Analysis Prüfungsteil A

Aufgabengruppe 1

1 Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto\left(x^{3}-8\right)\cdot\left(2+\ln x\right)$ mit maximalem Definitionsbereich $D$ .

a) Gib $D$ an.

(1P)

b) Bestimme die Nullstellen von $f$ .

(2P)

Beispiele

Folgende sind Zufallsexperimente:

Einmaliges oder Mehrmaliges Werfen einer Münze
Einmaliges oder Mehrfaches Drehen eines Glücksrads
Einmaliges oder Mehrfaches Werfen eines Würfels

Einstufiges Zufallsexperiment

Zufallsexperimente können mehrere Stufen aufweisen. In aller Regel sind diese Stufen die einzelnen Durchführungen. Dabei sind die einzelnen Stufen für sich genommen auch wieder Zufallsexperimente.

Berechnen der Grenze

Da das Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass eine Stichprobe innerhalb des Ablehnungsbereichs liegt, obwohl die Nullhypothese gilt, muss bei einem linksseitigen Test folgende Gleichung gelten:

$P(X \leq k - 1) \approx \alpha$

Beispiel

Vorgegeben sind: $H_0: p \leq 0,5$ , $\alpha = 5\,\%$ und der Stichprobenumfang $n = 20$ . Anhand der Hypothese $H_0$ erkennst du, dass hier ein rechtsseitiger Test durchgeführt wird.

Aufgabengruppe 1

$\blacktriangleright$ Maximalen Definitionsbereich angeben

Gegeben ist Funktion $f$ , die wie folgt definiert ist:

$f:\;x \mapsto \left(x^3-8\right) \cdot \left(2 + \ln(x)\right)$

Deine Aufgabe ist es, den maximalen Definitionsbereich $D$ der Funktion $f$ anzugeben. Betrachte dazu den Funktionsterm von $f$ . Beachte bei der Angabe des Definitionsbereichs $D$ , dass der natürliche Logarithmus nur für Werte echt größer Null (>0) definiert ist.

Der Definitionsbereich von $f$ lautet: $D = \left\{x\in \mathbb{R}\;|\;x > 0\right\}$ bzw. $D = \mathbb{R}^+$

$\blacktriangleright$ Nullstellen bestimmen

Setze den Funktionsterm von $f$ mit Null gleich und löse nach $x$ auf, um die Nullstellen zu bestimmen.

Hieraus ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0\\[5pt] 0&=&\left(x^3-8\right)\cdot \left(2 + \ln(x)\right)\\[5pt] \end{array}$

Beim Lösen dieser Gleichung bietet es sich an, den Satz des Nullprodukts anzuwenden. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann Null wird, wenn einer seiner Faktoren Null wird. Beachte also die Klammern im Term getrennt:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&x^3-8 &\quad \scriptsize \mid\; + 8\\[5pt] 8&=&x^3 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{}\\[5pt] 2&=&x_1 \end{array}$

Die erste Nullstelle von $f$ liegt bei $x_1 = 2$ .

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2 + \ln(x) & \quad \scriptsize \mid\; - 2\\[5pt] -2&=& \ln(x) & \quad \scriptsize \mid\; \mathrm e^{()}\\[5pt] \mathrm e^{-2}&=&x_2\\[5pt] \end{array}$

Die Nullstellen von des Graphen von $f$ liegen bei $x_1 = 2$ und $x_2 = \mathrm e^{-2}$ .

$\blacktriangleright$ Angeben, um welche Funktion es sich handelt

Hier hast du die ganzrationalen Funktionen $f$ , $g$ und $h$ gegeben. Deine Aufgabe ist es, eine dieser Funktionen dem gegeben Graphen zuzuordnen. Beachte dabei die folgenden Punkte:

Identifiziere den Grad der Funktionen und folgere was sich daraus für die Extrempunkt der Graphen ergibt

Betrachte die gegebenen Funktionsterme und versuche Aussagen über die Funktionswerte der Funktionen zu treffen

Gehe nach dem Ausschlussverfahren vor

Funktion $f$

Bei Funktion $f$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Der im Schaubild dargestellte Graph besitzt offensichtlich 2 Extrempunkte. Da eine Funktion zweiten Grades genau einen Extrempunkt besitzt, kommt $f$ hier nicht in Frage.

