Teil B

Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.
In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die $x_1 x_2$ -Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten $K_1(0\mid4\mid 0), K_2(0\mid0\mid 0),$ $K_3(3\mid0\mid 0)$ und $K_4(3\mid4\mid 0)$ beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten $S_1(0\mid6\mid 2,5), S_2(0\mid0\mid 3)$ und $S_3(6\mid0\mid 2,5)$ dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Abb. 1

Die drei Punkte $S_1, S_2$ und $S_3$ legen die Ebene $E$ fest.

Ermittle eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform.

(zur Kontrolle: $E: x_1 + x_2 + 12x_3- 36 =0$ )

(4 BE)

Der Hersteller des Sonnensegels empfiehlt, die verwendeten Metallstangen bei einer Sonnensegelfläche von mehr als $20\,\text{m}^2$ durch zusätzliche Sicherungsseile zu stabilisieren. Beurteile, ob eine solche Sicherung aufgrund dieser Empfehlung in der vorliegenden Situation nötig ist.

(3 BE)

Auf das Sonnensegel fallen Sonnenstrahlen, die im Modell und in der Abbildung 1 durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{S_1K_1}$ dargestellt werden können. Das Sonnensegel erzeugt auf dem Boden einen dreieckigen Schatten. Die Schatten der mit $S_2$ bzw. $S_3$ bezeichneten Ecken des Sonnensegels werden mit $S_2{ }^{\prime}$ bzw. $S_3{ }^{\prime}$ bezeichnet.

Begründe ohne weitere Rechnung, dass $S_2{ }^{\prime}$ auf der $x_2$ -Achse liegt.

(2 BE)

$S_3{ }^{\prime}$ hat die Koordinaten $( 6\mid - 2\mid 0).$ Zeichne das Dreieck, das den Schatten des Sonnensegels darstellt, in Abbildung 1 ein. Entscheide anhand der Zeichnung, ob mehr als die Hälfte des Sandkastens beschattet ist.

(3 BE)

Um das Abfließen von Regenwasser sicherzustellen, muss das Sonnensegel einen Neigungswinkel von mindestens $8^{\circ}$ gegenüber dem horizontalen Boden aufweisen. Begründe, dass das Abfließen von Regenwasser im vorliegenden Fall nicht sichergestellt ist.

(3 BE)

Bei starkem Regen verformt sich das Sonnensegel und hängt durch. Es bildet sich eine sogenannte Wassertasche aus Regenwasser, das nicht abfließen kann. Die Oberseite der Wassertasche verläuft horizontal und ist näherungsweise kreisförmig mit einem Durchmesser von $50\;\text{cm}$ . An ihrer tiefsten Stelle ist die Wassertasche $5\;\text{cm}$ tief. Vereinfachend wird die Wassertasche als Kugelsegment betrachtet (vgl. Abbildung 2).

Abb. 2

Das Volumen $V$ eines Kugelsegments kann mit der Formel $V = \frac{1}{3}\pi h^2\cdot (3r-h)$ berechnet werden, wobei $r$ den Radius der Kugel und $h$ die Höhe des Kugelsegments bezeichnen. Ermittle, wie viele Liter Wasser sich in der Wassertasche befinden.

(zur Kontrolle: $r = 65\;\text{cm}$ )

(5 BE)

(20 BE)

Ein möglicher Normalenvektor von $E$ ergibt sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_2S_3} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\6\\-0,5}\times \pmatrix{6\\0\\-0,5} \\[5pt] &=& \pmatrix{6\cdot (-0,5) - (-0,5)\cdot 0 \\ (-0,5)\cdot 6-0\cdot (-0,5) \\ 0\cdot 0 - 6\cdot 6} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\-3\\-36} \\[5pt] &=& -3\cdot \pmatrix{1\\1\\12} \\[5pt] \end{array}$

Mit Hilfe des gekürtzten Normalenvektors ergibt sich die Gleichung $E:x_1+x_2+12x_3-d=0.$ Einsetzen der Koordinaten eines Punktes in der Ebene, beispielsweise $S_2,$ liefert für $d:$

$\begin{array}[t]{rll} 1\cdot 0 +1\cdot 0 +12 \cdot 3-d&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+d \\[5pt] 36&=& d \end{array}$

Eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform ist somit wie folgt gegeben:

$E:x_1+x_2+12x_3-36=0$

Da das Sonnensegel durch ein ebenes Dreieck beschrieben wird, kann der Flächeninhalt mithilfe des folgenden Kreuzprodukts berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{S_2S_1} \times \overrightarrow{S_2S_3} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-3\\-3\\-36} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{(-3)^2 +(-3)^2 +(-36)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{1314} \\[5pt] &\approx& 18,12\;[\text{m}^2] \end{array}$

Eine Sicherung ist somit nicht nötig.

Die Punkte $S_1$ und $K_1$ liegen beide in der $x_2x_3$ -Ebene, das heißt der Richtungsvektor der Sonnenstrahlen verläuft parallel zu dieser Ebene. Da der Punkt $S_2$ ebenfalls in der $x_2x_3$ -Ebene liegt, liegt auch die gesamte Gerade, entlang derer die Sonnenstrahlen, die durch den Punkt $S_2$ verlaufen, einfallen, in dieser Ebene. Der Schattenpunkt $\(S_2$ ist durch den Schnittpunkt dieser Geraden mit der $x_1x_2$ -Ebene gegeben, und liegt somit auf der $x_2$ -Achse.

Dreieck einzeichnen

Anteil des beschatteten Sandkastens einschätzen

Die Diagonale $\overline{K_1K_3}$ teilt den Sandkasten in zwei gleichgroße Dreiecke. Da eines davon vollständig und das andere teilweise von dem Schatten überdeckt wird, ist mehr als die Hälfte des Sandkastens beschattet.

Der Neigungswinkel des Sonnensegels gegenüber dem Boden entspricht dem Schnittwinkel der Ebene $E$ mit der $x_1x_2$ -Ebene. Ein Normalenvektor der $x_1x_2$ -Ebene ist gegeben durch $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\alpha)&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_E \circ \overrightarrow{n}_1\right|}{\left| \overrightarrow{n}_E \right|\cdot \left|\overrightarrow{n}_1\right|} \\[5pt] \cos (\alpha)&=& \dfrac{\left| \pmatrix{1\\1\\12} \circ \pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left|\pmatrix{1\\1\\12} \right|\cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|} \\[5pt] \cos (\alpha) &=& \dfrac{12}{\sqrt{1^2+1^2+12^2}\cdot 1} \\[5pt] \cos (\alpha) &=& \dfrac{12}{\sqrt{146}}\\[5pt] \alpha&\approx& 6,7^{\circ} \end{array}$

Da das Sonnensegel nur um ca. $6,7^{\circ}$ gegenüber dem Boden geneigt ist, ist das Abfließen von Regenwasser nicht sichergestellt.

1. Schritt: Radius der Kugel bestimmen

Schneiden der Verbindungsstrecke des Mittelpunkts mit dem Südpol mit dem gestrichelt eingezeichneten Durchmesser der Oberfläche der Wassertasche liefert einen Punkt, der mit M und dem anderen bereits eingezeichneten Punkt ein rechtwinkliges Dreieck bildet. Mit Hilfe des Satz des Pythagoras folgt dann für den Radius der Kugel:

Rechenweg anzeigen

$r = 65\;\text{cm}$

2. Schritt: Volumen berechnen

Für das Volumen des Wassers, welches sich in der Wassertasche befindet, in Litern folgt somit:

Rechenweg anzeigen

$4,97\;l$