cdot 0,15}$

Die Wahrscheinlichkeit $0,09$ zeigt an, dass eine Person an einer Tierhaarallergie leidet. $0,15$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test trotzdem negativ ist.

2. Teil: $\boldsymbol{0,91\cdot 0,35}$

$0,91$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht an einer Tierhaarallergie leidet. $0,35$ zeigt an, dass der Test trotzdem positiv ist.

Zusammenfassend ergibt sich, dass der Term die Wahrscheinlichkeit angibt, dass der Test nicht funktioniert.

Aufgabengruppe 1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

$A$ : Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke
$B$ : Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von $1\,€$

1. Schritt: $\boldsymbol{P(A)}$ berechnen

Die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ erhältst du aus dem Quotienten der Flaschen mit Gewinnmarke und allen Flaschen.

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \dfrac{100.000}{2.000.000} \\[5pt] &=& 0,05 =5\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit eine Flasche mit Gewinnmarke zu öffnen beträgt $5\%$ .

2. Schritt: $\boldsymbol{P(B)}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& 0,05\cdot \dfrac{88.000}{100.000} \\[5pt] &=& 0,044 =4,4\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $4,4\%$ wird eine Flasche mit einer $1\,€$ Marke geöffnet.

$\blacktriangleright$ Zufallsexperiemnt als Bernoullikette begründen

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(X=k)=B_{n,p}(k)=\quad ...$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} P(X=1)&=& 0,05^1 \cdot \left(1-0,05\right)^{10-1} \\[5pt] &\approx& 0,0315 =3,15\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $3,15\%$ enthält erstmals die zehnte Flasche eine Gewinnmarke.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Flaschen nachschlagen

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 2)&=& \sum\limits_{k=2}^n \binom{n}{k}\cdot 0,05^k\cdot 0,95^{n-k} \\[5pt] 0,05 &\leq& \sum\limits_{k=2}^n \binom{n}{k}\cdot 0,05^k\cdot 0,95^{n-k} \end{array}$

Um diese Ungleichung mit dem Classpad zu lösen verwendest du eine Tabelle und den Befehl „binomialCDf“. Du findest ihn unter:

Interactive $\rightarrow$ Distribution/Inv.Dist. $\rightarrow$ Discrete $\rightarrow$ binomialCDf

In diesem Befehl benutzt du die Untergrenze $2$ , die Obergrenze $x$ , die Anzahl der Versuche $x$ und die Wahrscheinlichkeit $p=0,05$ . Kopiere dies in das Graphikfenster und lasse ihn in einer Tabelle ausrechnen.

Grafische Darstellung von Daten in einem mathematischen Programm mit Berechnungen zur Binomialverteilung.

Abb. 1: Binomialverteilung mit dem Classpad lösen

Du erkennst, dass $n\geq 8$ gelten muss, da dort die Wahrscheinlichkeit erstmals größer als $5\%$ ist.

$\blacktriangleright$ Gesamtwert der Gewinnmarken berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein Kunde kann bei einer Flasche mit einem Gewinn von $0,226\,€$ rechnen. Bei zwanzig Flaschen sind also $20\cdot0,226\,€=4,52\,€$ .

$\blacktriangleright$ Hypothesentest durchführen

$H_0$ : $p_0\geq0,05$

$H_1$ : $p \lt 0,05$

Du betrachtest die Ungleichung in $k$ bei einem Signifikanzniveau, welche als Grenzwahrscheinlichkeit dient, von $\alpha=0,01$ und $n=200$ getesteten Flaschen:

$\begin{array}[t]{rll} 0,01 &\geq& P(X\leq k) \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dem Taschenrechner löst du diese Aufgabe wie zuvor 1) $\,$ d). Du benutzt $0$ als Untergrenze, $x$ als Obergrenze, $n=200$ als Anzahl der Versuche und $p=0,05$ als Wahrscheinlichkeit.

Ein Screenshot einer mathematischen Berechnung mit einer Tabelle von Werten und einer Funktion zur Binomialverteilung.

Abb. 2: Binomialverteilung mit dem Classpad lösen

$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 1-\sum\limits_{k=0}^3\binom{200}{k}\cdot 0,03^k\cdot 0,97^{200-k} \\[5pt] &\approx& 0,8528 =85,28\% \end{array}$

Erneut löst du diese Aufgabe mit dem Befehl ‚binomialCDf‘, allerdings kannst du nun direkt das „Main“ Fenster verwenden. Du verwendest $0$ für die Untergrenze, $3$ für die Obergrenze, $n=200$ für die Anzahl der Versuche und $p=0,03$ als Wahrscheinlichkeit.

