Analysis Prüfungsteil B

Aufgabengruppe 1

1 Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+3}$ und Definitionsbereich:

$D_f=\mathbb{R}\backslash\{-3;-1\}$ . Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

a) Zeige, dass $f(x)$ zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

$\dfrac{2}{(x+1)(x+3)}$ ; $\dfrac{2}{x^2+4x+3}$ ; $\dfrac{1}{0,5\cdot(x+2)^2-0,5}$

(4P)

b) Begründe, dass die $x$ -Achse horizontale Asymptote von $G_f$ ist, und gib die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von $G_f$ an. Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$ -Achse.

(3P)

c) Ableitung

Zeige unter Verwendung der Quotientenregel, dass $x=-2$ die einzige Nullstelle von $\(f$ ist und dass $G_f$ in $]-3;-2[$ streng monoton steigend sowie in $]-2;-1[$ streng monoton fallend ist. Gib Lage und Art des Extrempunkts von $G_f$ an.

(5P)

Aufgabengruppe 2

2 Gegeben ist die Funktion $h:x\mapsto\dfrac{3}{e^{x+1}-1}$ mit Definitionsbereich $D_h=]-1;+\infty[$ . Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_h$ von $h$ .

a) Asymptotenverhalten

Begründe anhand des Funktionsterms, dass $\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=0$ gilt. Zeige rechnerisch, dass für die Ableitung $\(h$ gilt: $\(h$ .

(4P)

b) Monotonie und Krümmung

Begründe ohne weitere Rechnung, dass der Graph von $H_0:x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{x}h(t)\;\mathrm dt$ streng monoton steigend und rechtsgekrümmt ist.

(4P)

Aufgabengruppe 1

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{f(x)}$ zu jedem der drei Terme äquivalent ist

Hier sollst du zeigen, dass $f$ mit

$f(x) = \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+3}$

zu jedem der drei gegebenen Terme äquivalent ist. Da $f(x)$ zu jedem der drei Terme äquivalent sein soll bedeutet dies, dass die drei Terme untereinander ebenfalls äquivalent sein müssen. Du kannst hierbei also auch zeigen, dass die drei Terme untereinander äqiuvalent sind und anschließend noch , dass $f(x)$ zu einem dieser Terme äqiuvalent ist. Zeige also im ersten Schritt, dass die drei gegebenen Terme äquivalent zueinander sinnd.

Im zweite Schritt zeigst du dann, dass $f(x)$ zu einem der drei Terme äquivalent ist. Dies kannst du erreichen, indem du beispielsweise die Bruchterme im Funktionsterm auf den gleichen Nenner bringst.

1. Schritt: Zeigen der Äquivalenz der drei Terme

Willst du hier die Äquivalenz der drei Terme zeigen, so forme den ersten Term wie folgt um:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2} {(x+1)\cdot (x+3)}&=& \dfrac{2} {x^2 + 3 \cdot x + 1 \cdot x + 3} \; = \; \dfrac{2} {x^2 +4 \cdot x + 3}\\[5pt] \end{array}$

Hier kannst du sofort sehen, dass die ersten beiden Terme äquivalent sind. Um nun zu zeigen, dass Term 2 und 3 äquivalent sind, musst du den Term im Nenner wie folgt über eine quadratische Ergänzung zusammenfassen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2} {x^2 +4 \cdot x + 3}&=& \dfrac{2} {(x + 2)^2 - 4 + 3}\;=\;\dfrac{2} {(x + 2)^2 - 1}\\[5pt] \end{array}$

Kürze den Term nun noch mit $0,5$ , um die Äquivalenz von Term 2 und Term 3 zu zeigen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2} {(x + 2)^2 - 1}&=& \dfrac{0,5 \cdot 2} {0,5 \cdot \left((x + 2)^2 - 1\right)} = \dfrac{1} {0,5 \cdot (x + 2)^2 - 0,5} \\[5pt] \end{array}$

Damit hast du gezeigt, dass die in der Aufgabenstellung gegebenen Terme äquivalent zueinander sind.

2. Schritt: Zeigen der Äquivalenz von $\boldsymbol{f(x)}$ und des ersten Terms

Willst du die beiden Bruchterme in $f(x)$ auf den gleichen Nenner bringen, so musst du diese mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs erweitern:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+3} \;=\; \dfrac{x+3}{(x+1)(x+3)} - \dfrac{x+1}{(x+1)(x+3)} = \dfrac{x+3 - x - 1}{(x+1)(x+3)} = \dfrac{2}{(x+1)(x+3)}\\[5pt] \end{array}$

Damit hast du gezeigt, dass $f(x)$ äquivalent zum ersten gegebenen Term ist. Da alle gegebenen Terme äquivalent sind, ist auch $f(x)$ äquivalent zu diesen.

$\blacktriangleright$ Begründen, dass die $\boldsymbol{x}$ -Achse horizontale Asymptote ist

Willst du zeigen, dass die $x$ -Achse horizontale Asymptote von $G_f$ ist, so musst du das Grenzwertverhalten von $f$ untersuchen. Zeige dabei, dass der Graph von $f$ für $x \to \pm \infty$ gegen Null konvergiert.

Berechne nun wie folgt die Grenzwerte von $f$ für $x \to \pm \infty$ :

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty} f(x)&=& \lim\limits_{x\to\infty} \left(\underbrace{\dfrac{1}{x+1}}_{\to 0} - \underbrace{\dfrac{1}{x+3}}_{\to 0}\right) = 0\\[5pt] \lim\limits_{x\to-\infty} f(x)&=&\lim\limits_{x\to-\infty} \left(\underbrace{\dfrac{1}{x+1}}_{\to 0} - \underbrace{\dfrac{1}{x+3}}_{\to 0} \right)= 0\\[5pt] \end{array}$

Da $f$ $x \to \pm \infty$ gegen Null konvergiert, hast du gezeigt, dass die $x$ -Achse waagrechte Asymptote von $G_f$ ist.

$\blacktriangleright$ Angeben der Gleichungen der vertikalen Asypmtoten

Ein Graph besitzt an den Stellen vertikale Asymptoten, an denen der Nenner der Funktion $f(x)$ Null. Also in unserem Fall genau an den Werten, an denen die Funktion $f(x)$ Definitionnslücken besitzt. Asymptoten an.

Betrachtest du den gegebenen Definitionsbereich von $f$ näher, so kannst du erkennen, dass $f$ vertikale Asymptoten bei $x_1 = -1$ und $x_2 = -3$ besitzt, da bei diesen Werten einer der beiden Brüche der Funktion $f(x)$ Null wird. Die Gleichungen der vertikalen Asymptoten an $f$ lauten also:

$a_1: x = -1$

$a_2: x = -3$

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Koordinaten des Schnittpunktes mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse

Die Koordinaten des Schnittpunktes mit der $y$ -Achse bestimmst du, in dem du den Funktionswert von $f$ an der Stelle $x = 0$ berechnest.

