Teil A

Gegeben ist die Funktion $f:\, x\mapsto \frac{\mathrm e^{2x}}{x}$ mit Definitionsbereich $\text{D}_f = \mathbb{R}\setminus \{0\}.$
Bestimme Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von $f.$

(5 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definierte Funktion $f:\, x\mapsto 1-\frac{1}{x^2},$ die die Nullstellen $x_1= -1$ und $x_2 = 1$ hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f,$ der symmetrisch zur $y$ -Achse ist. Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-3$ gegeben.

Abb. 1

Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.

(1 BE)

Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade $g$ einschließen.

(4 BE)

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $f.$

Abb. 2

Einer der folgenden Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Abb. 3: Graph $\text{I}$

Abb. 4: Graph $\text{II}$

Abb. 5: Graph $\text{III}$

(3 BE)

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$ Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= \sqrt{1-x^3}-3$ und der Definitionsmenge $\text{D} = ]-\infty\, ; \, 1].$

Bestimme die Nullstelle von $f.$

(2 BE)

Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=0$ einen Wendepunkt. Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen im Wendepunkt.

(3 BE)

(20 BE)

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Lage und Art des Extrempunkts bestimmen

1. Schritt: Ableitungen bilden

Bestimme die ersten beiden Ableitungen mithilfe der Produktregel und der Kettenregel:

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \dfrac{\mathrm e^{2x}}{x} \\[5pt] &=& \mathrm e^{2x}\cdot x^{-1} \\[10pt] f‘(x) &=& ... \\[10pt] f‘‘(x) &=& ... \\[5pt] \end{array}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x) &=& 0 \\[5pt] ... \\[5pt] x &=& 0,5 \end{array}$

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Die einzige mögliche Extremstelle von $f$ ist $x_E= 0,5.$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$f‘‘(0,5) = 8\mathrm e^{1} \gt 0$

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An der Stelle $x_E= 0,5$ besitzt der Graph von $f$ also einen Tiefpunkt.

4. Schritt: Zweite Koordinate berechnen

$f(0,5) = 2\cdot \mathrm e$

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Bei dem einzigen Extrempunkt des Graphen von $f$ handelt es sich um einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0,5\mid 2\mathrm e).$

$\blacktriangleright$ Schnittstelle zeigen

Damit sich der Graph von $f$ und $g$ an der Stelle $x$ schneiden, muss $f(x) = -3$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$

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Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}.$

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt rechnerisch bestimmen

Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$ -Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.

Abb. 1: Skizze

Sowohl die Nullstellen von $f$ als auch die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt $A_1$ der rechten grünen Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0,5$ und $b=1$ berechnen:

$A_1 = 0,5$

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Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $3.$ Der zugehörige Flächeninhalt ist also:

$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 1\cdot 3 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:

$A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4$

Die Fläche, die der Graph von $f,$ die Gerade $g$ und die $x$ -Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion $f.$
Gehe also nacheinander die Graphen $\text{I}$ bis $\text{III}$ durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von $f$ passen.

Graph $\text{I}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben. Dies trifft zu, da der Graph von $f$ an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph $\text{I}$ die $y$ -Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8)$ schneidet. An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ also die Steigung $-0,8$ besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung $-0,8$ besitzt.
Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von $f$ gehört.
Graph $\text{II}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph $\text{II}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $f‘$ von $f$ gehören.
Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$ -Achse wie Graph $\text{I}$ und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die $y$ -Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.

Graph $\text{I}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$

$\blacktriangleright$ Monotonieverhalten angeben

Im Intervall $[1;3]$ liegt der Graph von $f$ unterhalb der $x$ -Achse. $f$ besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von $F.$
Da die Funktionswerte von $f$ auf dem Intervall $[1;3]$ negativ sind, ist die Steigung des Graphen von $F$ auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion $F$ fällt also streng monoton auf dem Intervall $[1;3].$