Teil B
Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland.
Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken![\([AB],\)](https://mathjax.schullv.de/1eec18d4a18846e3dee1c0e80824c7a75f19181f89fafc9b1e9f2e597431914a?color=5a5a5a)
![\([BC]\)](https://mathjax.schullv.de/3e8fc13fada3aa80a718f89720a463b219e0ad127ab3ed1f1aab8d572f2ffcbc?color=5a5a5a)
und ![\([CD]\)](https://mathjax.schullv.de/1b489827150edc7ef9457501b3469c9c8e189b899d8c182f296bb0cce0cbe992?color=5a5a5a)
mit 
und 
besteht (vgl. Abbildung 2). 
und 
sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
enthält die Punkte 
und 
die Ebene 
die Punkte und 
Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken
Abb. 1
Abb. 2
a)
Begründe, dass die Punkte und symmetrisch bezüglich der 
-Achse liegen.
(2 BE)
b)
Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.
Die Ebene
(3 BE)
c)
Bestimme eine Gleichung von in Koordinatenform.
[Zur Kontrolle: 
]
(3 BE)
d)
Berechne die Größe 
des Winkels, unter dem die 
-Ebene schneidet. Gib einen Term an, mit dem aus die Größe des Winkels zwischen den Ebenen und berechnet werden kann.
(5 BE)
e)
Die Ebene teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimme das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper, ohne die Volumina zu berechnen.
(4 BE)
f)
Das Saarpolygon wird mit verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 3 und 4 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.
Gib zu jeder der beiden Abbildungen 3 und 4 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. Stelle das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.
Abb. 3
Abb. 4
(4 BE)
g)
Der Punkt 
liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken und den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von 
Erläutere die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von 
zugrunde liegen.
| I | |
| II | |
| III |
(4 BE)
(25 BE)
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a)
Sowohl die 
-Koordinaten als auch die 
-Koordinaten von und unterscheiden sich nur in ihren Vorzeichen, die -Koordinaten stimmen überein. Somit sind die beiden Punkte symmetrisch zur -Achse.
b)
Länge der Strecke 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{AB}&=& \sqrt{(-22)^2+0^2+28^2}&\\[5pt]
&\approx& 35,6 \,\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/c0b924342f4e712ed105fd61d89a57e0436128aa9748abdc7f7e96063f4f9679?color=5a5a5a)
Länge der Strecke 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{BC}&=& \sqrt{22^2+(-22)^2+0^2}&\\[5pt]
&\approx& 31,1 \,\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a0d5b0a0959142db67c52b94f5a0d5409b656e0c3ff2917e5c347dfa4f0e6959?color=5a5a5a)
Länge der Strecke 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{CD}&=& \sqrt{(-22)^2+0^2+(-28)^2}&\\[5pt]
&\approx& 35,6 \,\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0e76c103857791cf86049a221efba07da36c199e46795d9b6c95a527e2a2a9bf?color=5a5a5a)
Die Gesamtlänge des Streckenzugs beträgt somit 
c)
Ebenengleichung in Parameterform
Ebenengleichung in Koordinatenform
Mit dem Kreuzprodukt lässt sich ein Normalenvektor von berechnen. Das Kreuzprodukt kann mit dem WTR berechnet werden:
Als Normalenvektor kann also der gekürzte Vektor 
verwendet werden.
Einsetzen in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform und Durchführen einer Punktprobe beispielsweise mit 
ergibt:
Eine Gleichung von in Koordinatenform lautet also:
d)
Der Winkel zwischen den beiden Ebenen ist der Betrag des Winkels zwischen zwei Normalenvektoren der Ebenen.
Ein Normalenvektor der Ebene ist 
und ein Normalenvektor der 
Ebene ist 
.
Der Winkel beträgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \varphi &=& \dfrac{\left|\pmatrix{14\\14\\11} \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right|}{\left|\pmatrix{14\\14\\11}\right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|} \\[5pt]
\cos \varphi &\approx& \dfrac{11}{22,65} &\quad \scriptsize \mid\; \arccos(\;) \\[5pt]
\varphi &=& \arccos\left(\dfrac{11}{22,65} \right)\\[5pt]
\varphi &\approx& 60,94^\circ \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/77a6be9e92a75a95acf3913ce5217caf92fbac1034d8c35ab401db530504c706?color=5a5a5a)
Die Ebene schneidet die Ebene folglich im Winkel 
Da die Ebene bezüglich der 
Achse symmetrisch zur Ebene ist, schneidet auch die Ebene die Ebene mit dem Winkel 
Die Größe des Winkels zwischen der Ebene und der Ebene lässt sich somit durch folgenden Term berechnen:
e)
Verhältnis der Volumina:
Bezeichne die Seitenfläche des Quaders, die und enthält, als Grundfläche und deren Flächeninhalt mit 
und die Länge der zugehörigen Höhe des Quaders mit , so hat der der pyramidenförmigen Teilkörper eine Grundfläche von 
und eine Höhe von h.
Somit hat er folgendes Volumen:
.
Folglich hat der andere Teilkörper ein Volumen von 
.
Damit beträgt das gesuchte Verhältnis 
f)
Die erste Abbildung zeigt eine seitliche Ansicht, also beispielsweise 
Die zweite Abbildung zeigt eine seitliche Ansicht aus der Richtung einer Ecke, also beispielsweise 
Betrachtung von oben:
g)