Teil B

Gegeben ist die Funktion $p$ mit $p(x)= \dfrac{\mathrm e^{-x}}{x^2+1}$ und maximalem Definitionsbereich $D$ .
Die folgende Abbildung zeigt den Graphen $G_p$ von $p.$

Graf einer mathematischen Funktion mit Koordinatenachsen und Gitterlinien.

Begründe jeweils anhand des Funktionsterms von $p$ , dass $D=\mathbb{R}$ und $\lim\limits_{x\to-\infty} p(x)=+ \infty$ ist.

(3 BE)

Weise nach, dass es genau einen Punkt gibt, in dem $G_p$ eine waagrechte Tangente besitzt, der jedoch kein Extrempunkt von $G_p$ ist.

(3 BE)

Für die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=mx +t$ mit $m, t\in \mathbb{R}$ gibt es genau zwei unterschiedliche Stellen $x_1,x_2 \, \in \mathbb{R},$ sodass die folgenden vier Bedingungen erfüllt sind:

(1) $p(x_1)=mx_1+t$
(2) $\(p$
(3) $p(x_2)=mx_2+t$
(4) $\(p$

Erläutere ohne Rechnung, welche Lagebeziehung die Gerade $g$ zu $G_p$ hat, und zeichne $g$ in Abbildung 1 ein.

(3 BE)

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_{a,b}: x \mapsto abx-bx^3$ mit $a,b \in \mathbb{R}^+$ und $x\in \mathbb{R}.$ Der Graph von $f_{a,b}$ wird mit $G_{a,b}$ bezeichnet.

Untersuche das Symmetrieverhalten von $G_{a,b}.$

(2 BE)

Bestimme Lage und Art der Extrempunkte von $G_{a,b}.$

$\bigg[$ zur Kontrolle: x-Koordinate des Tiefpunkts: $- \dfrac{1}{3}\sqrt{3a}$ $\, \bigg ]$

(4 BE)

Für jeden vorgegebenen Wert von $b$ kann man einen Wert für $a$ finden, sodass der Inhalt der von $G_{a,b}$ und der x-Achse im ersten Quadranten eingeschlossenen Fläche den Wert 1 besitzt. Weise diesen Sachverhalt nach.

(4 BE)

Bestimme die Werte von $a$ und $b$ so, dass der Tiefpunkt von $G_{a,b}$ die Koordinaten $(-5|-2,5 )$ hat.

(2 BE)

Die Funktion $f_{a,b}$ mit $a=75$ und $b=\dfrac{1}{100}$ wird mit $f$ bezeichnet, d.h. $f(x)= \dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{100}x^3.$ Die folgende Abbildung zeigt den Graphen $G_f$ von $f.$

Graph einer Funktion mit Achsen und Gitterlinien.

Der Graph $G_g$ der Funktion $g$ wird aus $G_f$ durch Verschiebung erzeugt, sodass der Tiefpunkt von $G_g$ im Koordinatenursprung liegt. Bestimme einen möglichen Funktionsterm von $g$ und zeichne $G_g$ in Abbildung 2 ein.

$\bigg[$ zur Kontrolle: $g(x)=\dfrac{1}{100}x^2 \cdot(15-x) \bigg]$

(4 BE)

Betrachtet wird nun die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto | g(x)|.$ Erläutere, aus welcher Eigenschaft von $G_g$ folgt, dass $h$ an einer Stelle nicht differenzierbar ist.

Für die ersten 15 Minuten nach Einsetzen eines Starkregens wird die momentane Durchflussrate an einer Messstelle eines Hochwasserkanals mit der Funktion $g$ modelliert. Dabei bezeichnet $x$ die Zeit in Minuten nach Einsetzen des Starkregens und $g(x$ ) die Durchflussrate des Wasservolumens in Kubikmetern pro Sekunde. Die folgende Abbildung zeigt den Querschnitt des Kanals am Ort der Messstelle.

Diagramm eines trichterförmigen Behälters mit Abmessungen von 4 m Breite und 2 m Tiefe.

Gib für $x\in [0;15]$ die Lösungen der Gleichung $g(x)=2$ an und interpretiere die Lösungen im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderung der Durchflussrate am größten ist.

(3 BE)

Berechne das Volumen des Wassers, das in den ersten 15 Minuten nach Einsetzen des Starkregens die Messstelle passiert.

