Teil B

Jeder sechste Besucher eines Volksfests trägt ein Lebkuchenherz um den Hals. Während der Dauer des Volksfests wird $25$ -mal ein Besucher zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der ausgewählten Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen.

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: "Höchstens einer der ausgewählten Besucher trägt ein Lebkuchenherz."
B: "Der sechste ausgewählte Besucher ist der erste, der ein Lebkuchenherz trägt."

(2 BE)

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Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\displaystyle\sum\limits_{i=5}^8 B (25;\dfrac{1}{6};i)$ berechnet werden kann.

(2 BE)

$\,$

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße $X$ höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(4 BE)

Bei einer Losbude wird damit geworben, dass jedes Los gewinnt. Die Lose und die zugehörigen Sachpreise können drei Kategorien zugeordnet werden, die mit "Donau", "Main" und "Lech" bezeichnet werden. Im Lostopf befinden sich viermal so viele Lose der Kategorie "Main" wie Lose der Kategorie "Donau". Ein Los kostet $1 \, €$ . Die Inhaberin der Losbude bezahlt im Einkauf für einen Sachpreis in der Kategorie "Donau" $8 \, €$ , in der Kategorie "Main" $2 \, €$ und in der Kategorie "Lech" $20$ Cent. Ermittle, wie groß der Anteil der Lose der Kategorie "Donau" sein muss, wenn die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von $35$ Cent pro Los erzielen will.

(4 BE)

Die Inhaberin der Losbude beschäftigt einen Angestellten, der Besucher des Volksfests anspricht, um diese zum Kauf von Losen zu animieren. Sie ist mit der Erfolgsquote des Angestellten unzufrieden.

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Die Inhaberin möchte dem Angestellten das Gehalt kürzen, wenn weniger als $15 \, \%$ der angesprochenen Besucher Lose kaufen. Die Entscheidung über die Gehaltskürzung soll mithilfe eines Signifikanztests auf der Grundlage von $100$ angesprochenen Besuchern getroffen werden. Dabei soll möglichst vermieden werden, dem Angestellten das Gehalt zu Unrecht zu kürzen. Gib die entsprechende Nullhypothese an und ermittel die zugehörige Entscheidunsgregel auf dem Signifikanzniveau von $10 \, \%.$

(5 BE)

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Der Angestellte konnte bei der Durchführung des Tests zehn von $100$ erwachsenen dazu animieren, Lose zu kaufen. Er behauptet, dass er zumindest bei Personen mit Kind eine Erfolgsquote größer als $10 \, \%$ habe. Unter den $100$ angesprochenen Besuchern befanden sich $40$ Personen mit Kind. Von den Personen ohne Kind zogen $54$ kein Los. Überprüfe, ob das Ergebnis der Stichprobe die Behauptung des Angestellten stützt.

(2 BE)

(20 BE)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Die Zufallsgröße $X$ kann als binomialverteilt mit $n=25$ und $p=\frac{1}{6}$ angenommen werden. Du kannst dein CAS verwenden:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$P(A)\approx 6,29\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $6,29\,\%$ trägt von $25$ zufällig ausgewählten Besuchern höchstens ein Besucher ein Lebkuchenherz.

Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt für das zweite Ereignis:

$\begin{array}[t]{rll} P(B) &=& \left(\frac{5}{6}\right)^5\cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &\approx& 0,0670 \\[5pt] &=& 6,70\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $6,70\,\%$ ist der sechste Besucher der erste, der ein Lebkuchenherz trägt.

$\,$

$\blacktriangleright$ Ereignis im Sachzusammenhang beschreiben

Ein mögliches Ereignis ist:

„Von $25$ zufällig ausgewählten Besuchern des Volksfestes tragen mindestens $5$ und höchstens $8$ Besucher ein Lebkuchenherz.“

$\,$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Berechne zunächst den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$ mit den entsprechenden Formeln für binomialverteilte Zufallsgrößen:

$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& \frac{25}{6} \\[10pt] \sigma &=& \sqrt{\frac{125}{36}}\\[5pt] \end{array}$

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Gesucht ist also folgende Wahrscheinlichkeit:

$...\approx 70,21\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $70,21\,\%$ weicht der Wert der Zufallsgröße $X$ höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab.