Das Einsetzen von $x = 0$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& \dfrac{1}{0+1} - \dfrac{1}{0+3} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\\[5pt] \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$ -Achse lauten also: $S_y\left(0 \mid \frac{2}{3}\right)$

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{x =-2}$ die einzige Nullstelle von $\boldsymbol{f‘}$ ist

Hier hast du die Funktion $p$ mit

$p: x \mapsto 0,5 \cdot \left(x + 2\right)^2 - 0,5$

und den Graphen von $p$ gegeben. Weiterhin weißt du, dass für alle $x \in D_f$ $f(x) = \dfrac{1}{p(x)}$ gilt. Nun ergibt sich gemäß der Quotientenregel für die Ableitung $f‘$ und $p‘$ die Beziehung

$f‘(x) = - \dfrac{p‘(x)}{\left(p(x)\right)^2}$

Deine Aufgabe ist es nun, zu Begründen, dass $x = -2$ die einzige Nullstelle von $f‘$ ist, unter Verwendung der gegebenen Beziehung und ohne Berechnung von $f‘(x)$ und $p‘(x)$ .
Willst du dies hier zeigen, so setze $f‘(x)$ gleich Null und vereinfache diesen soweit wie möglich. Untersuche anschließend das gegebene Schaubild des Graphen von $p$ und begründe die Nullstelle bei $x = -2$ . Gehe dazu auf die Eigenschaften einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades ein.

1. Schritt: Vereinfachen der Gleichung

Setze den Term für $f‘(x)$ gleich Null und vereinfache so weit wie möglich:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=&0\\[5pt] - \dfrac{p‘(x)}{\left(p(x)\right)^2}&=&0 & \scriptsize \quad \mid \cdot \left(p(x)\right)^2\\[5pt] - p‘(x)&=&0 & \scriptsize \quad \mid : (-1)\\[5pt] p‘(x)&=&0 \\[5pt] \end{array}$

Du siehst hier, dass $f‘$ überall da Nullstellen besitzt, wo $p‘$ welche besitzt. Hierbei musst du außerdem noch ausschließen, dass $p(x)$ in dem gegebenem Definitionsberecih nicht null wird.

Setze dazu $p(x)=0$ und bestimme die Nullstellen von $p(x)$

2. Schritt: Betrachten des Graphen von $p$

Betrachtest du $G_p$ näher, so kannst du erkennen, dass dieser ein Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(-2 \mid -0,5)$ besitzt. Aus der notwendigen Bedingung für Extremstellen weißt du, dass diese sich an den Stellen befinden, an denen die erste Ableitung zur Funktion Nullstellen besitzt. Außerdem handelt es sich bei $p$ um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Diese besitzt also genau eine Extremstelle.
Da $p$ die Extremstelle $x = -2$ und da $f‘$ Nullstellen die gleichen Nullstellen wie $p‘$ besitzt, liegt die einzige Nullstelle von $f‘$ bei $x_N = -2$ vor

$\blacktriangleright$ Begründen des Monotonieverhaltens und Angeben der Lage und Art des Extrempunktes

Weiterhin sollst du in dieser Aufgabe begründen, dass $G_f$ in $]-3;-2[$ streng monoton steigend und in $]-2; -1[$ streng monoton fallend ist. Des Weiteren sollst du Art und Lage des Extrempunktes von $G_f$ angeben.
Betrachtest du noch einmal die gegebene Beziehung für $f‘$ , so kannst du erkennen, dass alleine der Zähler über die Vorzeichen der Ableitungswerte entscheidet. Dieser entspricht gerade $p‘(x)$ . Oben hast du herausgefunden, dass $p$ eine ganzrationale Funktion zweiten Grades mit Extremstelle bei $x = -2$ ist. $p‘$ entspricht also einer Geraden.
Beachte die Vorzeichen in der Beziehung für $f‘$ und löse diese Aufgabe anhand der Eigenschaften von $p$ .

1. Schritt: Zeigen der Monotonie von $G_f$ auf den gegeben Intervallen

$G_p$ besitzt bei $x = -2$ einen Tiefpunkt. Die Ableitung $p‘$ besitzt also bei $x = -2$ einen Vorzeichenwechsel von - nach +. Aufgrund der Vorzeichen in der gegeben Beziehung für $f‘$ ergibt sich, dass $G_f$ im Intervall von $]-3;-2[$ , also von der Definitionslücke bei $x = -3$ bis zur Nullstelle bei $x = -2$ streng monoton steigend sein muss, da $G_p$ in diesem Bereich unterhalb der $x$ -Achse verläuft.
Analog gilt für den Intervall $]-2;-1[$ , dass $G_f$ dort streng monoton fallend ist. Hier verläuft $G_p$ oberhalb der $x$ -Achse und aufgrund der Vorzeichen in der Beziehung für $f‘$ , verläuft $G_{f‘}$ hier unterhalb der $x$ -Achse.

2. Schritt: Angeben der Lage und Art des Extrempunktes von $G_f$

Aus dem ersten Schritt weißt du, dass $G_f$ im Intervall vor der Extremstelle bei $x = -2$ streng monoton steigend ist und im Intervall nach der Extremstelle streng monoton fallend ist. $G_f$ besitzt also an der Extremstelle einen Vorzeichenwechsel von + nach -. $G_f$ besitzt also bei $x = -2$ einen Hochpunkt.
Bestimme durch Einsetzen von $x_H = -2$ in $f(x)$ die vollständigen Koordinaten des Hochpunkts:

$\begin{array}[t]{rll} f(-2)&=\dfrac{1}{-2+1} - \dfrac{1}{-2+3} = - 1 - 1 = -2\\[5pt] \end{array}$

Die vollständigen Koordinaten des Hochpunkts sind also: $H(-2 \mid -2)$ .