(2 BE)

In einem stark vereinfachten Modell wird angenommen, dass das Wasser im Kanal gleichmäßig mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1,5 Metern pro Sekunde fließt. Unter dieser Voraussetzung ergibt der Quotient aus der Durchflussrate und der Geschwindigkeit des Wassers die Querschnittsfläche des Wasserstroms am Ort der Messstelle (vgl. Abbildung 3). Ermittle die maximale Höhe, die der Wasserspiegel im Kanal während der ersten 15 Minuten am Ort der Messstelle erreicht.

(5 BE)

(40 BE)

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Definitionsbereich
Für den Nenner des Funktionsterms gilt immer $x^2+1\neq 0$ für alle $x\in \mathbb{R}.$ Zudem ist der maximale Definitionsbereich von $\mathrm e^x$ und somit auch $\mathrm e^{-x}$ ebenfalls $\mathbb{R}.$ $p$ besitzt also keine Definitionslücken, somit ist $D=\mathbb{R}.$

Grenzwert
Es gilt

$\lim\limits_{x\to -\infty} \mathrm e^{-x}= \lim\limits_{x\to \infty} \mathrm e^{x} = + \infty$

$\lim\limits_{x\to -\infty} x^2+1 = + \infty$

Da das Wachstum der Exponentialfunktion $\mathrm e^{x}$ bzw. $\mathrm e^{-x}$ deutlich stärker ist, als das des Polynoms $x^2+1,$ gilt damit $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{\mathrm e^{-x}}{x^2+1} = +\infty.$

Die Lösungen der Gleichung $\(p$ sind die Stellen, an denen der Graph von $p$ eine waagerechte Tangente besitzt. Diese Gleichung kann mit dem solve-Befehl und der Ableitungsfunktion des CAS gelöst werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

Die einzige Lösung der Gleichung $\(p$ ist $x=-1.$ Somit besitzt der Graph von $p$ lediglich eine Stelle mit waagerechter Tangente.
Zudem ergibt sich mit dem CAS ebenfalls $\(p$ und $\(p$ sodass der Graph von $p$ an der Stelle $x=-1$ einen Sattelpunkt, also einen Punkt mit waagerechter Tangente aber keinen Extrempunkt besitzt.
Dies ist der einzige Punkt mit waagerechter Tangente.

Die Gerade $g$ ist an zwei Stellen eine Tangente an $G_p.$

Graph mit zwei Kurven in einem Koordinatensystem, beschriftet mit g und Gp.

$f_{a,b}(-x) = ab (-x) -b(-x)^3$ $= -ab x +bx^3 = -(abx -bx^3)$ $= -f_{a,b}(x)$

$G_{a,b}$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

$\(\begin{array}[t]{rll} f_{a,b}(x)&=& abx-bx^3&\quad \scriptsize \\[5pt] f$

Notwendiges Kriterium für Extremstellen

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} 0&=& f$

Hinreichendes Kriterium für Extremstellen

$\( f$

Koordinaten der Extrempunkte $G_{a,b}$ besitzt einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H \left (\sqrt{ \dfrac{a}{3}} \mid f \left(\sqrt{ \dfrac{a}{3}} \right)\right )$ und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T \left (-\sqrt{ \dfrac{a}{3}} \mid f \left(-\sqrt{ \dfrac{a}{3}} \right)\right ).$

Die eingeschlossene Fläche wird durch die Schnittstellen von $G_{a,b}$ mit der $x$ -Achse begrenzt. Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$f_{a,b}(x)=0$ für $x_1 = 0,$ $x_2= -\sqrt{a}$ und $x_3=\sqrt{a}$

Da die Fläche im ersten Quadranten liegen soll, werden $x_1$ und $x_3$ betrachtet.
Für den Inhalt der von $G_{a,b}$ und der $x$ -Achse im ersten Quadranten eingeschlossenen Fläche folgt:

$A= \displaystyle\int_{x_1}^{x_3}f_{a,b}(x)\;\mathrm dx =1$

Eine Stammfunktion von $f_{a,b}$ ist:

$F_{a,b} = \dfrac{1}{2} ab x^2 - \dfrac{1}{4} b x^4$

Damit folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$a=\pm\sqrt{ \frac{4}{b}}$

Da $a,b\in \mathbb{R}^+$ vorgegeben ist, gibt es also für jeden Wert von $b$ einen passenden Wert von $a,$ nämlich $a= \sqrt{ \frac{4}{b}},$ für den die beschriebene Fläche den Inhalt 1 besitzt.

