Teil B

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R^+}$ definierten Funktionen $f_a:x\mapsto a \cdot \ln (x) +3$ mit $a\in \mathbb{R}^+.$ Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Beschreibe, wie $G_a$ aus dem Graphen der in $\mathbb{R}^+$ definierten Funktion $x \mapsto \ln(x)$ hervorgeht, und gib die Wertemenge von $f_a$ an.

(3 BE)

Zeige, dass es genau einen Punkt gibt, durch den die Graphen aller Funktionen der Schar verlaufen, und gib dessen Koordinaten an.

(3 BE)

Weise nach, dass die Steigungen der Graphen $G_a$ im jeweiligen Schnittpunkt von $G_a$ mit der x-Achse den Wert 3e nicht unterschreiten.

(6 BE)

Begründe, dass alle Funktionen der Schar umkehrbar sind.

(2 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen $G_{\frac{3}{2}}$ der Funktion $f_{\frac{3}{2}}.$ Die Umkehrfunktion von $f_{\frac{3}{2}}$ wird mit $g$ bezeichnet.

Graph einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Achsen und Gitterlinien.

Ergänze den Graphen von $g$ in der Abbildung.

(2 BE)

$G_{\frac{3}{2}}$ und der Graph von $g$ schließen ein Flächenstück ein, das von einer Gerade mit der Gleichung $x=b$ mit $b\in \mathbb{R}^+$ in zwei Flächenstücke gleichen Inhalts zerlegt wird. Ermittle $b$ auf zwei Dezimalen genau.

(6 BE)

In der Umgebung einer Schallquelle gibt der Term $L(r)=-\dfrac{20}{\ln 10} \cdot \ln(r)+120 - \dfrac{r}{200}$ für $r\gt1$ näherungsweise die Lautstärke in Dezibel (dB) in Abhängigkeit vom Abstand $r$ zur Schallquelle in Metern an. In der Regel können Geräusche mit Lautstärken von mehr als 0 dB vom Menschen wahrgenommen werden, ab einer Lautstärke von etwa 100 dB werden Geräusche als unangenehm empfunden. Eine Person befindet sich in der Nähe der Schallquelle.

Die Person vergrößert ihren Abstand zur Schallquelle von 10 m auf 30 m. Berechne, um wie viele Dezibel sich die Lautstärke verändert, die die Person dabei wahrnimmt.

(2 BE)

Bestimme näherungsweise denjenigen Wert von $r$ , für den $L(r)=0$ gilt, und beschreibe die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Die Person bewegt sich entlang eines Wegs, der an der Schallquelle vorbeiführt. Die Situation wird in einem zweidimensionalen Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 m modelliert, wobei der Punkt $Q(0|3)$ die Position der Schallquelle darstellt. Die Positionen der Person werden im Modell durch die auf der x-Achse befindlichen Punkte $P_u(u|0)$ mit $u \in [-50;100]$ angegeben.

Begründe, dass der Term $r(u)=\sqrt{u^2+9}$ in Abhängigkeit von $u$ den Abstand der Person von der Schallquelle in Metern beschreibt.

(3 BE)

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $L_W: u\mapsto L(r(u))$ ordnet jedem Wert von $u$ die Lautstärke in Dezibel am Punkt $P_u$ zu.

Gib die größte Lautstärke in Dezibel an, die die Person entlang des Wegs wahrnimmt.

(2 BE)

Ermittle die Länge des Wegabschnitts, auf dem die Lautstärke die Unbehaglichkeitsschwelle von 100 dB übersteigt.

(3 BE)

Der Graph der Funktion $L_W$ besitzt für $u>0$ genau einen Wendepunkt. Bestimme dessen Koordinaten und die Steigung der zugehörigen Wendetangente jeweils auf eine Dezimale genau. Beschreibe die Bedeutung dieser drei Werte sowie die Bedeutung des Wendepunkts im Sachzusammenhang.

(6 BE)

Hinweis: Führe die Berechnung mit dem CAS näherungsweise durch.

(40 BE)

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$G_a$ geht aus dem Graphen der Funktion $x\mapsto \ln x$ durch Streckung (im Fall $a\gt1$ ) bzw. Stauchung (im Fall $a\lt 1$ ) in $y$ -Richtung und Verschiebung um 3 Einheiten in positive $y$ -Richtung hervor.

Die Wertemenge von $f_a$ ist deshalb $\mathbb{W} = \mathbb{R}.$

Für $a_1 \neq a_2$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f_{a_1}(x) &=& f_{a_2}(x) \\[5pt] a_1\cdot \ln(x) +3 &=& a_2\cdot \ln(x) +3 \quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] a_1\cdot \ln(x) &=& a_2\cdot \ln(x) \\[5pt] \end{array}$

Wegen $a_1\neq a_2$ ist dies nur für $\ln(x)=0$ erfüllt, also für $x=1.$ Dies gilt für alle Paare $a_1$ und $a_2$ mit $a_1\neq a_2.$
Es gilt $f_a(1)=3.$ Also haben alle Funktionen der Schar genau einen Punkt gemeinsam undzwar den Punkt $(1\mid 3).$