$\blacktriangleright$ Anteil der Lose ermitteln

Bezeichne den gesuchten Anteil der Lose „Donau“ mit $p.$ Da es viermal so viele Lose der Kategorie „Main“ gibt, gilt also für deren Anteil $4p.$ Der Anteil der Lose der Kategorie „Lech“ ist demnach $1-p-4p = 1-5p.$

Für die erwarteten Kosten pro Los lässt sich damit folgender Term aufstellen:

$E(K)=p\cdot 15\,€ + 0,20\,€$

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Jedes Los wird außerdem für $1\,€$ verkauft. Der erwartete Gewinn für die Inhaberin kann daher wie folgt beschrieben werden:

$E(G)=0,80\,€ - p\cdot 15\,€$

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Der Gewinn soll nun $0,35\,€$ betragen. Also folgt:

$p=3\,\%$

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Damit die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von $35$ Cent pro Los erzielt, muss der Anteil der Lose der Kategorie „Donau“ $3\,\%$ betragen.

$\blacktriangleright$ Nullhypothese angeben

Mithilfe des Signifikanzniveaus wird die Wahrscheinlichkeit dafür eingeschränkt, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit gilt.
Es soll vermieden werden, dem Angestellten zu Unrecht das Gehalt zu kürzen. Das würde passieren, wenn man fälschlicherweise davon ausgehen würde, dass der Anteil der angesprochenen Besucher, die Lose kaufen, geringer als $15\,\%$ sei, obwohl er eigentlich bei mindestens $15\,\%$ liegt.
Die Nullhypothese muss also wie folgt gewählt werden:

$H_0:\,$ „Mindestens $15\,\%$ der angesprochenen Besucher kaufen Lose.“

In dem Fall wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dem Angestellten das Gehalt zu Unrecht gekürzt wird, auf höchstens $10\,\%$ beschränkt.

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel ermitteln

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_p,$ die in der Stichprobe von $100$ angesprochenen Besuchern die Anzahl der Besucher beschreibt, die Lose kaufen. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ und unbekanntem $p$ angenommen werden. Geht man davon aus, dass $X_p$ entsprechend dem maximalen Fall der Nullhypothese verteilt ist, ist $p=0,15.$
Gesucht ist nun die Entscheidungsgrenze $k,$ für die die Nullhypothese gerade noch abgelehnt wird. Gilt also $p=0,15$ so soll $k$ entsprechend des Signifikanzniveaus folgende Ungleichung gerade noch erfüllen:

$P(X_{0,15} \leq k) \leq 0,1$

Aus einer Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ oder mit deinem CAS erhältst du folgende Wahrscheinlichkeiten:

$P(X_{0,15}\leq 10) \lt 0,1$
$P(X_{0,15}\leq 11) \gt 0,1$

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Es ist also $k=10.$ Du kannst damit folgende Entscheidungsregel formulieren:

Kaufen in der Stichprobe von $100$ angesprochenen Besuchern höchstens $10$ Besucher Lose, so geht die Inhaberin auf dem Signifikanzniveau von $10\,\%$ davon aus, dass weniger als $15\,\%$ der angesprochenen Besucher Lose kaufen und kürzt dem Angestellten somit das Gehalt. Kaufen mehr als $10$ angesprochene Besucher Lose, so kürzt die Inhaberin der Losbude dem Angestellten nicht das Gehalt.

$\,$

$\blacktriangleright$ Behauptung überprüfen

Zeichne beispielsweise ein Baumdiagramm:

Abb. 1: Baumdiagramm

Du weißt, dass $10$ von $100$ angesprochenen Besuchern Lose gekauft haben. Von den $60$ Personen ohne Kinder haben $54$ keine Lose gekauft, also haben $6$ Personen ohne Kinder Lose gekauft. Daher haben von den $40$ übrigen Personen mit Kindern $4$ Personen Lose gekauft. Insgesamt ergeben sich folgende Anteile:

$\frac{4}{40} = 10\,\%$

$\frac{6}{60} = 10\,\%$

Die Personen, die Lose kaufen teilen sich anteilsmäßig also gleichermaßen auf die Personen mit Kind und die Personen ohne Kind auf. Bei beiden Personengruppen betrug der Anteil der Personen, die Lose kaufen $10\,\%,$ sodass man nicht von einem höheren Anteil bei Personen mit Kind ausgehen kann. Das Ergebnis der Stichprobe stützt die Behauptung des Angestellten also nicht.

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