Funktion $h$

Funktion $h$ ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse des Graphen von $h$ stimmt offensichtlich mit dem gegeben Graphen überein. Betrachtest du jedoch den Funktionsterm von $h$ genauer, so kannst du erkennen, dass diese nur gerade Exponenten besitzt. Die Funktionswerte von $h$ sind folglich stets positiv. Da der dargestellte Graph sowohl über, als auch unter der $x$ -Achse verläuft, kommt die Funktion $h$ hier nicht in Frage.

Der im Schaubild dargestellte Graph gehört zur Funktion $g$ .

$\blacktriangleright$ Integral berechnen

Du weißt, dass $h‘$ die erste Ableitungsfunktion von $h$ ist und sollst folgendes Integral berechnen:

$\displaystyle\int_{0}^{1} h‘(x)\;\mathrm dx$

Beachte hierbei, dass $h$ eine Stammfunktion von $h‘$ darstellt.

Berechne wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1} h‘(x)\;\mathrm dx&=& \left[h(x)\right]_0^1 = h(1) - h(0)\\[5pt] &=& 1^4 + 1^2 + 1 - (0 + 0 + 1) = 3 - 1 = 2\\[5pt] \end{array}$

Es gilt: $\displaystyle\int_{0}^{1} h ‘(x)\,\mathrm dx = 2$ .

$\blacktriangleright$ Bestimme einen positiven Wert für $\boldsymbol{a}$

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte trigonometrische Funktion $f$ , mit:

$f:\; x \mapsto \sin(a\cdot x)$

Deine Aufgabe ist es nun, einen positiven Wert für Parameter $a$ so anzugeben, dass $f$ bei $x = \frac{\pi}{6}$ eine Nullstelle besitzt. Willst du diese Aufgabe lösen, so beachte, dass $a$ die Periode der Sinusfunktion bestimmt. Eine nicht in Richtung der $x$ -Achse gestreckte oder gestauchte Sinusfunktion besitzt eine Periodenlänge von $2\pi$ .
Ein möglicher Lösungsweg wäre hier, die Periodelänge mit $a$ so anzupassen, dass diese $2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ beträgt, womit $f$ eine Nullstelle bei $x = \frac{\pi}{6}$ besitzen würde.
Die Periode ist dabei wie folgt definiert:

$a = \dfrac{2 \cdot \pi}{b}$

$b$ gibt dabei die Periodenlänge an.

Hier ergibt sich für $a$ also:

$\begin{array}[t]{rll} a&=& \dfrac{2 \cdot \pi}{\frac{\pi}{3}}\\[5pt] a&=& \dfrac{3 \cdot 2 \cdot \pi}{\pi}\\[5pt] a&=& 6\\[5pt] \end{array}$

Ein möglicher positiver Wert für $a$ ist also $a = 6$ .

$\blacktriangleright$ Parameter $\boldsymbol{b}$ ermitteln

Gegeben ist dir nur die Funktion $g$ , welche in Abhängigkeit von $b$ definiert ist:

$g:\;x \mapsto\sqrt{x^2 - b}$

Du sollst nun $b$ so bestimmen, dass die Funktion $g$ einen maximalen Definitionsbereich von $D = \mathbb{R} \backslash ]-2;2[$ besitzt. Das heißt, dass jeder Wert für $x$ , der nicht im Intervall $]-2;2[$ liegt, in $g$ eingesetzt werden darf.
Beachte dabei, dass die Wurzel nur für Werte größer gleich Null definiert ist und, dass jeder Wert von $x$ hier quadriert wird.

