Teil B

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G$ der in $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = x - 3 + \frac{5}{x+3}.$ $G$ hat genau einen Tiefpunkt $T.$

Die Geraden mit den Gleichungen $x = -3$ und $y = x - 3$ haben eine besondere Bedeutung für $G.$ Zeichne die beiden Geraden in die Abbildung ein und gib diese Bedeutung an. Gib zudem die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an.

(4 BE)

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von $G$ mit der $y$ -Achse. Begründe anhand des gegebenen Terms von $f,$ dass $G$ für $x \gt -3$ oberhalb der Geraden mit der Gleichung $y = x - 3$ verläuft.

(3 BE)

Weise nach, dass $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 3}$ gilt, indem du den Term $x - 3 + \frac{5}{x + 3}$ geeignet umformst, und begründe, dass $f$ genau die Nullstellen $-2$ und $2$ hat.

(3 BE)

Ermittle rechnerisch einen Term der ersten Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ und berechne die $x$ -Koordinate von $T.$

(5 BE)

Ermittle anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\;\mathrm dx.$

(3 BE)

Betrachtet wird die in $]-3 ;+\infty[$ definierte Integralfunktion $J: x \mapsto \displaystyle\int_{-2}^{x}f(t)\;\mathrm dt.$

Begründe, dass die in $\left]-3;+\infty\right[$ definierte Funktion $F: x \mapsto \frac{1}{2}x^2 - 3x + 5 \cdot \ln(x + 3)$ für $x \gt -3$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Zeige damit, dass $\lim\limits_{x\to-3}J(x)=-\infty$ gilt, und deute diese Aussage geometrisch.

(6 BE)

Begründe ohne weitere Rechnung, dass $J$ mindestens zwei Nullstellen besitzt.

(3 BE)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto \frac{x^2 - k}{x + 3}$ mit $k \in \mathbb{R} \setminus \{9\}.$ Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 ist somit die Funktion $f_4$ dieser Schar.

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_k$ in Abhängigkeit von $k$ an und begründe, dass die Funktion $f_0$ der Schar eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat.

(4 BE)

Für die erste Ableitungsfunktion von $f_k$ gilt $\(f_k$

Begründe, dass $G_k$ für $k \gt 9$ keine Extrempunkte besitzt.

(2 BE)

Die Tangente an $G_k$ im Punkt $\left(0 \mid f_k(0)\right)$ wird mit $t_k$ bezeichnet.

Zeige, dass $t_k$ die Steigung $\frac{k}{9}$ hat, und bestimme denjenigen Wert von $k,$ für den $t_k$ senkrecht zur Gerade mit der Gleichung $y = x - 3$ ist.

(3 BE)

Gib eine Gleichung von $t_k$ an und beurteile folgende Aussage:

$\,$

Es gibt einen Punkt, der für alle $k \in \mathbb{R} \setminus \{9\}$ auf $t_k$ liegt.

(4 BE)

(40 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Die Gerade $x = -3$ ist die senkrechte Asymptote von $G,$ da die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist. Die Gerade $y = x - 3$ ist die schräge Asymptote von $G,$ der sich der Graph für $x \to \pm\infty$ annähert.

Einsetzen von $x=-3$ in $y=x-3$ liefert $(-3 \mid -6)$ für die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden.

Koordinaten berechnen

Einsetzen von $x = 0$ in den Funktionsterm liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&0 - 3 + \dfrac{5}{0 + 3} \\[5pt] &=&-\dfrac{4}{3} \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $G$ mit der $y$ -Achse sind somit gegeben durch $\left(0 \mid -\frac{4}{3}\right).$

Lage von $\boldsymbol{G}$ begründen

Für $x > -3$ ist der Ausdruck $\frac{5}{x+3}$ positiv, das heißt es gilt $f(x) \gt x - 3.$ Somit liegt $G$ für diese Werte von $x$ oberhalb der Geraden $y = x - 3.$

Funktionsterm nachweisen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x-3+\dfrac{5}{x + 3} \\[5pt] &=&\dfrac{(x - 3)\cdot(x + 3) + 5}{x + 3} \\[5pt] &=&\dfrac{x^2 - 4}{x + 3} \end{array}$

Nullstellen begründen

Die Nullstellen von $f$ ergeben sich aus den Nullstellen des Zählers von $\frac{x^2 - 4}{x + 3},$ somit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x^2 - 4&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] x^2&=&4 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_{1;2}&=&\pm2 \end{array}$