Für die Koordinaten des Tiefpunktes gilt $T \left (-\sqrt{ \dfrac{a}{3}} \mid f \left(-\sqrt{ \dfrac{a}{3}} \right)\right )= (-5 \mid -2,5)$

$\begin{array}[t]{rll} -\sqrt{ \dfrac{a}{3}} &=& -5&\quad \scriptsize \mid\;:(-1) \mid\;^2 \\[5pt] \dfrac{a}{3} &=& 25&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] a&=&75 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f (-5)&=& -2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] 75b(-5)-b(-5)^3&=& -2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] -375 b+125 b&=& -2,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] -250 b&=& -2,5 &\quad \scriptsize \mid\;:(-250) \\[5pt] b&=&0,01 \end{array}$

Für $a=75$ und $b=0,01$ hat der Tiefpunkt von $G_{a,b}$ die Koordinaten $(-5\mid-2,5).$

Der Graph von $f$ wird um +5 Einheiten entlang der x-Achse und um +2,5 Einheiten entlang der y-Achse verschoben.

Daraus ergibt sich folgender Funktionsterm:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$g(x)=\frac{1}{100}x^2\cdot (15-x)$

Graph mit zwei Funktionen, dargestellt in grün und grau, auf einem Koordinatensystem mit Achsen und Raster.

$g$ besitzt mit $x=15$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. An einer solchen Stelle besitzt der Graph von $h$ einen Knick, sodass $h$ an dieser Stelle $x=15$ nicht differenzierbar ist.

Die Lösungen der Gleichung $g(x)=2$ für $[0;15]$ sind $x_1\approx 4,33$ und $x_2 \approx 13,98.$

Ca. 4,33 und 13,98 Minuten nach Einsetzen des Starkregens fließen 2 Kubikmeter Wasser pro Sekunde an der Messstelle durch den Kanal.

Die momentane Änderung der Durchflussrate wird durch die Funktion $\(g$ beschrieben. Mit der Ableitungsfunktion und der Maximum-Funtion des CAS kann die Stelle bestimmt werden, an der $\(g$ für $x\in [0;15]$ maximal wird.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

$\text{fMax(d1g(x),x,0,15)}$

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

$\text{fMax(d1g(x),x,0,15)}$

$x_{\text{max}} = 5$

5 Minuten nach Einsetzen des Starkregens ist die momentane Änderung der Durchflussrate am größten.

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{15}g(x)\;\mathrm dx = 42,1875$

In den ersten 15 Minuten passieren ca. 42,2 Kubikmeter Wasser die Messstelle.

Für den Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Wasserstroms am Ort der Messstelle kann die folgende Funktionsgleichung aufgestellt werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_Q(x) &=& \dfrac{g(x)}{1,5} \\[5pt] &=& \dfrac{ \dfrac{1}{100}x^2 (15-x)}{1,5}\\[5pt] &=& \dfrac{x^2 (15-x)}{150} \\[5pt] \end{array}$

Mit dem fMax-Befehl des CAS folgt $x_{\text{max}} = 10$ und $g(x_{\text{max}}) = \frac{10}{3}.$

Der maximale Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Wasserstroms beträgt also $\frac{10}{3} \,\text{m}^2.$

Die Querschnittsfläche hat die Form eines Trapezes. Es gilt also:

$A_Q = \frac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h$ mit $a=2$

Je höher der Wasserspiegel ist, desto größer ist auch $c.$ $c$ hängt linear von $h$ ab. Aus der Abbildung lässt sich entnehmen, dass gilt:

Für $h=0$ ist $c=2$ und für $h=2$ ist $c= 4$

Also gilt $c(h)= h+2$

Einsetzen liefert:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} A_Q &=& \frac{1}{2}\cdot (2+c)\cdot h \\[5pt] &=& ... \\[5pt] h_1 &\approx& 2,27 \\[5pt] h_2 &\approx& -4,27 \\[5pt] \end{array}$

Da die Höhe nicht negativ sein kann, beträgt die maximale Höhe des Wasserspiegels am Ort der Messstelle während der ersten 15 Minuten ca. 2,27 Meter.

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