Teil B

Das elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) eines Autos kann Schleuderbewegungen und damit Unfälle verhindern.

Gehe bei den folgenden Aufgaben davon aus, dass $40\,\%$ aller Autos mit ESP ausgerüstet sind.

$200$ Autos werden nacheinander zufällig ausgewählt; die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der ausgewählten Autos mit ESP.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Autos mindestens $70$ mit ESP ausgerüstet sind.

(3 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.

$A:$ „Das fünfte ausgewählte Auto ist das erste mit ESP.“
$B:$ „Die Zufallsgröße $X$ nimmt einen Wert an, der von ihrem Erwartungswert höchstens um eine Standardabweichung abweicht.“

(7 BE)

In einem Parkhaus befinden sich insgesamt $100$ Parkplätze.

Im Parkhaus sind $20$ Parkplätze frei; vier Autofahrer suchen jeweils einen Parkplatz. Formuliere in diesem Sachzusammenhang zu den folgenden Termen jeweils eine Aufgabenstellung, deren Lösung sich durch den Term berechnen lässt.

$\alpha)$

$20\cdot 19\cdot 18 \cdot 17$

$\beta)$

$\binom{20}{4}$

(3 BE)

Das Parkhaus ist nun mit $100$ Autos besetzt, von denen $40$ mit ESP ausgerüstet sind.

Sieben von diesen $100$ Autos sind Kleinwagen und nicht mit ESP ausgerüstet, $90$ sind keine Kleinwagen. Betrachtet werden folgende Ereignisse.

$E:$ „Ein im Parkhaus zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet.“
$F:$ „Bei einem im Parkhaus zufällig ausgewählten Auto handelt es sich um einen Kleinwagen.“

Gib die Bedeutung von $P_K(E)$ im Sachzusammenhang an und ermittle diese Wahrscheinlichkeit.

(3 BE)

$30$ der im Parkhaus stehenden Autos werden zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrshceinlichkeit dafür, dass darunter genau $40\,\%$ mit ESP ausgerüstet sind.

(4 BE)

(20 BE)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $200$ zufällig ausgewählten Autos mindestens $70$ mit ESP ausgerüstet sind. Hier kannst du die Binomialverteilung verwenden.
Definiere also zunächst die Verteilung der Zufallsgröße $X$ und nutze diese Verteilung anschließend für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit.

1. Schritt: Zufallsgröße definieren

Betrachte de Zufallsgröße $X$ , die die Anzahl der Autos mit ESP in der Stichprobe von $200$ zufällig ausgewählten Autos beschreibt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Auto mit ESP ausgerüstet ist, ist global gegeben und damit bei jedem Auto gleich. Außerdem gibt es bei jedem Auto nur zwei Möglichkeiten, es ist mit ESP ausgerüstet oder nicht.
$X$ kann daher als binomialverteilt angenommen werden, mit den Parametern $n=200$ und $p= 40\,\% = 0,4.$

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit bestimmen

Gesucht ist nun $P(X \geq 70).$ Du kannst diese mit Hilfe des Gegenereignisses umformen:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X\geq 70) \\[5pt] =& 1- P(X \leq 69) \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 69)$ kannst du mit der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung bestimmen. Wähle die Tabelle für $n =200$ und lies aus der Spalte für $p = 0,4$ den Wert für $k = 69$ ab. Du erhältst dann folgendes:

$P(X\geq 70)\approx 93,61\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den zufällig ausgewählten $200$ Autos mindestens $70$ mit ESP ausgerüstet sind, beträgt ca. $93,61\,\%.$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bestimmen

Für das erste Ereignis kannst du die Pfadmultiplikationsregel verwenden. Bei $B$ kannst du die $\sigma$ -Regeln für binomialverteilte Zufallsgrößen anwenden. Beachte, dass du dazu zunächst die Bedingung $\sigma \gt 3$ überprüfen musst.

Da für Ereignis $A$ egal ist, ob die Autos nach den ersten fünf ESP besitzen oder nicht, genügt es die ersten fünf zu betrachten.
Die ersten vier Autos sollen nicht mit ESP ausgerüstet sein, das fünfte dagegen schon. Also ergibt sich die Wahrscheinlichkeit zu:

$P(A)= 5,184\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$ , also dafür, dass das fünfte ausgewählte Auto das erste mit ESP ist, beträgt $5,184\,\%.$

Überprüfe für Ereignis $B$ zunächst, ob die Bedingung für die $\sigma$ -Regeln erfüllt ist. Berechne dazu die Standardabweichung $\sigma$ mit folgender Formel:

$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot q}$

$\begin{array}[t]{rll} \sigma_X &=& \sqrt{200\cdot 0,4\cdot 0,6} \\[5pt] &=& \sqrt{48} \gt 3 \\[5pt] \end{array}$