$\blacktriangleright$ Berechnen der Funktionswerte und Skizzieren von $G_f$

Berechne zunächst die Funktionswerte $f(-5)$ und $f(-1,5)$ . Fasse dann alle Informationen die du bereits für $G_f$ gesammelt hast zusammen und skizziere den Graphen.
Das weißt du über den Graphen von $f$ :

$G_f$ besitzt den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse: $S_y\left(0 \mid \frac{2}{3}\right)$

$G_f$ besitzt die $x$ -Achse als horizontale Asymptote

$G_f$ besitzt die $x = -1$ und $x = -3$ als senkrechte Asymptoten

$G_f$ besitzt einen Hochpunkt, mit $H(- 2 \mid -2)$

$G_f$ verläuft streng monoton steigend in $]-3;-2[$

$G_f$ verläuft streng monoton fallend in $]-2;-1[$

Du hast die Funktionswerte bei $x = -5$ und $x = -1,5$ gegeben

1. Schritt: Berechnen der Funktionswerte

$\begin{array}[t]{rll} f(-1,5)&=&\dfrac{1}{-1,5 + 1} - \dfrac{1}{-1,5 + 3} = -2 - \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}\\[5pt] f(-5)&=&\dfrac{1}{-5 + 1} - \dfrac{1}{-5 + 3} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\\[5pt] \end{array}$

Vergleichst du die eben berechneten Funktionswerte mit den bereits berechneten Werte von oben, so kannst du erkennen, dass jeweils an den Definitionslücken Vorzeichenwechsel des Graphen $G_f$ vorliegen. Berücksichtige das beim Zeichnen von $G_f$ .

2. Schritt: Zeichnen des Graphen $G_f$

Der Graph $G_f$ sollte nun wie unten aussehen:

Graph einer mathematischen Funktion mit asymptotischem Verhalten und charakteristischen Kurven.

$\blacktriangleright$ Grenzwert anhand des Funktionsterms begründen

Hier ist dir Funktion $h$ gegeben, mit:

$h: x \mapsto \dfrac{3}{\mathrm e^{x + 1} - 1}$

Deine Aufgabe ist es dazu, den Grenzwert $\lim\limits_{x\to+\infty} h(x) = 0$ anhand des Funktionsterms zu begründen. Betrachte dazu den Funktionsterm genauer und mache dir zunächst Gedanken über das Grenzwertverhalten der einzelnen Bestandteile.
Der Funktionsterm von $h$ setzt sich wie folgt zusammen:

Es handelt sich hier um einer Funktion mit Bruch

Der Zähler des Bruchs ist konstant

Der Nenner besitzt einen exponentiellen Bestandteil

Betrachtest du die Exponentialfunktion im Nenner des Bruchs, so kannst du erkennen, dass der Exponent für $x \to \infty$ ebenfalls gegen $\infty$ strebt. Daraus folgt, dass die Exponentialfunktion gegen $\infty$ strebt.
Da diese im Nenner des Bruchs steht, wird dieser immer kleiner und konvergiert für $x \to \infty$ gegen Null. Die konstanten Bestandteile sind bei der Grenzwertbetrachtung zu vernachlässigen.

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass die Ableitung stets Werte kleiner Null annimmt

Nun sollst du zeigen, dass die erste Ableitung $h‘$ von $h$ nur Werte echt kleiner Null annimmt. Das heißt, du sollst zeigen, dass für $h‘(x) \lt 0$ gilt.
Bestimme dazu zunächst $h‘$ über das Ableiten von $h$ nach der Quotientenregel. Stelle anschließend eine Ungleichung auf und forme soweit um, bis du eine wahre Aussage erhältst.
Beachte beim Lösen der Aufgabe insbesondere die Eigenschaften der Exponentialfunktion.

1. Schritt: Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion $\boldsymbol{h‘}$

Mit der Quotientenregel ergibt sich hier:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& \dfrac{3}{\mathrm e^{x + 1} - 1}\\[5pt] h‘(x)&=& \dfrac{0 \cdot \left(\mathrm e^{x + 1} - 1\right) - 3 \cdot \left(\mathrm e^{x + 1}\right)}{\left(\mathrm e^{x + 1} - 1\right)^2}\\[5pt] h‘(x)&=& \dfrac{- 3 \cdot \mathrm e^{x + 1}}{\left(\mathrm e^{x + 1} - 1\right)^2}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Zeigen, dass $\boldsymbol{h‘(x) \lt 0}$ gilt

Stelle nun die Ungleichung auf und forme wie folgt um:

$\begin{array}[t]{rll} h‘(x)\lt & 0\\[5pt] \dfrac{- 3 \cdot \mathrm e^{x + 1}}{\left(\mathrm e^{x + 1} - 1\right)^2}\lt & 0\\[5pt] \end{array}$

Betrachtest du den Nenner von $h‘(x)$ , so kannst du erkennen, dass dieser aufgrund des Quadrats niemals kleiner Null werden kann. Dieser kann im Folgenden vernachlässigt werden.

$\begin{array}[t]{rll} - 3 \cdot \mathrm e^{x + 1}\lt & 0\\[5pt] \end{array}$

Die Exponentialfunktion nimmt für keinen Wert von $x$ einen Wert kleiner oder gleich Null an. Da diese $-3$ multipliziert wird, ist der Term für alle $x$ echt kleiner Null.

$\blacktriangleright$ Begründen der Aussagen

Gegeben hast du nun die Integralfunktion $H_0$ mit

$H_0: x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{x} h(t)\;\mathrm dt$

Diese Funktion entspricht einer Stammfunktion von $h$ . Das heißt $h$ entspricht der ersten Ableitung von $H_0$ .
Hier sollst du nun begründen, dass folgende beiden Aussagen wahr sind:

Der Graph von $H_0$ ist streng monoton steigend

Der Graph von $H_0$ ist rechtsgekrümmt

1. Der Graph von $\boldsymbol{H_0}$ ist streng monoton steigend

Willst du begründen, dass diese Aussage wahr ist, so betrachte den Funktionsterm von $h$ und begründe, dass $h$ für alle Werte $x \in D_h$ Funktionswerte echt größer Null annimmt.
Betrachtest du den Nenner von $h$ mit $\mathrm e^{x +1} -1 = \mathrm e^x \cdot \mathrm e^1 - 1$ , so kannst du erkennen, dass dieser im gesamten Definitionsbereich $D_h$ positiv ist. Da der Zähler mit $3$ konstant ist, nimmt $h$ nur positive Funktionswerte an und der Graph von $H_0$ ist streng monoton steigend.

2. Der Graph von $H_0$ ist rechtsgekrümmt

Der Graph einer Funktion ist dann rechtsgekrümmt, wenn die erste Ableitung der betreffenden Funktion monoton fällt.
Da $h‘$ der ersten Ableitung von $h$ entspricht und da du oben gezeigt hast, dass $h‘(x) \lt 0$ gilt, fällt $h$ streng monoton. Daraus folgt für den Graphen von $H_0$ , dass dieser rechtsgekrümmt ist.

$\blacktriangleright$ Angeben der Nullstelle von $H_0$

$H_0$ entspricht einer Integralfunktion. Willst du nun den Nullstelle von $H_0$ bestimmen, so argumentiere hier mit den Eigenschaften des Integrals.