Für die Schnittstellen von $G_a$ mit der $x$ -Achse folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& f_a(x) \\[5pt] 0&=& a \cdot \ln(x)+3&\quad \scriptsize \mid\;-3 \; \mid\, :a \\[5pt] -\dfrac{3}{a}&=& \ln(x)&\quad \scriptsize \mid\;\mathrm{e} \\[5pt] \mathrm{e}^{ -\frac{3}{a}}&=&x \end{array}$

Die Steigung des Graphen $G_a$ wird durch $\(f_a$ beschrieben:

$\(f$

Damit lässt sich folgendes zeigen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Dies ist aufgrund der Eigenschaften der $\mathrm e-$ Funktion für alle $a\gt 0$ erfüllt, sodass die Steigung von $G_a$ im Schnittpunkt mit der $x$ -Achse den Wert $3\mathrm e$ nicht unterschreitet.

Da die Funktion $x\mapsto \ln(x)$ streng monoton steigend und damit umkehrbar ist, gilt dies auch für $f_a,$ da der zugehörige Graph lediglich durch Streckung/Stauchung und Verschiebung aus $x\mapsto \ln(x)$ hervorgeht.

In der folgenden Abbildung wird der Graph von $g$ mit $G_g$ bezeichnet.

Graph mit zwei Funktionen in einem Koordinatensystem, x- und y-Achse sind sichtbar.

1. Umkehrfunktion
$\begin{array}[t]{rll} y &=& \frac{3}{2}\cdot \ln(x)+3 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] y-3 &=& \frac{3}{2}\cdot \ln(x) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \frac{2}{3} \\[5pt] \frac{2}{3}\cdot (y-3) &=& \ln(x) &\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e \\[5pt] \mathrm e^{\frac{2}{3}\cdot (y-3)} &=& x \end{array}$

Mit dem Variablentausch folgt dann:

$g(x)= \mathrm e^{\frac{2}{3}\cdot (x-3)}$

2. Schnittstellen
Aus $f(x)=g(x)$ folgen mit dem solve-Befehl des CAS die Lösungen $x_1 \approx 0,15$ und $x_2\approx 5,58.$

3. Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

Wert b

Gesucht ist $b$ mit

$\displaystyle\int_{x_1}^{b} \left(f_{\frac{3}{2}}(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx$ $= 0,5\cdot \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\left(f_{\frac{3}{2}}(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $b\approx 2,74.$

Für $r=10$ gilt $L(10) = 99,95$ und für $r=30$ gilt $L(30)\approx 90,31.$

Die Lautstärke ändert sich um $L(10)-L(30)\approx 9,64\,\text{dB}.$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich für $L(r) =0$ die Lösung $r\approx 8.320.$

Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass das Geräusch ab einer Entfernung von ca. 8,32 km nicht mehr vom Menschen wahrgenommen werden kann.

Grafik mit einem Koordinatensystem und verschiedenen Punkten, Linien und beschrifteten Bereichen.

Die Punkte $Q$ und $P_u$ bilden mit dem Ursprung ein rechtwinkliges Dreieck, wobei der Abstand von $Q$ und $P_u$ der Länge der Hypotenuse entspricht. Die beiden Katheten besitzen wegen der Lage von $Q$ auf der $y$ -Achse und $P_u$ auf der $x$ -Achse die Länge 3 und $u.$
Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

Es ist $r(u)^2=u^2 + 3^2$ und daraus folgt $r(u)=\sqrt{u^2 + 9}.$

Die größte Lautstärke nimmt die Person in der Position wahr, in der sie den kürzesten Abstand zur Schallquelle hat.
Dieser Punkt wird durch $P_u$ mit $u=0$ beschrieben. Mit dem CAS ergibt sich:

$L(r(0)) = L(3) \approx 110,44$

Die größte Lautstärke, die die Person wahrnimmt beträgt 110,44 dB.

Mit dem CAS ergeben sich für $L(r(u))= 100$ die Lösungen $u\approx \pm 9,48.$

Der Wegabschnitt, auf dem die Lautstärke 100 dB übersteigt, ist ca. $2 \cdot 9,48 \,\text{m}= 18,96 \,\text{m}$ lang.

Wendestellen von $L_W$ sind Extremstellen von $\(L_W$ Mit dem Grafik-Menü des CAS können die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $\(L_W$ näherungsweise bestimmt werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 2: Minimum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Minimum

Mit dem CAS ergibt sich für $u\gt 0$ ein Tiefpunkt näherungsweise mit den Koordinaten $T( 3,0 \mid -1,5).$

Zudem gilt $L_W(3,0)\approx 107,4.$

Die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $L_W$ für $u\gt 0$ lauten $W(3,0\mid 107,4).$ Die Steigung der zugehörigen Wendetangente beträgt ca. $-1,5.$

Bedeutung im Sachzusammenhang

Die Wendestelle beschreibt die Stelle des Weges, an der die Lautstärke am stärksten abnimmt. Diese Stelle befindet sich 3 Meter vom Punkt mit der größten Lautstärke entfernt. Die Lautstäke beträgt hier noch ca. 107,4 dB. Die Lautstärke nimmt an dieser Stelle mit ca. 1,5 dB pro Meter ab.

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