Teil A

Die beiden Baumdiagramme gehören zum selben Zufallsexperiment mit den Ereignissen $\text{A}$ und $\text{B}$ .
Berechne die Wahrscheinlichkeit $\text{P(B)}$ und ergänze anschließend an allen Ästen des rechten Baumdiagramms die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Diagramm mit Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse A und B.

Abb. 1

Abb. 2

(Teilergebnis: $P(B) =0,5)$

Diagramm mit Verzweigungen für die Variablen A und B.

Abb. 2

(Teilergebnis: $P(B) =0,5)$

(5 BE)

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl $\text{(Z)}$ oder zum zweiten Mal Wappen $\text{(W)}$ oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: $\text{{ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}}$ .

Begründe, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

(2 BE)

Die Zufallsgröße $\text{X}$ ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechne den Erwartungswert von $\text{X}$ .

(3 BE)

(10 BE)

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Um $P(B)$ zu berechnen, betrachtest du mit der 2. Pfadregel alle Äste bei denen $B$ eintritt. So erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& \frac{4}{10}\cdot\frac{3}{4}+\frac{6}{10}\cdot\frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{3}{10}+\frac{2}{10} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit für $B$ beträgt also $50\%$ .

$\blacktriangleright$ Baumdiagramm beschriften

Um das Baumdiagramm komplett auszufüllen, benötigst du die vier Wahrscheinlichkeiten $P_B(A)$ , $P_B(\overline{A})$ , $P_{\overline{B}}(A)$ und $P_{\overline{B}}(\overline{A})$ . Diese kannst du mit dem Satz von Bayes bestimmen und die zur Berechnung benötigten Wahrscheinlichkeiten dem linken Baumdiagramm entnehmen. Der oberste Ast entspricht z.B. der Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ , dass also $B$ unter der Vorrausetzung $A$ eintritt.

$P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$

$\begin{array}[t]{rll} P_B(A)&=& \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{10}}{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \frac{3}{5} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P_B(\overline{A})&=& 1-P_B(A) \\[5pt] &=& 1-\frac{3}{5} \\[5pt] &=& \frac{2}{5} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{B}}(A )&=& \dfrac{P_A(\overline{B})\cdot P(A)}{P(\overline{B})} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \frac{1}{5} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{B}}(\overline{A})&=& 1-P_{ \overline{B}}(A) \\[5pt] &=& 1-\frac{1}{5} \\[5pt] &=& \frac{4}{5} \end{array}$

Diese Wahrscheinlichkeiten kannst du nun in das Baumdiagramm eintragen.

Diagramm eines Entscheidungsbaums mit den Variablen A und B sowie Wahrscheinlichkeiten.

Abb. 1: Baumdiagramm zur Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Begründen, dass das Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist

Du sollst begründen, dass das Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge $\Omega$ kein Laplace-Experiment ist. Charakteristisch für ein Laplace-Experiment ist, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis direkt aus der Anzahl der günstigen Ereignisse folgt. Somit müsste für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $ZZ$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(ZZ)&=& \dfrac{1}{\vert \Omega\vert} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} \end{array}$

Allerdings beträgt $P(ZZ)$ :

$\begin{array}[t]{rll} P(ZZ)&=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\neq\frac{1}{6} \end{array}$

Somit kann es sich nicht um ein Laplace-Experiment handeln.

$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen

Du sollst den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ angeben. $X$ gibt die Anzahl der Würfe zum jeweiligen Ereignis an. Den Erwartungswert berechnest du mit der Multiplikation des Ergebnisses mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Es gibt zwei mögliche Werte von $X,$ deren Wahrscheinlichkeiten mit den Pfadregeln bestimmt werden können:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=& P(ZZ)+P(WW) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[10pt] P(X=3)&=& P(ZWW)+P(ZWZ)+P(WZZ)+P(WZW) \\[5pt] &=& 4\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right) \\[5pt] &=& \frac{5}{2}=2,5 \end{array}$

Es wird im Schnitt $2,5$ -mal geworfen.

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