$H_0$ ist als Integral über $h$ von $0$ bis zur oberen Grenze $x$ definiert. Du weißt, dass per Definition für $x = 0$

$H(0) = \displaystyle\int_{0}^{0}h(t)\;\mathrm dt = 0$

gelten muss. Das heißt $H_0$ hat bei $x_N = 0$ eine Nullstelle. Da $H_0$ streng monoton steigend ist, ist dies auch die einzige Nullstelle.

$\blacktriangleright$ Näherungsweises bestimmen der Funktionswerte

Nun sollst du die Funktionswerte $H_0(-0,5)$ und $H_0(3)$ näherungsweise bestimmen. Da $H_0$ eine Integralfunktion ist, musst du hier die Fläche unterhalb des Graphen von $h$ schätzen. Achte dabei darauf, dass $H_0$ ab $x = 0$ definiert ist. Beachte auch insbesondere beim Funktionswert $H_0(-0,5)$ das Vorzeichen.

Um den Funktionswert $H_0(-0,5)$ näherungsweise anzugeben, musst du die Fläche zwischen $x = 0$ und $x = -0,5$ unterhalb des Graphen von $h$ schätzen.

Grafik mit einer Kurve und einem schattierten Bereich, der eine mathematische Funktion darstellt.

Zählst du jetzt die Kästchen, so kannst du erkennen, dass der Flächeninhalt näherungsweise $1,5$ ist. Es gilt also $H_0(-0,5)\approx -1,5$ . Das negative Vorzeichen resultiert dabei daraus, dass die obere Integralgrenze mit $x = -0,5$ kleiner als die untere Integralgrenze mit $x = 0$ ist.

Der Funktionswert $H_0(3)$ ergibt sich analog. Für diesen gilt näherungsweise: $H_0(3) \approx 1,3$ .

$\blacktriangleright$ Skizzieren des Graphen H_0

Nun sollst du den Graphen von $H_0$ in Abbildung 2 im Bereich $-0,5 \leq x \leq 3$ skizzieren. Rufe dir dazu ins Gedächtnis, was du über den Graphen von $H_0$ weißt:

$G_h$ entspricht dem Graph der ersten Ableitung des Graphen $H_0$

Der Graph von $H_0$ ist streng monoton steigend

Der Graph von $H_0$ ist rechtsgekrümmt

Es gilt näherungsweise $H_0(-0,5)\approx -1,5$ und $H_0(3) \approx 1,3$

$H_0$ besitzt eine einzige Nullstelle bei $H(0) = 0$

Anhand dieser Angeben solltest du Abbildung 2 wie folgt ergänzt haben:

Graph mit zwei Kurven auf einem Koordinatensystem mit Achsen und Gitternetzlinien.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt, bei dem momentane Schadstoffabbaurate 0,01 Gramm pro Minute beträgt

Nun soll Funktion $h$ für $x \geq 0$ die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus von kontaminierten Wasser beschreiben. $h(x)$ bezeichnet dabei die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und $x$ die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.
Du sollst nun den Zeitpunkt $x$ bestimmen, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist. Setze dazu den Funktionsterm von $h$ mit $0,01$ gleich und löse nach dem Zeitpunkt $x$ .

Hier ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 0,01\\[5pt] 0,01&=&\dfrac{3}{\mathrm e^{x+1} - 1} & \quad \scriptsize \mid\;\cdot\left(\mathrm e^{x+1} - 1\right)\\[5pt] 0,01 \cdot \left(\mathrm e^{x+1} - 1\right)&=&3\\[5pt] 0,01 \cdot \mathrm e^{x+1} - 0,01&=&3& \quad \scriptsize \mid\;+ 0,01\\[5pt] 0,01 \cdot \mathrm e^{x+1}&=&3,01& \quad \scriptsize \mid\;: 0,01\\[5pt] \mathrm e^{x+1}&=&301& \quad \scriptsize \mid\;\ln(\,)\\[5pt] x+1&=&\ln(301)& \quad \scriptsize \mid\;-1\\[5pt] x&\approx&4,71\\[5pt] \end{array}$

Zum Zeitpunkt $x_T = 4,71$ , also nach etwas mehr als 4,5 Minuten beträgt die momentane Schadstoffabbaurate 0,01 Gramm pro Minute.

$\blacktriangleright$ Beschreiben wie $\boldsymbol{G_k}$ aus $\boldsymbol{G_f}$ hervorgeht

Hier sollst du bestimmen, wie der Graph der Funktion $k$ , mit

$k: x \mapsto 3 \cdot \left(\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+3}\right)-0,2$

aus dem Graphen der Funktion $f$ hervorgeht. Betrachte dazu den Funktionsterm von $k$ genauer und untersuche, ob dieser in Richtung der Koordinatenachsen verschoben wurde und ob eine Streckung des Graphen vorliegt.

Vergleichst du die Funktionsterme von $f$ und $k$ , so kannst du erkennen, dass $k(x)$ wie folgt aus $f(x)$ hervorgegangen ist:

$\begin{array}[t]{rll} k(x)&=& 3 \cdot f(x) - 0,2\\[5pt] \end{array}$

Der Graph von $f$ wurde also mit dem Faktor 3 gestreckt und um 0,2 Einheiten in Richtung der negativen $y$ -Achse verschoben.

$\blacktriangleright$ Berechnen des Integralwertes und angeben der Bedeutung im Zusammenhang

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass ein Näherungswert für $\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx$ mit

$\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx \approx \displaystyle\int_{0}^{1}k(x)\;\mathrm dx$

vorliegt. Im Folgenden sollst du diesen Wert berechnen und dessen Bedeutung im Sachzusammenhang angeben.
Hier musst du also über $k$ integrieren. Beachte dabei, dass beim Bestimmen der Stammfunktion von $k$ folgender Zusammenhang gilt:

$\left(\ln(x)\right)‘ = \dfrac{1}{x}$

Willst du die Bedeutung des berechneten Wertes im Zusammenhang angeben, dann beachte, dass $h$ die momentane Schadstoffabbaurate angibt. Eine Stammfunktion von $h$ gibt also die insgesamt abgebaute Schadstoffmenge in Gramm an.

