Teil B

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 2 \mathrm e^{-\frac{1}{8} x^2}.$ Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f,$ der die $x$ -Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

Abb. 1

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$ -Achse und weise rechnerisch nach, dass $G_f$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist.

(2 BE)

Der Punkt $W\left(-2 \mid 2 \mathrm e^{-\frac{1}{2}}\right)$ ist einer der beiden Wendepunkte von $G_f.$ Die Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ wird mit $w$ bezeichnet. Ermittle eine Gleichung von $w$ und berechne die Stelle, an der $w$ die $x$ -Achse schneidet.

(zur Kontrolle: $\(f$ )

(5 BE)

Betrachtet wird für jeden Wert $c \in \mathbb{R}^{+}$ das Rechteck mit den Eckpunkten $P(-c \mid 0), Q(c \mid 0), R(c \mid f(c))$ und $S.$

Zeichne für $c=2$ das Rechteck $PQRS$ in Abbildung 1 ein.

(1 BE)

Berechne denjenigen Wert von $c,$ für den $\overline{QR}=1$ gilt.

(3 BE)

Gib in Abhängigkeit von $c$ die Seitenlängen des Rechtecks $PQRS$ an und begründe, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term $A(c) = 4c \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{8} c^2}$ gegeben ist.

(3 BE)

Es gibt einen Wert von $c,$ für den der Flächeninhalt $A(c)$ des Rechtecks $PQRS$ maximal ist. Berechne diesen Wert von $c.$

(4 BE)

Betrachtet werden für $k \in \mathbb{R}$ die in $]- \infty ; 0]$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto f(x)+k.$ Somit gilt $f_0(x)=f(x),$ wobei sich $f_0$ und $f$ im Definitionsbereich unterscheiden.

Begründe mithilfe der ersten Ableitung von $f_k,$ dass $f_k$ für jeden Wert von $k$ umkehrbar ist. Skizziere in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von $\mathrm{f}_0.$

(4 BE)

Gib alle Werte von $k$ an, für die der Graph von $f_k$ und der Graph der Umkehrfunktion von $f_k$ keinen gemeinsamen Punkt haben.

(2 BE)

Abbildung 2 zeigt ein Haus mit einer Dachgaube, deren Vorderseite schematisch in Abbildung 3 dargestellt ist. Die Vorderseite wird modellhaft durch das Flächenstück beschrieben, das der Graph $G_f$ der Funktion $f$ aus Aufgabe 1, die $x$ -Achse und die Geraden mit den Gleichungen $x=-4$ und $x=4$ einschließen. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Abb. 2

Abb. 3

Gib die Breite und die Höhe der Vorderseite der Dachgaube an.

(2 BE)

In der Vorderseite der Dachgaube befindet sich ein Fenster. Dem Fenster entspricht im Modell das Flächenstück, das der Graph der Funktion $g$ mit $g(x)=a x^4+b$ und geeigneten Werten $a, b \in \mathbb{R}$ mit der $x$ -Achse einschließt (vgl. Abbildung 3).

Begründe, dass $a$ negativ und $b$ positiv ist.

(2 BE)

Um den Flächeninhalt der Vorderseite der Dachgaube zu ermitteln, wird eine Stammfunktion $F$ von $f$ betrachtet.

Einer der Graphen $\text{I}, \text{II}$ und $\text{III}$ ist der Graph von $F.$ Begründe, dass dies Graph $\text{I}$ ist, indem du jeweils einen Grund dafür angibst, dass Graph $\text{II}$ und Graph $\text{III}$ nicht infrage kommen.

(2 BE)

Bestimme nun mithilfe des Graphen von $F$ aus Aufgabe 2c den Flächeninhalt der gesamten Vorderseite der Dachgaube (einschließlich des Fensters).
Beschreibe unter Einbeziehung dieses Flächeninhalts die wesentlichen Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von $a$ rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von $1,50\;\text{m}$ der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt $6\;\text{m}^2$ hat.

(5 BE)

Um einen Näherungswert für die Länge der oberen Profillinie der Vorderseite der Dachgaube berechnen zu können, wird $G_f$ im Bereich $-4 \leq x \leq 4$ durch vier Kreisbögen angenähert, die nahtlos ineinander übergehen und zueinander kongruent sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich $0 \leq x \leq 2$ und ist Teil des Kreises mit Mittelpunkt $M(0 \mid-1)$ und Radius $3.$ Berechne den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermittle damit den gesuchten Näherungswert.

(5 BE)

(40 BE)