Teil B

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene $E: 4x_1 -8x_2+x_3 +50=0$ und die Gerade $g:\overrightarrow{X}=\pmatrix{3\\12\\-2}+ \lambda \cdot \pmatrix{5\\11\\-4},$ $\lambda \in \mathbb{R}.$

Erläutere, warum die folgende Rechnung ein Nachweis dafür ist, dass $g$ und $E$ genau einen gemeinsamen Punkt haben:

$\pmatrix{4\\-8\\1} \circ \pmatrix{5\\11\\-4}=-72 \neq 0$

(1 BE)

Berechne die Größe des Schnittwinkels von $g$ und $E$ und zeige, dass $S(0,5 \mid 6,5 \mid 0)$ der Schnittpunkt von $g$ und $E$ ist.

(5 BE)

Die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M(-13\mid 20 \mid 0)$ berührt die Ebene $E.$
Bestimme die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts $F$ sowie den Kugelradius $r.$

[zur Kontrolle: $F(-5 \mid 4 \mid 2)$ , $r=18$ ]

(6 BE)

Weise nach, dass die Gerade $g$ die Kugel $K$ im Punkt $T(3 \mid 12 \mid -2)$ berührt.

(5 BE)

Die Punkte $M, T, S$ und $F$ (vgl. die Aufgaben b,c und d) liegen in einer Ebene $Z.$ Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Gerade $g,$ den Schnitt der Ebene $E$ mit der Ebene $Z$ sowie den Schnitt der Kugel $K$ mit der Ebene $Z.$

Begründe, dass das Viereck $MTSF$ einen Umkreis besitzt. Berechne den Flächeninhalt dieses Vierecks.

(4 BE)

Durch Rotation des Vierecks $MTSF$ um die Gerade $MS$ entsteht ein Körper. Beschreibe diesen Körper.
In einer Formelsammlung ist zur Berechnung des Volumens eines solchen Körpers die Formel $V= \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{a}{2} \right)^2 \cdot \pi \cdot b$ zu finden.
Gib für den beschriebenen Körper die Strecken an, deren Längen für $a$ bzw. $b$ einzusetzen sind.

(4 BE)

(25 BE)

Die Rechnung zeigt, dass das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Gerade $g$ mit dem Normalenvektor der Ebene $E$ nicht Null ergibt, das heißt die beiden Vektoren stehen nicht senkrecht aufeinander.
Somit liegt die Gerade weder in der Ebene, noch verläuft sie parallel zu dieser, das heißt $g$ und $E$ schneiden sich in genau einem Punkt.

Größe des Schnittwinkels berechnen

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 38,93^\circ$

Schnittpunkt zeigen

Ein allgemeiner Punkt auf $g$ hat die folgenden Koordinaten:

$(3+5 \lambda\mid12+11 \lambda\mid-2-4 \lambda)$

Einsetzen in die Ebenengleichung von $E$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$\lambda = -0,5$

Einsetzen von $\lambda = -0,5$ in die Geradengleichung liefert weiter:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=&\pmatrix{3\\12\\-2} -0,5 \pmatrix{5\\11\\-4} \\[5pt] &=&\pmatrix{0,5\\6,5\\0} \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts sind somit gegeben durch $S(0,5 \mid 6,5 \mid 0).$

Die Kugel berührt die Ebene in nur einem Punkt. Der Radius $r$ ergibt sich somit als der Abstand des Mittelpunktes $M$ zur Ebene $E:$

$\begin{array}[t]{rll} r&=&d(M,E) \\[5pt] &=&\dfrac{\vert 4 \cdot(-13) -8 \cdot 20 +50 \vert}{\sqrt{4^2+8^2+1^2}} \\[5pt] &=&\dfrac{162}{9} \\[5pt] &=&18 \end{array}$

Der Vektor $\overrightarrow{MF}$ ist ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene und besitzt die Länge $r,$ somit folgt für den Ortsvektor des Berührpunkts $F:$

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{OF} = \pmatrix{-5\\4\\2}$

Der Berührpunkt $F$ besitzt somit die Koordinaten $F(-5\mid 4\mid2).$

Mit dem Radius und den Koordinaten von $M$ folgt für die Kugelgleichung von $K:$

$K: (x_1+13)^2+(x_2-20)^2+x_3^2$ $=18^2$

Einsetzen der Koordinaten eines allgemeinen Punktes auf $g$ in die Kugelgleichung liefert:

Rechenweg anzeigen

$\lambda_{1;2} = \pm 0$

Die einzige Lösung ist somit $\lambda = 0,$ das heißt die Gerade berührt die Kugel. Einsetzen in die allgemeinen Koordinaten eines Punktes der Geraden $g$ liefert für die Koordinaten des Berührpunkts $T:$

$T(3\mid12\mid-2)$

Existenz eines Umkreises begründen

Das Viereck $MTSF$ hat die Form eines Drachens der symmetrisch bezüglich der Strecke $[MS]$ ist. Da die Ebene $E$ und die Gerade $g$ die Kugel $K$ in $F$ bzw. $T$ berühren, besitzt das Viereck $MTSF$ bei $F$ und $T$ einen rechten Winkel. Die beiden Dreiecke $MSF$ und $MTS$ sind somit jeweils rechtwinklig mit der Grundseite $[MS]$ gegenüber von dem rechten Winkel. Mit Hilfe des Satz des Thales existieren somit aufgrund der Symmetrie des Drachens zwei passende Halbkreise, die sich zu einem Umkreis des Vierecks $MTSF$ zusammenfügen.

Flächeninhalt berechnen

Für die Längen $e$ und $f$ der Diagonalen von $MTSF$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} e&=&\left\vert\overrightarrow{MS} \right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{0,5\\6,5\\0} - \pmatrix{-13\\20\\0}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{13,5\\-13,5 \\ 0 }\right\vert\\[5pt] &\approx&19,1\;[\text{LE}] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f&=&\left\vert\overrightarrow{FT} \right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{-5\\4\\2} - \pmatrix{3\\12\\-2}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{-8\\-8\\4}\right\vert\\[5pt] &\approx&12\;[\text{LE}] \end{array}$

Damit folgt für den Flächeninhalt $A$ des Vierecks:

$A= \dfrac{1}{2} \cdot e \cdot f$ $\approx \dfrac{1}{2} \cdot 19,1 \cdot 12 \approx 114,6 \;[\text{FE}]$

Körper beschreiben

Durch Rotation des Vierecks $MTSF$ um die Gerade $MS$ entsteht ein Körper bestehend aus zwei Kegeln mit Spitzen $M$ bzw. $S$ und gleicher Grundfläche, die an dieser aneinander geklebt werden.

Strecken angeben

Die Formel für das Volumen eines Kegels ist gegeben durch $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h.$ Da die beiden Kegel aus denen der Körper besteht die gleiche Grundfläche besitzen, wird für $a$ die Länge der Strecke $[FT]$ und für $b$ die Summe der Höhen der beiden Kegel, das heißt die Länge der Strecke $[MS],$ eingesetzt.