1. Schritt: Bestimmen einer Stammfunktion für $k$

Eine Stammfunktion $K$ von $k$ ergibt sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} k(x)&=& 3 \cdot \left(\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+3}\right)-0,2\\ K(x)&=& 3 \cdot \left(\ln(x+1) - \ln(x+3)\right)-0,2 \cdot x \end{array}$

2. Schritt: Berechnen des Integrals

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}\;k(x) \mathrm dx&=& \left[K(x)\right]_0^1\;=\;K(1) - K(0)\\[5pt] &=& \left(3 \cdot \left(\ln(1+1) - \ln(1+3)\right)-0,2 \cdot 1\right) - \left(3 \cdot \left(\ln(0+1) - \ln(0+3)\right)-0,2 \cdot 0\right)\\[5pt] &=& \left(3 \cdot \left(\ln(2) - \ln(4)\right)-0,2\right) - \left(3 \cdot \left(\ln(1) - \ln(3)\right)\right)\\[5pt] &\approx& -2,28 + 3,3\\[5pt] &=& 1,02\\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Angeben der Bedeutung im Sachzusammenhang

Es gilt also: $\displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\;\mathrm dx \approx \displaystyle\int_{0}^{1}k(x)\;\mathrm dx \approx 1,02$ . Das heißt, die Schadstoffmenge hat sich innerhalb einer Minute um 1,02 $\,$ Gramm verringert.

Aufgabengruppe 2

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Graph $G_f$ der Funktion $f$ , mit

$f:\;x \mapsto a \cdot x^4 + b \cdot x^3$ mit $a,b \in \mathbb{R}$

im Punkt $O(0\;\mid \; 0)$ einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente besitzt. Weiterhin ist dir bekannt, dass $W(1 \mid -1)$ ein weiterer Wendepunkt von $G_f$ ist. Deine Aufgabe ist es die Parameterwerte für $a$ und $b$ zu bestimmen.
Willst du diese hier bestimmen, so musst du mindestens 2 Bedingungen an $f$ formulieren. Verwende dazu die Informationen über die Wendepunkte und Stelle ein entsprechendes Gleichungssystem auf.
Beachte, dass folgende zwei Bedingungen bei einer Wendestelle $x_W$ von $f$ erfüllt sein müssen:

Notwendige Bedingung: $f‘‘(x_W) = 0$

Hinreichende Bedingung: $f‘‘‘(x_W) \neq 0$

1. Schritt: Bestimmen der benötigen Ableitungsfunktionen von $\boldsymbol{f}$

Verwende zum Ableiten hier die Faktorregel:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& a \cdot x^4 + b \cdot x^3\\[5pt] f‘(x)&=& 4 \cdot a \cdot x^3 + 3 \cdot b \cdot x^2\\[5pt] f‘‘(x)&=& 12 \cdot a \cdot x^2 + 6 \cdot b \cdot x\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Aufstellen des Gleichungssystems

Hier musst du ein Gleichungssystem mit insgesamt 2 Gleichungen aufstellen, um $a$ und $b$ eindeutig bestimmen zu können. Die erste Gleichung ergibt sich aus den Koordinaten von $W$ :

$\begin{array}{} \text{I}\quad&f(1)&=&- 1\\ &-1&=&a \cdot 1^4 + b \cdot 1^3 = a + b \\ \end{array}$

Die zweite Gleichung des Gleichungssystems ergibt sich aus der notwendigen Bedingung für Wendestellen und dem Wendestelle $x_W = 1$ von $f$ :

$\begin{array}{} \text{II}\quad&f‘‘(1)&=&0\\ &0&=&12\cdot a \cdot 1^2 + 6 \cdot b \cdot 1 = 12 \cdot a + 6 \cdot b\\ \end{array}$

Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&-1&=&a+ b\\ \text{II}\quad&0&=&12 \cdot a + 6 \cdot b\\ \end{array}$

3. Schritt: Lösen des Gleichungssystems

Das Gleichungssystem kannst du jetzt wie unten zu sehen ist, über das Additionsverfahren lösen:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&-1&=&a+ b\\ \text{II}\quad&0&=&12 \cdot a + 6 \cdot b&\scriptsize\quad +12 \cdot (-1) \cdot \text{I}\\ \hline \text{I}\quad&-1&=&a+ b\\ \text{II}a\quad&12&=&-6 \cdot b\;\Leftrightarrow\; b = -2&\scriptsize\quad b = -2\;\text{in I}\\\hline \text{I}a\quad&-1&=&a-2\;\Leftrightarrow\; a = 1\\ \text{II}b\quad&b&=&-2\\ \end{array}$

Für die Parameterwerte $a$ und $b$ gilt also: $a = 1$ und $b = -2$ . Der Funktionsterm von $f$ ergibt sich also zu: $f(x) = x^4 - 2 \cdot x^3$ .

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Lage und Art des Extrempunktes

Hier sollst du nun die Lage und Art des Extrempunktes des Graphen von $f$ bestimmen. Beachte dabei, dass an einer Extremstelle $x_E$ von $f$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:

Notwendige Bedingung: $f‘(x_E) = 0$

Hinreichende Bedingung: $f‘‘(x_E) \neq 0$

Anhand des Funktionswerts der zweiten Ableitung bei $x_E$ kann die Art des Extremums festgestellt werden:

$f‘‘(x_E) > 0\;\to\;$ Minimum

$f‘‘(x_E) > 0\;\to\;$ Maximum

Gehe also so beim Lösen der Aufgabe vor:

Bestimme unter Verwendung der Ergebnisse aus a) die benötigten Ableitungsfunktionen

Bestimme die potentiellen Extremstellen mit Hilfe von $f‘$ . Achtung: Bei $x = 0$ befindet sich eine Wendestelle mit waagrechter Tangente

Stelle die Art der Extremstellen mit Hilfe von $f‘‘$ fest

Bestimme mit $f$ die vollständigen Koordinaten des Extrempunktes

1. Schritt: Bestimmen der benötigen Ableitungsfunktionen

Mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil a) ergeben sich die benötigten Ableitungsfunktionen $f‘$ und $f‘‘$ wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& 4 \cdot 1 \cdot x^3 + 3 \cdot (-2) \cdot x^2 = 4 \cdot x^3 - 6 \cdot x^2 \\[5pt] f‘‘(x)&=&12 \cdot 1 \cdot x^2 + 6 \cdot (-2) \cdot x = 12 \cdot x^2 -12 \cdot x\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Bestimmen der potentiellen Extremstellen

Setze nun $f‘(x)$ gleich Null und bestimme mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt die potentiellen Extremstellen von $f$ :

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& 0\\[5pt] 0&=&4 \cdot x^3 - 6 \cdot x^2\\[5pt] 0&=&x^2 \cdot \left(4 \cdot x -6\right)\\[5pt] \end{array}$

$f‘$ besitzt also bei $x_1 = 0$ eine doppelte Nullstelle. Von dieser Stelle weißt du, dass hier der Wendepunkt von $G_f$ mit waagrechter Tangente liegt. $x_1 = 0$ kommt also nicht als Extremstelle von $f$ in Frage.