Quadrierst du hier die Grenzen des Definitionsbereichs $x_1 = -2$ oder $x_2 = 2$ , so ergibt sich in beiden Fällen 4. Das heißt, der Wert für $b$ muss $b = 4$ sein, damit $g$ einen maximalen Definitionsbereich von $D = \mathbb{R} \backslash ]-2;2[$ besitzt.

$\blacktriangleright$ Wertebereich der Funktion $\boldsymbol{h}$ erklären

Zuletzt sollst du begründen, warum die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ , mit

$h:\;x \mapsto 4 - \mathrm{e}^x$

den Wertebereich $W =]-\infty;4[$ besitzt. Willst du dies begründen, so betrachte hier das Grenzwertverhalten von $h$ und argumentiere mit den Eigenschaften der Exponentialfunktion.

Da die Exponentialfunktion für keinen Wert von $x$ einen Wert kleiner gleich Null annimmt und hier von 4 subtrahiert wird, ergibt sich mit 4 die obere Grenze des Wertebereichs. Der Funktionswert $4$ ist hierbei nicht mehr im Intervall enthalten, da $e^x$ stets ungleich Null ist.
Da die Exponentialfunktion für $x \to \infty$ gegen Unendlich konvergiert und von 4 subtrahiert wird, ergibt sich mit $-\infty$ die untere Grenze des Wertebereichs.

$\blacktriangleright$ Begründen der Startwerte für das Newton-Verfahren

Zu dem in der Aufgabenstellung gegebenen Graphen sollst du nun begründen, warum weder die $x$ -Koordinate des Hochpunkts $H$ noch die $x$ -Koordinate des Tiefpunkts $T$ als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann, um einen Näherungswert für die Nullstelle $a$ zu bestimmen.
Beachte dabei, dass die grundlegende Idee des Verfahrens ist, die Funktion in einem Ausgangspunkt zu linearisieren, d.h. mit Hilfe ihrer Tangente einen Näherungswert für die gesuchte Nullstelle zu bestimmen. Weiterhin wird dann die Nullstelle der jeweiligen Tangente als Ausgangswert für weitere Iterationsschritte verwendet.

In den Extrempunkten $H$ und $T$ besitzt der Graph der Funktion $g$ horizontale bzw. zur $x$ -Achse parallele Tangenten. Diese besitzen also keine Nullstellen, weswegen keine weiteren Iterationsschritte nach dem Newton-Verfahren durchgeführt werden können.

$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass der Wendepunkt $\boldsymbol{W}$ auf der Geraden liegt

Deine Aufgabe ist es hier zu zeigen, dass der Wendepunkt $W$ des Graphen von $f$ , mit

$f(x) = x^3 - 6 \cdot x^2 + 11 \cdot x - 6$

auf der Geraden mit der Gleichung $y = x - 2$ liegt. Bestimme dazu zunächst den Wendepunkt des Graphen von $f$ . Beachte dabei, dass an einer Wendestelle $x_W$ von $f$ folgende zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:

Notwendige Bedingung: $f‘‘(x_W) = 0$

Hinreichende Bedingung: $f‘‘‘(x_W) \neq 0$

Mit der ermittelten Wendestelle von $f$ kannst du dann die vollständigen Koordinaten von $W$ bestimmen. Führe zuletzt eine Punktprobe mit der gegebenen Gerade und $W$ durch, um zu zeigen, dass dieser auf der Geraden liegt.