Die $\sigma$ -Regeln können also angewendet werden. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ einen Wert annimmt, der höchstens um eine Standardabweichung $\sigma$ von ihrem Erwartungswert $\mu$ abweicht. Die entsprechende Regel lautet:

Mit $\sigma \gt 3$ gilt für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X:$

$P(\mu-1\cdot \sigma \leq X \leq \mu +1\cdot \sigma)$ $\approx 0,683$

Mit dem Erwarungswert $\mu= n\cdot p =80$ erhältst du $P(74 \leq X \leq 86)= 0,82607-0,17423=0,65184.$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$ , also dafür, dass $X$ einen Wert annimmt, der höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, beträgt ca. $65,2\,\%.$

$\blacktriangleright$ Aufgabenstellungen angeben

In einem Parkhaus sind $20$ Parkplätze frei, wobei $4$ Autos jeweils einen davon besetzen sollen. Gegeben sind dir zwei verschiedene Terme. Du sollst Aufgabenstellungen angeben, deren Lösungen mit dem jeweiligen Term berechnet werden können.
Hier geht es um Kombinatorik, also darum, die Möglichkeiten zu berechnen, die es gibt um die vier Autos auf die $20$ Parkplätze zu verteilen. Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen, da jedes Auto nur einen Parkplatz besetzen kann.
Abgesehen vom Zurücklegen gibt es noch die Unterscheidung zwischen „Mit Beachtung der Reihenfolge“ und „ Ohne Beachtung der Reihenfolge“. Entscheide, bei welchem es sich um welche Art handelt.

$\alpha)$

Du kannst dir dieses Zufallsexperimente wie ein Ziehen ohne Zurücklegen vorstellen. Für das erste Auto bleiben noch $20$ Möglichkeiten. Dieser Parkplatz ist dann besetzt, also bleiben für das zweite Auto noch $19$ Möglichkeiten und so weiter. Hierbei wird also die Reihenfolge beachtet. Eine mögliche Aufgabenstellung wäre also:

„Gib die Anzahl der Möglichkeiten an, in denen die vier Autos auf die $20$ Parkplätze aufgeteilt werden können, wobei es von Bedeutung ist, welches Auto auf welchem Parkplatz steht.“

$\beta)$

Hierbei handelt es sich um einen Binomialkoeffizienten. Dieser beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Eine mögliche Aufgabenstellung wäre also:

„ Gib die Anzahl der Möglichkeiten an, in denen die vier Autos auf die $20$ Parkplätze verteilt werden können, wenn dabei nicht relevant ist, welches Auto auf welchem Parkplatz steht.“

$\blacktriangleright$ Bedeutung im Sachzusammenhang angeben

Hierbei handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $E$ eintritt unter der Bedingung, dass Ereignis $K$ bereits sicher ist. Übertrage dies auf den Sachzusammenhang.

Die angegebene Wahrscheinlichkeit, beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Kleinwagen aus dem Parkhaus mit ESP ausgerüstet ist.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit ermitteln

Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gilt folgende Formel:

$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Von den $100$ Autos im Parkhaus sind $90$ keine Kleinwagen, $10$ sind also Kleinwagen. Von denen sind $7$ nicht mit ESP ausgestattet. Es gibt also drei Autos im Parkhaus, die Kleinwagen und mit ESP ausgestattet sind. Setze also ein:

$\begin{array}[t]{rll} &P_K(E)\\[5pt] =& \dfrac{P(E\cap K)}{P(K)}\\[5pt] =& \dfrac{\frac{3}{100}}{\frac{10}{100}}\\[5pt] =& \dfrac{0,03}{0,1} \\[5pt] =& 0,3 = 30\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Kleinwagen im Parkhaus mit ESP ausgestattet ist, beträgt $P_K(E)=30\,\%.$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $30$ zufällig ausgewählten Autos genau $40\,\%$ mit ESP ausgerüstet sind. Hierbei kannst du die hypergeometrische Verteilung verwenden:

$\begin{array}[t]{rll} &P(X=k) \\[5pt] =&\dfrac{\binom{M}{k}\cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \end{array}$

$N$ beschreibt die Gesamtanzahl der Objekte in der ersten Menge, also $N=100$ Autos im Parkhaus. Aus diesen werden $n=30$ Autos zufällig ausgewählt. In der ersten Menge mit $100$ Autos befinden sich $M=40$ Autos mit ESP.
$k$ soll $40\,\%$ von $30$ sein, also ist $P(Y = 12)$ gesucht, wobei $Y$ die Anzahl der Autos mit ESP unter den $30$ ausgewählten Autos beschreibt. Setze also ein:

$\begin{array}[t]{rll} &P(Y=12)\\[5pt] =& \dfrac{\binom{40}{12}\cdot \binom{100-40}{30-12}}{\binom{100}{30}}\\[5pt] \approx& 0,1759 \\[5pt] =& 17,59\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $17,59\,\%$ befinden sich unter den $30$ zufällig ausgewählten Autos genau $40\,\%$ mit ESP.