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&4 \cdot x -6 & \scriptsize \quad \mid + 6\\[5pt] 6&=&4 \cdot x & \scriptsize \quad \mid : 4\\[5pt] \dfrac{3}{2}&=&x_2 \end{array}$

Es befindet sich also eine potentielle Extremstelle bei $x_2 = \dfrac{3}{2}$ .

3. Schritt: Bestimmen der Art des Extrempunktes und Berechnen der vollständigen Koordinaten

Setze $x_2$ nun in $f‘‘$ ein, um die Art des Extrempunktes zu bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x_2)&=& 12 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 -12 \cdot \frac{3}{2} = 27 - 18 = 9 \gt 0\\[5pt] 6&=&4 \cdot x & \scriptsize \quad \mid : 4\\[5pt] \frac{3}{2}&=&x_2 \end{array}$

Bei $x_2 = \frac{3}{2}$ liegt also ein Minimum vor. Bestimme zuletzt die vollständigen Koordinaten des Tiefpunkts $T$ :

$\begin{array}[t]{rll} f(x_2)&=& \left(\frac{3}{2}\right)^4 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{81}{16} - \frac{27}{4} = -\frac{27}{16} = -1,6875\\[5pt] \end{array}$

$G_f$ besitzt einen Tiefpunkt $T$ mit den Koordinaten $T\left(\frac{3}{2}\;\mid\; -\frac{27}{16}\right)$

$\blacktriangleright$ Zeichnen des Graphen von $\boldsymbol{f}$ und der Geraden $\boldsymbol{g}$

Gerade $g$ schneidet $G_f$ im Wendepunkt $W$ und dem Punkt $P$ mit den Koordinaten $P(2\;\mid\;0)$ . Deine Aufgabe ist es nun, beide in ein gemeinsames Schaubild zu übertragen.
Das weißt du bereits über die zu zeichnenden Graphen:

Gerade $g$ verläuft durch $W(1\;\mid\;-1)$ und $P(2\;\mid\;0)$

$G_f$ besitzt einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente in $O(0 \; \mid \; 0)$

$G_f$ besitzt einen weiteren Wendepunkt bei $W(1 \; \mid \; -1)$

$G_f$ besitzt einen Tiefpunkt bei $T\left(\frac{3}{2}\;\mid\; -\frac{27}{16}\right)$

Das Schaubild sollte hier wie folgt aussehen:

Graph einer mathematischen Funktion mit hervorgehobenen Flächen in Rot und Gelb.

$\blacktriangleright$ Angeben der Gleichung der Geraden $\boldsymbol{g}$

Des weitern sollst du hier die Gleichung der Geraden $g$ angeben. Die Grundform einer Geradengleichung lautet dabei:

$g(x) = m \cdot x + b$

Die Steigung $m$ der Geraden kannst du dabei über diesen Zusammenhang bestimmen:

$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ mit $A(x_A\;\mid\;y_A)$ und $B(x_B\;\mid\;y_B)$

Den $y$ -Achsenabschnitt $b$ bestimmst du anschließend über eine Punktprobe mit $P$ oder $W$ .

1. Schritt: Bestimmen der Steigung $\boldsymbol{m}$

Setze $W(1\;\mid\;-1)$ und $P(2\;\mid \; 0)$ in die Formel für $m$ ein und berechne so:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{0 - (-1)}{2 - 1} = \dfrac{1}{1} = 1\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Bestimmen des $y$ -Achsenabschnitts $b$

Führe bspw. eine Punktprobe mit $W(1\;\mid\;-1)$ durch, um den $y$ -Achsenabschnitt zu bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} g(1)&=& -1\\[5pt] -1&=& 1 + b\;\Leftrightarrow\; b = -2\\[5pt] \end{array}$

Die Geradengleichung der Geraden $g$ lautet also: $g(x) = x - 2$ .

$\blacktriangleright$ Berechnen des Verhältnisses der Flächeninhalte der Teilflächen

Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass $G_f$ und die $x$ -Achse im IV-Quadranten ein Flächenstück einschließen, das durch die Gerade $g$ in zwei Teilflächen zerlegt wird. Deine Aufgabe ist es nun, das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen zu berechnen.
Fertige dir dazu eine Skizze zum Sachverhalt an. Ergänze dazu das Schaubild aus c.

Graph mit einer roten und einer grünen Fläche, die eine mathematische Funktion darstellen. Achsen sind beschriftet.

Im Schaubild kannst du erkennen, dass sich Flächenstück $A_1$ über das Integral über $f$ vom Ursprung bis zum Schnittpunkt $\boldsymbol{W}$ und das Integral über $g$ von der Schnittstelle bis zur Nullstelle bei $\boldsymbol{P}$ ergibt. Letztere Fläche bildet ein rechtwinkliges Dreieck.
Fläche $A_2$ ergibt sich über ein Integral über $f$ . Integriere dazu zwischen $\boldsymbol{W}$ und $\boldsymbol{P}$ . Vergiss nicht hiervon noch die Fläche zwischen $g$ und der $x$ -Achse zu subtrahieren.

1. Schritt: Flächenstück $A_1$

Berechne zunächst die Fläche zwischen der $x$ -Achse und $G_f$ , indem du über $f$ innerhalb der Grenzen $x_O = 0$ und $x_W = 1$ integrierst. Vergiss dabei nicht den Betrag deines Ergebnisses zu bilden.

$\begin{array}[t]{rll} A_1‘&=& \left|\displaystyle\int_{x_O}^{x_W}f(x)\;\mathrm dx\right| = \left|\displaystyle\int_{0}^{1}\left(x^4-2\cdot x^3\right)\;\mathrm dx \right|= \left|\left[\frac{1}{5} \cdot x^5 - \frac{1}{2} \cdot x^4\right]_0^1\right|\\[5pt] &=&\left|\left(\frac{1}{5} \cdot 1^5 - \frac{1}{2} \cdot 1^4\right) - \left(\frac{1}{5} \cdot 0^5 - \frac{1}{2} \cdot 0^4\right)\right|\\[5pt] &=&\left|\frac{1}{5} - \frac{1}{2}\right| = \frac{3}{10}\\[5pt] \end{array}$

Wie oben schon erwähnt bildet Gerade $g$ mit der $x$ -Achse ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses Dreieck besitzt dabei die Grundseite mit der Länge $x_P - x_W = 1$ und eine Höhe von $\left|y_W\right| = 1$ :

$A_1‘‘ = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Der Flächeninhalt $A_1$ ergibt sich also zu:

$A_1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\;\text{FE}$

2. Schritt: Flächenstück $A_2$

Berechne nun das Integral über $f$ im Intervall $x_W = 1$ und $x_P = 2$ . Subtrahiere anschließend den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks.