1. Schritt: Bestimmen der benötigten Ableitungsfunktionen von $f$

Mit Hilfe der Faktorregel ergibt sich hier:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x^3 - 6 \cdot x^2 + 11 \cdot x - 6\\[5pt] f‘(x)&=&3 \cdot x^2 - 12 \cdot x + 11\\[5pt] f‘‘(x)&=&6 \cdot x - 12\\[5pt] f‘‘‘(x)&=&6\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Bestimmen des Wendepunkts des Graphen von $f$

Das Anwenden der notwendigen Bedingung ergibt hier:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x)&=&0\\[5pt] 6 \cdot x - 12&=&0 & \quad \scriptsize \mid + 12\\ 6 \cdot x&=&12\cdot x& \quad \scriptsize \mid : 6\\ x_W&=&2&\\ \end{array}$

Da $f‘‘‘$ mit $f‘‘‘(x) = 6$ für jeden Wert von $x$ ungleich Null ist, handelt es sich bei $x_W = 2$ um eine Wendstelle von $f$ . Durch Einsetzen in $f(x)$ erhältst du nun die vollständigen Koordinaten von $W$ :

$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=&2^3 - 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0\\[5pt] \end{array}$

Der Graph von $f$ besitzt einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W ( 2 \mid 0)$ .

3. Schritt: Zeigen, dass $W$ auf der Geraden liegt

Das Einsetzen der Koordinaten von $W$ in $y = x - 2$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 2 - 2 = 0\\[5pt] \end{array}$

Da es sich oben mit $0 = 0$ um eine wahre Aussage handelt, hast du gezeigt, dass $W$ auf der Geraden mit der Geradengleichung $y = x - 2$ liegt.

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Gleichung der Funktion $\boldsymbol{h}$

Der Aufgabenstellung kannst du nun entnehmen, dass der Graph von $f$ so verschoben wird, dass der Punkt $(2 \mid 0)$ nach der Verschiebung die Koordinaten $(3 \mid 2)$ besitzt. Deine Aufgabe ist es dabei, den Funktionsterm nach der Verschiebung dieser Funktion anzugeben. Der Funktionsterm gehört dann zur Funktion $h$ .
Anhand der Koordinaten der Punkte kannst du erkennen, dass der Graph von $h$ sowohl in $x-$ als auch in $y-$ Richtung verschoben wird.

Wird ein Graph bspw. um $a$ in Richtung der $y$ -Achse verschoben, so gilt für den zugehörigen Funktionsterm $g(x)$ :

$g(x) + a$

Wird ein Graph wiederum um $b$ in Richtung der $x$ -Achse verschoben, so gilt für den zugehörigen Funktionsterm $g(x)$ :

$g(x - b)$

Anhand der Punkte kannst du erkennen, dass der Graph von $f$ um 1 Einheit in Richtung der positiven $x$ - und um 2 Einheiten in Richtung der positiven $y$ -Achse verschoben wurde. Der Funktionsterm von $h$ ergibt sich also zu:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& f(x - 1) + 2\\[5pt] h(x)&=& (x-1)^3-6\cdot (x - 1)^2 + 11 \cdot (x-1) - 6 + 2\\[5pt] h(x)&=& (x-1)^3-6\cdot (x - 1)^2 + 11 \cdot x -11 - 6 + 2\\[5pt] h(x)&=& (x-1)^3-6\cdot (x - 1)^2 + 11 \cdot x - 15\\[5pt] \end{array}$

Der Funktionsterm von $h$ ergibt sich also zu: $h(x) = (x-1)^3-6\cdot (x - 1)^2 + 11 \cdot x - 15$ .

Aufgabengruppe 2

$\blacktriangleright$ Werte- und Definitionsbereich angeben

Hier hast du Funktion $g$ mit

$g : x \mapsto \ln(2 \cdot x + 3)$

gegeben und sollst den maximalen Werte- und Definitionsbereich angeben. Betrachte bei Angabe des Wertebereichs $W$ das Grenzwertverhalten des natürlichen Logarithmus.
Bei Angabe des maximalen Definitionsbereichs $D$ musst du daran denken, dass der natürliche Logarithmus nur für Werte echt größer Null ( $>0$ ) definiert ist.

