Teil B

Gegeben ist die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $f:x\mapsto 2\cdot \left(\left(\ln x \right)^2-1 \right).$ Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f.$

Abb. 1

Zeige, dass $x=\mathrm e^{-1}$ und $x=\mathrm e$ die einzigen Nullstellen von $f$ sind, und berechne die Koordinaten des Tiefpunkts $T$ von $G_f.$

(zur Kontrolle: $\(f$ )

(5 BE)

Zeige, dass $G_f$ genau einen Wendepunkt $W$ besitzt, und bestimme dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W.$

(zur Kontrolle: $x$ -Koordinate von $W: \; \mathrm e$ )

(6 BE)

Begründe, dass $\(\lim\limits_{x\to 0}f$ und $\(\lim\limits_{x\to +\infty}f$ gilt. Gib $\(f$ und $\(f$ auf eine Dezimale genau an und zeichne den Graphen der Ableitungsfunktion $\(f$ unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

(6 BE)

Begründe unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte $c\in ]0;6]$ gibt, für die gilt: $\displaystyle\int_{\mathrm e^{-1}}^{c}f(x)\;\mathrm dx = 0.$

(3 BE)

Die gebrochen-rationale Funktion $h:x\mapsto 1,5x-4,5+\frac{1}{x}$ mit $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für $f$ dar.

Gib die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von $h$ an.

(2 BE)

Im IV. Quadranten schließt $G_f$ zusammen mit der $x$ -Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x=1$ und $x=2$ ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa $1,623$ beträgt. Ermittle die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion $h$ als Näherung für die Funktion $f$ verwendet wird.

(5 BE)

Durch Spiegelung von $G_f$ an der Geraden $x=4$ entsteht der Graph einer in $]-\infty;8[$ definierten Funktion $g.$ Dieser Graph wird mit $G_g$ bezeichnet.

Zeichne $G_g$ in Abbildung 1 ein.

(2 BE)

Die beschriebene Spiegelung von $G_f$ an der Geraden $x = 4$ kann durch eine Spiegelung von $G_f$ an der $y$ -Achse mit einer anschließenden Verschiebung ersetzt werden. Beschreibe diese Verschiebung und gib $a,b\in \mathbb{R}$ an, sodass $g(x) = f(ax + b)$ für $x\in\;]-\infty;8[$ gilt.

(3 BE)

Im Folgenden wird die "w-förmige" Kurve $k$ betrachtet, die sich aus dem auf $0,2 \leq x \leq 4$ beschränkten Teil von $G_f$ und dem auf $4\lt x \leq 7,8$ beschränkten Teil von $\mathrm{G}_{\mathrm{g}}$ zusammensetzt. Die Kurve $k$ wird um 12 Einheiten in negative $z$ -Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein 12 Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorderund Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Abb. 2

Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechne die Größe des Winkels, den die linke und die rechte Tunnelwand miteinander einschließen.

(3 BE)

Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt.

Berechne die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.

(2 BE)

Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche $G$ und Höhe $h$ berechnen. Erläutere, dass der Term $24\cdot \displaystyle\int_{0,2}^{4}\left( f(0,2)-f(x)\right)\;\mathrm dx$ das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.

(3 BE)

(40 BE)

Nullstellen nachweisen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] 2\cdot \left( \left(\ln x \right)^2-1 \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \left(\ln x \right)^2-1&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] \left(\ln x \right)^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \ln x&=& \pm 1 \\[5pt] x_1&=& \mathrm e \\[5pt] x_2&=& \mathrm e^{- 1} \end{array}$

Die einzigen Nullstellen von $f$ sind somit $x_1=\mathrm e$ und $x_2= \mathrm e^{-1}.$

Koordinaten des Tiefpunkts berechnen

Für die ersten beiden Ableitungen von $f$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Der Graph $G_f$ besitzt somit bei $x=1$ den gesuchten Tiefpunkt. Einsetzen in $f$ liefert für die $y$ -Koordinate:

$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& 2\cdot \left( \left(\ln 1 \right)^2-1 \right) \\[5pt] &=& -2 \end{array}$

Die Koordinaten des Tiefpunkts $T$ von $G_f$ lauten somit $T(1\mid -2).$

Koordinaten des Wendepunkts bestimmen

Für die dritte Ableitung von $f$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Wendestellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Bei $x= \mathrm e$ besitzt $G_f$ somit seinen einzigen Wendepunkt $W.$
Da $x=\mathrm e$ eine Nullstelle von $f$ ist, lauten die Koordinaten des Wendepunkts $W(\mathrm e\mid 0).$

Tangentengleichung bestimmen

Die Steigung $m$ der gesuchten Tangente enstpricht der Steigung von $G_f$ im Punkt $W(\mathrm e\mid 0):$

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Einsetzen der Koordinaten von $W$ in $t:y=\frac{4}{\mathrm e}x+b$ liefert für $b:$