$\begin{array}[t]{rll} A_2‘&=& \left|\displaystyle\int_{x_W}^{x_P}f(x)\;\mathrm dx\right| = \left|\displaystyle\int_{1}^{2}\left(x^4-2\cdot x^3\right)\;\mathrm dx \right|= \left|\left[\frac{1}{5} \cdot x^5 - \frac{1}{2} \cdot x^4\right]_1^2\right|\\[5pt] &=&\left|\left(\frac{1}{5} \cdot 2^5 - \frac{1}{2} \cdot 2^4\right) - \left(\frac{1}{5} \cdot 1^5 - \frac{1}{2} \cdot 1^4\right)\right|\\[5pt] &=&\left|\left(\frac{32}{5} - \frac{16}{2}\right)-\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{2}\right)\right| = \left|-\frac{8}{5} +\frac{3}{10}\right|= \frac{13}{10} = 1,3\,\text{FE}\\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt $A_2$ ergibt sich nun über folgende Differenz:

$A_2 = 1,3 - \frac{1}{2} = 0,8\,\text{FE}$

Das Verhältnis beider Flächeninhalte zueinander ist nun:

$\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{\frac{4}{5}}{0,8} = 1$

Das Verhältnis beider Teilflächen zueinander ist 1.

$\blacktriangleright$ Zuordnen der Graphen und Begründen

Hier hast du die Funktion $f_0$ mit $f_0: x \mapsto x^4 - 2$ sowie die Funktionenschar $f_n: x \mapsto x^4 - 2 \cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$ gegeben. Weiterhin sind die die Graphen in den Abbildungen 1 bis 4 gegeben.
Hier ist es deine Aufgabe diese Graphen den Funktionen $f_0$ , $f_1$ , $f_2$ und $f_4$ zuzuordnen, wobei du bei drei Zuordnungen diese mittels Aussagen zur Symmetrie, den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten der Funktion an den Grenzen des Definitionsbereichs begründen.
Bestimme dazu zunächst die fehlenden Funktionsterme:

$f_1(x) = x^4 - 2 \cdot x$

$f_2(x) = x^4 - 2 \cdot x^2$

$f_4(x) = x^4 - 2 \cdot x^4= - x^4$

Betrachte nun jede Funktion einzeln und treffe Aussagen über Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen oder Grenzwertverhalten. Beachte dabei, dass eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch ist, wenn diese nur gerade Exponenten besitzt. Besitzt sie wiederum nur ungerade Exponenten, so ist sie punktsymmetrisch.

1. Funktion $\boldsymbol{f_0}$

Funktion $f_0$ ist offensichtlich achsensymmetrisch. Berechne nun den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse, um weitere Aussagen treffen zu können:

$f_0(0) = 0^4 - 2 = -2$

Du erkennst sofort, Funktion $f_0$ gehört zum Schaubild in Abbildung 4.

2. Funktion $\boldsymbol{f_1}$

Betrachtest du den Funktionsterm von $f_1$ näher, so kannst du erkennen, dass der Graph von $f_1$ weder punkt- noch achsensymmetrisch sein kann. Betrachtest du die gegebenen Abbildungen näher, so siehst du, dass $f_1$ eindeutig dem Schaubild in Abbildung 3 zugeordnet werden kann.

3. Funktion $\boldsymbol{f_4}$ und $\boldsymbol{f_2}$

Betrachtest du den Funktionsterm von $f_4$ näher, so kannst du erkennen, dass diese Funktion ausschließlich Funktionswerte kleiner gleich Null besitzt. Diese beschreibt also das Schaubild, welches in Abbildung 2 dargestellt wird.
Funktion $f_2$ kann also nach dem Ausschlussverfahren dem Schaubild in Abbildung 1 zugeordnet werden.

$\blacktriangleright$ Angeben des Verhaltens für $\boldsymbol{\pm \infty}$

Betrachtet werden nun die Funktionen $f_n$ für $n > 4$ . Deine Aufgabe ist es nun, dass Verhalten dieser Funktionen für $x \to \pm \infty$ in Abhängigkeit von $n$ zu bestimmen.
Hier musst du also eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Beachte dabei, dass jenes $x$ mit dem größeren Exponenten auch ein stärkeres Wachstum für $x \to \pm\infty$ besitzt. Denke des weiteren daran zwischen geraden und ungeraden $n$ zu unterscheiden.

1. Schritt: Grenzwertverhalten für $\boldsymbol{x \to \infty}$

Berechne zunächst den allgemeinen Grenzwert für $x \to \infty$ . Beachte dabei, da $n > 4$ gilt, bestimmt der variable Teil im Funktionsterm das Grenzwertverhalten.

$\lim\limits_{x\to\infty}f_n(x) = \underbrace{x^4}_{\to \infty} - \underbrace{2 \cdot x^n}_{\to -\infty}$

Betrachtest du den Term nun näher, so kannst du erkennen, dass der hintere Teil, unabhängig vom Vorzeichen von $x$ , gegen $- \infty$ strebt. Für den Grenzwert gilt also:

$\lim\limits_{x\to\infty}f_n(x) = -\infty$

2. Schritt: Grenzwertverhalten für $\boldsymbol{x \to -\infty}$

Gehe wie oben vor und berechne zunächst allgemein den Grenzwert, bevor du zwischen geradem und ungeradem $n$ unterscheidest:

$\lim\limits_{x\to-\infty}f_n(x) = \underbrace{x^4}_{\to \infty} - \underbrace{2 \cdot x^n}_{\to ?}$

Besitzt $n$ einen geraden Wert, so werden alle mit $n$ potenzierte $x$ positiv. Der Term strebt für $x \to -\infty$ also gegen $- \infty$ :

$n$ gerade:\; $\lim\limits_{x\to-\infty}f_n(x) = - \infty$

Besitzt $n$ einen ungeraden Wert, so werden alle mit $n$ potenzierte $x$ negativ. Der Term wird positiv und strebt für $x \to -\infty$ also gegen $\infty$ :

$n$ ungerade:\; $\lim\limits_{x\to-\infty}f_n(x) = + \infty$

$\blacktriangleright$ Berechnen von $\boldsymbol{g(1,5)}$ und Interpretieren im Zusammenhang

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass $g$ , mit

$g:\; t \mapsto - \dfrac{\pi}{8} \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$

die Atemstromstärke einer ruhenden Testperson in Abhängigkeit von $t$ in Sekunden wiedergibt. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Beachte dies beim Interpretieren des Vorzeichens des berechneten Funktionswertes.

Setze nun $x = 1,5$ in $g(x)$ ein und berechne wie folgt:

$g(1,5) = -\dfrac{\pi}{8} \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{2} \cdot 1,5\right) = -\dfrac{\pi}{8} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx -0,278$

Das Vorzeichen des Funktionswertes verrät dir, dass die betrachtete Versuchsperson nach 1,5 $\,$ Sekunden ausatmet. Sie atmet dabei mit einer Atemstromstärke von 0,278 $\,$ Liter.

