Teil A

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= \dfrac{(3+x)^2}{x-1}$ und maximalem Definitionsbereich $D$ . Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

Gib $D$ und die Koordinaten der Schnittpunkt von $G_f$ mit den Koordinatenachsen an.

(3 BE)

Zeige, dass $f(x)$ zum Term $x+7+\dfrac{16}{x-1}$ äquivalent ist, und gib die Bedeutung der Geraden $g$ mit der Gleichung $y= x+7$ für $G_f$ an.

(3 BE)

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.

Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$ .

(2 BE)

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

(3 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g:\; x\mapsto p+q \cdot \sin \left(\frac{\pi}{r}x\right)$ mit $p,q, r \in \mathbb{N}.$

Grafik einer Wellenbewegung mit Achsenbeschriftungen und einem Gittermuster.

Abb. 1

Gib $p$ , $q$ und $r$ an.

(3 BE)

Der Graph der Funktion $h$ geht aus dem Graphen der Funkton $g$ durch Verschiebung um zwei Einheiten in positive $x$ -Richtung hervor. Gib einen möglichen Funktionsterm von $h$ an.

(1 BE)

An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von $10$ Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt $t$ (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung $n(t)= 3t^2-60t+500$ beschrieben werden.

Bestimme die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.

(3 BE)

Ermittle den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft $-30\frac{1}{\text{h}}$ beträgt.

(2 BE)

(20 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Maximalen Definitionsbereich angeben

Der maximale Definitionsbereich enthält alle Zahlen, die für $x$ in den Funktionsterm eingesetzt werden können.
Da der Nenner eines Bruchs nicht null werden darf, besteht der Definitionsbereich also aus allen $x\in \mathbb{R}$ , für die $x-1\neq 0$ ist.

Der maximale Definitionsbereich von $f$ ist also $D= \mathbb{R}\setminus \{1\}.$

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen angeben

Berechne die $x$ -Koordinaten des Schnittpunkts $S_x(x\mid 0)$ mit der $x$ -Achse und die $y$ -Koordinaten des Schnittpunkts $S_y(0\mid y)$ mit der $y$ -Achse, indem du $f(x)=0$ setzt und $f(0)$ berechnest.

Für den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse erhältst du:

$x = -3$

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Für den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&\dfrac{(3+0)^2}{0-1} \\[5pt] &=& -9 \\[5pt] \end{array}$

$G_f$ schneidet die $x$ -Achse im Punkt $S_x(-3\mid 0)$ und die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0\mid -9).$

$\blacktriangleright$ Äquivalenz zeigen

Beginne mit einem der beiden angegebenen Funktionsterme und forme ihn so lange um, bis zu den zweiten erhältst. Beginne beispielsweise mit dem zweiten:

$\begin{array}[t]{rll} &x+7+\dfrac{16}{x-1}\\[5pt] & ...\\[5pt] &= f(x) \\[5pt] \end{array}$

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Die beiden Terme sind also äquivalent.

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Geraden angeben

Betrachte die zweite Darstellung des Funktionsterms. Dieser wurde soweit umgeformt, sodass im Zähler des Bruchs keine Variable mehr steht. Dadurch handelt es sich bei dem Term außerhalb des Bruchs um eine Asymptote.

Die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = x+7$ ist eine schiefe Asymptote von $G_f$ .

$\blacktriangleright$ Nullstelle ermitteln

Für Nullstellen gilt $f(x)=0$ . Setze also gleich und löse die Gleichung nach $x$ :

$x = 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

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Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x = 2\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)$

$\blacktriangleright$ Gleichschenkligkeit nachweisen

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Du sollst nachweisen, dass es sich dabei um ein gleichschenkliges handelt. Überprüfe also, ob das Dreieck zwei gleich lange Seiten besitzt. Gehe dazu wie folgt vor:

Bestimme die Gleichung der Tangente $t$ .
Bestimme die Schnittpunkte der Tangente mit den Koordinatenachsen.
Berechne die Seitenlängen des Dreiecks anhand der Koordinaten der Eckpunkte.

1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen

Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ muss gelten:

$t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ , also $m = f‘(0)$ .
$t$ verläuft durch den Punkt $S(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$

Bilde also die erste Ableitungsfunktion von $f$ , um die Steigung $m$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot\mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1 \\[5pt] f‘(x)&=&2\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] \end{array}$

Also gilt für die Steigung:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& f‘(0) \\[5pt] &=& \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Setze nun $m$ und die Koordinaten von $S$ in die Tangentengleichung ein, um $b$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=&1\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$

Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = x +1$ .

2. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen

Der erste Eckpunkt ist der Koordinatenursprung $O$ . Der zweite Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$ -Achse, also $S(0\mid 1).$ Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$ -Achse. Berechne also die Nullstelle:

$\begin{array}[t]{rll} x+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$

Der dritte Eckpunkt ist also $S_x(-1\mid 0).$

3. Schritt: Seitenlängen berechnen

Es gilt $\overline{OS} = 1$ , $\overline{OS}_x = 1$ und $\overline{S_xS} =\sqrt{2}\neq 1$ . Also ist das Dreieck mit den Eckpunkten $O$ , $S$ und $S_x$ gleichschenklig.

$\blacktriangleright$ Parameterwerte angeben

Dir ist vorgegeben, dass der Funktionsterm, der den Graphen der Abbildung beschreibt, folgende Form haben soll:

$g: \; x\mapsto p+q\cdot \sin\left(\frac{\pi}{r}x\right)$ mit $p,q,r \in\mathbb{N}$

Um die Parameter zu bestimmen, betrachte zwei aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen, also beispielsweise einen Hochpunkt $H(x_H\mid y_H)$ und den darauffolgenden Tiefpunkt $T(x_T\mid y_T)$ .

$q$ beschreibt die Amplitude, also die halbe Differenz der $y$ -Koordinaten zweier aufeinanderfolgender Extrempunkte: $q = \dfrac{\left|y_H-y_T\right|}{2}$
$r$ gibt die halbe Periodenlänge an, also die Differenz der $x$ -Koordinaten zweier aufeinanderfolgender Extrempunkte: $r = \left|x_T-x_H\right|$
$p$ gibt die Verschiebung des Graphen entlang der $y$ -Achse an. $\sin(x)$ schneidet die $y$ -Achse im Ursprung. Lies dazu also die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$ -Achse ab.

Lies also aus der Abbildung die Koordinaten zweier aufeinanderfolgender Extrempunkte ab, beispielsweise $H(2,5\mid 5)$ und $T(7,5\mid 1).$ Die Amplitude ist damit:

$q= \dfrac{5-1}{2} = 2$

Für $r$ ergibt sich:

$r= 7,5-2,5 = 5$

Der Graph von $g$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S(0\mid 3)$ . Also ist $p =3$ .

Es ist $p =3$ , $q = 2$ und $r =5.$

$\blacktriangleright$ Möglichen Funktionsterm angeben

Der Graph von $g$ soll um zwei Einheiten in positive $x$ -Richtung verschoben werden. Die Verschiebung eines Graphen von $f$ um $b$ Einheiten in positive $x$ -Richtung erreichst du, indem du den Funktionsterm zu $f(x-b)$ veränderst.

Für den Funktionsterm von $h$ kannst du also folgendes verwenden:

$h(x) = 3+2\cdot \sin\left(\frac{\pi}{5}(x-2)\right)$

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Ein möglicher Funktionsterm von $h$ lautet $h(x)= 3+2\cdot \sin\left(\frac{\pi}{5}(x-2)\right).$

$\blacktriangleright$ Mittlere Änderungsrate bestimmen

Die Funktion $n$ beschreibt die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft. Die mittlere Änderungsrate, beschreibt, wie schnell die Anzahl der Pollen in den ersten beiden Stunden im Schnitt gestiegen bzw. gefallen ist. Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ kannst du mit dem Differenzenquotienten berechnen.

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Es geht um die ersten beiden Stunden, wobei $t$ in Stunden nach Messbeginn angegeben ist. Setze also $a=0$ und $b = 2$ ein.

$\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = -54$

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In den ersten beiden Stunden der Messung beträgt die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft $-54\,\frac{1}{\text{h}}$ . Die Anzahl der Pollen nimmt also im Schnitt um ca. $54$ pro Stunde ab.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt ermitteln

Gesucht ist der Zeitpunkt nach Messbeginn, zu dem die momentane Änderungsrate der Pollenanzahl in einem Kubikmeter Luft $-30\,\frac{1}{\text{h}}$ beträgt. Da die momentane Änderungsrate durch die erste Ableitungsfunktion $n‘$ von $n$ beschrieben wird, ist also $t$ gesucht mit $n‘(t)=-30$ .
Bilde also die erste Ableitung von $n$ und setze gleich.

$\begin{array}[t]{rll} n(t)&=&3t^2-60t+500 \\[10pt] n‘(t)&=& 3\cdot 2\cdot t -60 \\[5pt] &=& 6t-60 \end{array}$

Setze gleich und löse nach $t$ :

$t = 5$

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$5$ Stunden nach Beginn der Messung beträgt die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft $-30\,\frac{1}{\text{h}}.$