Screenshot einer mathematischen Berechnung mit binomialCDF-Funktion und Ergebnis.

Abb. 3: Binomialverteilung mit dem Classpad lösen

Es liegt mit $85,28\%$ ein Fehler 2. Art vor.

Aufgabengruppe 2

$\blacktriangleright$ Aussage begründen

$\begin{array}[t]{rll} P(T)&=& P(A)\cdot P(T\vert A) \\[5pt] &=& 0,082 =8,2\% \end{array}$

$8,2\%$ sind weniger als $10\%$ . Somit kann man nicht bestätigen, dass jeder zehnte Einwohner an einer Tierhaarallergie litt.

$\blacktriangleright$ Notwendige Anzahl bestimmen

$P(X=k)=B_{n,p}(k)= \quad ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Da mindestens eine Person an einer Allergie leiden soll, erhältst du eine Ungleichung in $n$ , wobei du um die Rechnung zu vereinfach, das Gegenereignis betrachtest:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 1)&=& 1-P(X=0) \\[5pt] 1-0,99&\geq& \binom{n}{0}\cdot 0,25^0\cdot 0,75^{n} \\[5pt] 0,01&\geq& 0,75^n \end{array}$

Diese Gleichung kannst du von deinem Taschenrechner lösen lassen. Den Befehl findest du unter:

Interactive $\rightarrow$ Advanced $\rightarrow$ solve

Screenshot einer mathematischen Software, die eine Ungleichung löst.

Abb. 4: Gleichung lösen mit dem Classpad

Da ein ganzahliges Ergebnis anzugeben ist, müssen mindestens 17 Personen untersucht werden.

$\blacktriangleright$ Minimale Anzahl bestimmen Du sollst bestimmen, wie viele Personen ausgewählt werden müssen, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $25$ davon an einer Allergie leiden, kleiner als $10\%$ ist. Du benutzt erneut die Tabellenfunktion des Taschenrechners und den Befehl „binomialCDf“. Dabei benutzt du $0$ als Untergrenze, $25$ als Obergrenze, $x$ als Anzahl der Versuche und $p=0,25$ als Wahrscheinlichkeit.

Tabelle mit Werten einer binomialen kumulativen Verteilungsfunktion.

Abb. 5: Binomialverteilung mit dem Classpad lösen

Für $n=127$ ist die Wahrscheinlichkeit erstmals kleiner als $10\%$ . Es müssen also mindestens $127$ Personen ausgewählt werden.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Abweichung vom Erwartungswert bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 200\cdot 0,25 \\[5pt] &=& 50 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sigma &=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{200\cdot 0,25\cdot 0,75} \\[5pt] &\approx& 6,12 \end{array}$

Mathematische Berechnung mit binomialCDF-Funktion und Ergebnis.

Abb. : Binomialverteilung mit dem Classpad lösen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $71,17\%$ liegt die Anzahl der Allergiker im $1-\sigma$ Intervall und weicht somit maximal um eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Tierhaarallergie berechnen

$T$ : Test ist positiv
$H$ : Person reagiert auf Tierhaare allergisch

: Baumdiagramm zu Aufgabe 3

Somit kannst du $P(H)$ berechnen mit:

$\begin{array}[t]{rll} 0,395&=& ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$9\%$ der Bevölkerung reagiert allergisch auf Tierhaare.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für korrektes Testergebnis berechnen

$P(H\vert T)=\dfrac{P(T\vert H)\cdot P(H)}{P(T)}$

Somit kannst du, unter Verwendung der Bayschen Formel, die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(H\vert T)&=& \dfrac{P(T\vert H)\cdot P(H)}{P(T)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,85\cdot 0,09}{0,395} \\[5pt] &\approx& 0,1937=19,37\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $19,37\%$ ist eine positiv getestete Person wirklich allergisch.

$\blacktriangleright$ Term im Sachzusammenhang interpretieren

1. Teil: $\boldsymbol{0,09\cdot 0,15}$

Die Wahrscheinlichkeit $0,09$ zeigt an, dass eine Person an einer Tierhaarallergie leidet. $0,15$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test trotzdem negativ ist.

2. Teil: $\boldsymbol{0,91\cdot 0,35}$

$0,91$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person nicht an einer Tierhaarallergie leidet. $0,35$ zeigt an, dass der Test trotzdem positiv ist.

Zusammenfassend ergibt sich, dass der Term die Wahrscheinlichkeit angibt, dass der Test nicht funktioniert.