$\blacktriangleright$ Angeben eines Zeitpunkts, zudem das Luftvolumen in der Lunge minimal ist

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass der Graph von $g$ die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge angibt.
Für eine Stammfunktion von $g$ bedeutet dies, dass diese zwangsläufig das Luftvolumen zu jedem Zeitpunkt $t$ in $s$ angeben muss. Weiterhin kannst du folgern, dass das Luftvolumen bei den Nullstellen von $g$ Extremstellen besitzen muss.
Führe dir also nochmal vor Augen, was für eine Minimalstelle gelten muss und begründe mit Hilfe der gegebenen Abbildung.

Dort wo $g$ eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ besitzt, besitzt das Luftvolumen in der Lunge der Testperson ein Minimum. Das heißt, dass das Luftvolumen in der Lunge Testperson beispielsweise zum Zeitpunkt $t = 2$ einen minimalen Wert annimmt.

$\blacktriangleright$ Berechnen des Integrals und begründen im Zusammenhang

Hier sollst du nun das Integral $\displaystyle\int_{2}^{4}g(t)\;\mathrm dt$ berechnen und den Wert dieses Integrals im Sachzusammenhang deuten. Beachte dabei, dass $g$ die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge der Testperson angibt.
Für eine Stammfunktion $G$ bedeutet das, dass diese das momentane Volumen der Luft in Litern in der Lunge der Testperson angibt. Betrachte beim Interpretieren des Wertes im Zusammenhang auch die gegebene Abbildung von $G_g$ .
Beachte beim Bestimmen der Stammfunktion $G$ von $g$ das folgender Zusammenhang gilt:

$\left(\cos(x)\right)‘ = -\sin(x)$

1. Schritt: Berechnen des Integralwertes

$\begin{array}[t]{rll} I&=& \displaystyle\int_{2}^{4}g(t)\;\mathrm dt = \displaystyle\int_{2}^{4}\left(\frac{-\pi}{8} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{2} \cdot t\right)\right) = \left[ \dfrac{1}{4}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{2} \cdot t\right)\right]_2^4\\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{4}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{2} \cdot 4\right)\right) - \left( \dfrac{1}{4}\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{2} \cdot 2\right)\right)\\[5pt] &=&\left(\dfrac{1}{4}\cdot\cos\left(2 \cdot \pi \right)\right) - \left( \dfrac{1}{4}\cdot\cos\left(\pi \right)\right)\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4} - \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2} = 0,5\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Interpretieren im Sachzusammenhang

Der Wert des Integrals ist $I = 0,5$ . Das heißt, die betrachtete Testperson hat im Zeitraum zwischen 2 und 4 Sekunden insgesamt 0,5 $\,\ell$ Luft eingeatmet.

$\blacktriangleright$ Skizzieren des Graphens der Stammfunktion

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass sich zu Beginn eines Ausatemvorgangs insgesamt 3,5 $\,\ell$ Luft in der Lunge der Testperson befindet. Auf dieser Grundlage sollst du nun den Verlauf des Luftvolumens für $0 \leq t \leq 8$ zeichnen.
Oben hast du bereits eine Stammfunktion $G$ von $g$ bestimmt. Diese gilt es in ein Schaubild für $0 \leq t \leq 8$ zu zeichnen. Beachte dabei, dass $G(0) = 3,5$ gelten muss und das es sich um eine gestauchte Kosinusfunktion mit einer Periode von $4$ handelt.

Das hier zu zeichnende Schaubild muss also wie folgt aussehen:

Liniendiagramm mit einem flachen Verlauf über mehrere Zeitpunkte. Grafische Darstellung von Daten oder Trends.

$\blacktriangleright$ Angeben der Atemfrequenz der Testperson

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Testperson für einen vollständigen Atemzyklus insgesamt 4 Sekunden benötigt. Deine Aufgabe ist es zunächst, die Atemfrequenz der Testperson anzugeben.
Der Aufgabenstellung kannst du dazu entnehmen, dass die Atemfrequenz der Anzahl der Atemzyklen pro Minute entspricht.

Die Atemfrequenz $f$ der Testperson entspricht also folgendem Wert:

$f = \dfrac{60\,\frac{s}{min}}{4\,\text{s}} = 15\,\dfrac{1}{\text{min}}$

Die Atemfrequenz der Testperson entspricht $15\,\dfrac{1}{\text{min}}$ .

$\blacktriangleright$ Ermitteln des Wertes für $\boldsymbol{b}$

Nun soll die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um 20 $\,\%$ höher ist, durch eine Sinusfunktion der Form

$h: t \mapsto a \cdot \sin(b \cdot t)$

beschrieben werden. Deine Aufgabe ist es dabei, denn Wert des Parameters $b$ zu bestimmen.
Bevor du damit beginnen kannst $b$ zu bestimmen, solltest du dir ins Gedächtnis rufen, was dieser Parameter definiert. $b$ bestimmt die Periode der Funktion und ist wie folgt definiert:

$b = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}$

Leite also aus der Atemfrequenz des jüngeren Menschen die Periode ab und berechne mit dieser den Parameter $b$ .

1. Schritt: Bestimmen der Atemfrequenz der jüngeren Person

Multipliziere die oben berechnete Atemfrequenz $f$ mit 1,2 um die Atemfrequenz $f_2$ der jüngeren Person zu berechnen:

$f_2 = 1,2 \cdot f = 1,2 \cdot 15 = 18\,\dfrac{1}{\text{min}}$

2. Schritt: Bestimmen der Parameters $b$

Aus den vorherigen Aufgabenteilen weißt du, dass gerade ein Atemzyklus die Periode der Funktion $g$ abbildet. Willst du nun den Parameter $b$ von Funktion $h$ bestimmen, so musst du zunächst ermitteln, wie lange ein Atemzyklus der jüngeren Person dauert.
Teile dazu $60\,\frac{\text{s}}{\text{min}}$ durch die Atemfrequenz:

Länge eines Atemzyklus $= \dfrac{60\,\frac{\text{s}}{\text{min}}}{18\,\dfrac{1}{\text{min}}} = \dfrac{10}{3}\,\text{s}$

Bestimme mit diesem Wert nun wie folgt Parameter $b$ :

$b = \dfrac{2\pi}{\frac{10}{3}} = \dfrac{6 \pi}{10} = \dfrac{3 \pi}{5}$ .

Der hier gesuchte Wert für $b$ beträgt also $\dfrac{3 \pi}{5}$ .