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \dfrac{4}{\mathrm e}\cdot \mathrm e +b \\[5pt] 0&=& 4 +b &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] -4&=& b \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente $t$ an $G_f$ im Punkt $W$ ist somit gegeben durch $t:y =\frac{4}{\mathrm e}\cdot x -4.$

Grenzwerte begründen

Für $x\to 0$ gilt $\ln x \to -\infty.$ Da im Nenner des anderen Faktoren ein $x$ steht, geht dieser gegen $+\infty.$ Somit gilt insgesamt $\(\lim\limits_{x\to 0}f$

Für $x\to +\infty$ gilt $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x^r}=0.$ Somit folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( \lim\limits_{x\to+\infty}f$

Ableitungswerte bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f‘(0,5)&=&\dfrac{4}{0,5}\cdot(\ln 0,5) \\[5pt] &\approx& -5,5 \\[10pt] f‘(10)&=& \dfrac{4}{10}\cdot(\ln 10) \\[5pt] &\approx& 0,9 \end{array}$

Graphen zeichnen

Einer der beiden Werte ist $c= \mathrm e^{-1}.$ In dem Fall stimmen die obere und untere Integrationsgrenze überein, sodass das Integral den Wert Null hat.
Aus Abbildung 1 wird deutlich, dass die von $G_f$ mit der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche zwischen $\mathrm e$ und $6$ größer ist, als die zwischen $\mathrm e^{-1}$ und $\mathrm e.$ Somit existiert ein Wert $\mathrm e\lt c \lt 6,$ sodass der Inhalt der Flächen, die der Graph zwischen $\mathrm e^{-1}$ und $\mathrm e$ unterhalb und zwischen $\mathrm e$ und $c$ überhalb der $x$ -Achse einschließt, gleich groß sind. Auch für diesen Wert $c$ liefert das Integral somit den Wert Null.

$a_1: x = 0$

$a_2:y = 1,5x-4,5$

Für den Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $x$ -Achse und den beiden Geraden zu $x=1$ und $x=2$ einschließt gilt:

Rechenweg anzeigen

$A_h \approx 1,557$

Für die gesuchte prozentuale Abweichung folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1,623-1,557}{1,623}&\approx & 0,0407 \\[5pt] &=& 4,07\,\% \end{array}$

Wird der Graph von $f$ an der $y$ -Achse gespiegelt, ist die Spiegelachse $x=0.$ Für die zugehörige Funktion $f_1$ gilt dann $f_1(-4)=f(4).$ Bei der Spiegelung an $x=4$ gilt allerdings $g(4)=f(4).$ Somit muss der Graph nach der Spiegelung an der $y$ -Achse um acht Einheiten in positive $x$ -Richtung verschoben werden.
Es gilt $f_1(x)=f(-x).$ Die anschließende Verschiebung liefert:

$g(x)= f(-(x-8))$ $= f(-x+8)$

Somit gilt $a=-1$ und $b=8.$

Der Winkel, den die beiden Tunnelwände miteinander einschließen, entspricht dem Winkel, den die Graphen von $f$ und $g$ an ihrer Schnittstelle $x=4$ miteinander einschließen. Für die Ableitung von $g$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( g$

Für die Steigungen der Graphen von $f$ und $g$ an der Stelle $x=4$ folgt somit:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Die Formel für den Schnittwinkel zweier Graphen liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha) &=& \dfrac{g$

Die beiden Tunnelwände schließen somit einen Winkel der Größe ca. $71,6^{\circ}$ ein.

Der tiefste Punkt des Wasserbeckens im Modell wird durch den Tiefpunkt von $G_f$ bzw. $G_g$ beschrieben. Für die Höhe der Wasseroberfläche folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f(0,2)&=& 2\cdot \left(\left(\ln 0,2 \right)^2 -1\right) \\[5pt] &\approx& 3,18 \\[5pt] \end{array}$

Mit Hilfe der Koordinaten des Tiefpunkts von $G_f$ aus Aufgabenteil 1a) folgt, dass die größtmögliche Wassertiefe $3,18- (-2) = 5,18\,[\text{m}]$ beträgt.

Das Volumen eines Prismas wird durch $V= G\cdot h$ berechnet.In diesem Fall gilt $h= 12$ und $G$ ist die Fläche, die die Kurve $k$ zusammen mit der Geraden $y=f(0,2)$ einschließt. Da die Fläche achsensymmetrisch zur Gerade $x=4$ ist, genügt es den Flächeninhalt der linke Hälfte mit Hilfe eines Integrals über die Differenzenfunktion $f(0,2) -f(x)$ zu bestimmen und den erhaltenen Wert zu verdoppeln. Mit den Integrationsgrenzen $0,2$ und $4$ folgt somit für das Volumen:

Rechenweg anzeigen

$V = 24\cdot \displaystyle\int_{0,2}^{4}(f(0,2)-f(x))\;\mathrm dx$