Ableitungsfunktion bestimmen

Mit der Quotientenregel folgt für den Funktionsterm der Ableitung von $f(x)=\frac{x^2-4}{x+3}:$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$\boldsymbol{x}$ -Koordinate von $\boldsymbol{T}$ berechnen

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x^2+6x+4}{(x+3)^2}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(x+3)^2\\[5pt] x^2+6x+4&=&0 \end{array}$

Mit der $abc$ -Formel folgt weiter:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=&\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-16}}{2} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{-6\pm\sqrt{20}}{2} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{-6+\sqrt{20}}{2} \\[5pt] x_1&\approx&-0,76 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{-6-\sqrt{20}}{2} \\[5pt] x_2&\approx&-5,23 \end{array}$

Mit Hilfe der Abbildung folgt somit, dass $x_1\approx-0,76$ die $x$ -Koordinate von $T$ ist.

Der Wert des Integrals ist durch den Inhalt der Fläche zwischen der $x$ -Achse und dem Graphen zwischen $x = -2$ und $x = 2$ gegeben. Zählen der Kästchen ergibt ungefähr $16$ Kästchen. Da vier Kästchen einer Flächeneinheit entsprechen, folgt $4\;\text{FE}$ als Näherungswert des Integrals.

Stammfunktion begründen

Ableiten von $F$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} F$

Somit ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$

Grenzwert zeigen

Es gilt $\lim\limits_{x\to-3}\ln(x+3)=-\infty,$ und damit auch $\lim\limits_{x\to-3}F(x)=-\infty$ sowie $\lim\limits_{x\to-3}J(x)=-\infty.$

Aussage geometrisch deuten

Da $J(x)$ die Flächenbilanz von $f(x)$ zwischen $-2$ und $x$ angibt, bedeutet $\lim\limits_{x\to-3}J(x)=-\infty,$ dass die Fläche unendlich groß wird, wenn $x$ sich von rechts $-3$ nähert.

Die Funktion $J(x)$ hat mindestens zwei Nullstellen, da $J(-2)=0$ ist, sowie der Graph $G$ für $x$ -Werte größer als $2$ nach Aufgabenteil b) immer oberhalb der $x$ -Achse verläuft. Da $f(x)$ zwischen $x_1=-2$ und $x_2=2$ eine Fläche unterhalb der $x$ -Achse einschließt, existiert somit ein $x_3\gt2,$ sodass die zwischen $x_1$ und $x_2$ unterhalb der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche der zwischen $x_2$ und $x_3$ oberhalb der $x$ -Achse eingeschlossenen Fläche entspricht. Somit gilt dann $J(x_3)=0.$

Anzahl der Nullstellen angeben

Die Nullstellen von $f_k$ ergeben sich als die des Zählers $x^2 - k.$ Für $k \gt 0$ hat $f_k$ somit zwei Nullstellen, für $k = 0$ eine Nullstelle und für $k \lt 0$ keine Nullstelle.

Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel begründen

Für $k = 0$ ist $x = 0$ eine doppelte Nullstelle von $f_0,$ das heißt der Graph $G_0$ besitzt dort ein Extremum und berührt somit die $x$ -Achse nur. Damit hat $f_0$ eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Für $k \gt 9$ hat der Zähler $x^2 + 6x + k$ und damit auch $\(f_k$ keine Nullstellen, da die Diskriminante $36 - 4k$ negativ ist. Somit besitzt $G_k$ für $k\gt9$ keine Extrempunkte.

Für die Steigung $m$ der Tangente $t_k$ an $G_k$ bei $x = 0$ gilt:

$\(m= f_k$

Die Tangente $t_k$ ist senkrecht zur Geraden $y = x - 3,$ wenn das Produkt der Steigungen $-1$ ergibt. Somit folgt für den gesuchten Wert von $k:$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{k}{9}\cdot1&=&-1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot9 \\[5pt] k&=&-9 \end{array}$

Für die Tangente $t_k$ gilt $t_k: x \mapsto \frac{k}{9}x + f_k(0).$

Da $f_k(0) = \frac{0^2 - k}{0 + 3} = -\frac{k}{3}$ gilt, folgt:

$t_k: x \mapsto \frac{k}{9}x - \frac{k}{3}$

Einsetzen von $x = 3$ in den Funktionsterm von $t_k$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t_k(3)&=&\dfrac{k}{9}\cdot3-\dfrac{k}{3} \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Somit liegt der Punkt mit den Koordinaten $(3\mid0)$ für alle $k\setminus\{9\}$ auf $t_k,$ die Aussage stimmt also.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?