Wertebereich $W$

Du weißt, dass der Graph des natürliche Logarithmus für $x \to 0$ gegen $- \infty$ strebt. Weiterhin ist dir bekannt, dass der Graph natürliche Logarithmus für $x \to \infty$ gegen $\infty$ strebt.
Der Wertebereich der Funktion $g$ ist also $W = ]-\infty;\infty[$

Definitionsbereich $D$

Willst du hier den maximalen Definitionsbereich der Funktion $g$ bestimmen, so musst du untersuchen, für welche Werte von $x$ der Term im natürlichen Logarithmus größer Null ist. Berechne das wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot x + 3&>& 0&\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 2 \cdot x &>& -3&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x &>& -\dfrac{3}{2}&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \end{array}$

Der maximale Definitionsbereich von $g$ ist: $D = ]-\frac{3}{2};\infty[$ .

$\blacktriangleright$ Ermitteln der Gleichung der Tangente an $\boldsymbol{G_g}$

Hier sollst du nun die Gleichung der Tangenten an $G_g$ im Schnittpunkt von $G_g$ mit der $x$ -Achse bestimmen. Beachte dabei, dass die allgemeine Tangentengleichung hier wie folgt definiert ist:

$t(x) = g‘(x_T) \cdot (x - x_T) + g(x_T)$

Dabei ist $x_T$ die Stelle, an welcher die Tangente am Graphen der Funktion $g$ anliegt. Diese Stelle entspricht gerade der Nullstelle von $g$ , die du im Vorfeld bereits bestimmen musstest. $g‘(x_T)$ entspricht wiederum der Steigung des Graphen von $g$ an der Stelle, an welcher die Tangente $t$ angelegt wird. Diese Steigung bestimmst du mit Hilfe der ersten Ableitungsfunktion von $g$ .

1. Schritt: Bestimmen der Nullstelle von $\boldsymbol{g}$

Setze den Funktionsterm von $g$ mit Null gleich und löse wie folgt nach $x$ auf:

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 0\\[5pt] 0&=&\ln(2\cdot x + 3)&\quad \scriptsize \mid\;\mathrm e^{} \\[5pt] \mathrm e^0&=&2\cdot x + 3&\quad \scriptsize \mid\;- 3 \\[5pt] 1 - 3&=&2\cdot x&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] -1&=&x \end{array}$

Die Nullstelle von $g$ ist also: $x_T = -1$ .

2. Schritt: Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion von $\boldsymbol{g}$

Mit Hilfe der Kettenregel ergibt sich hier:

$\begin{array}[t]{rll} g‘(x)&=& 2 \cdot \dfrac{1}{2 \cdot x + 3} = \dfrac{2}{2 \cdot x + 3} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Berechnen der Tangentengleichung

Ermittle nun durch Einsetzen in die oben gegebene Formel die Gleichung der Tangenten $t$ :

$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=&g‘(x_T)\cdot (x - x_T) + g(x_T)\\[5pt] t(x)&=&g‘(-1)\cdot (x -(-1)) + g(-1)\\[5pt] t(x)&=& \dfrac{2}{2 \cdot (-1) + 3}\cdot (x -(-1)) + \ln(2 \cdot (-1) + 3)\\[5pt] t(x)&=& 2 \cdot (x +1) + \ln(1)\\[5pt] t(x)&=&2 \cdot x + 2\\[5pt] \end{array}$

Die Gleichung der gesuchten Tangenten ist: $t(x) = 2 \cdot x + 2$ .

$\blacktriangleright$ Nachweisen, dass der Wendepunkt $\boldsymbol{W}$ auf der Geraden liegt

Deine Aufgabe ist es hier, zu zeigen, dass der Wendepunkt $W$ des Graphen von $f$ , mit

$f(x) = x^3 - 6 \cdot x^2 + 11 \cdot x - 6$

Notwendige Bedingung: $f‘‘(x_W) = 0$

Hinreichende Bedingung: $f‘‘‘(x_W) \neq 0$

1. Schritt: Bestimmen der benötigten Ableitungsfunktionen von $\boldsymbol{f}$

Mit Hilfe der Faktorregel ergibt sich hier:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&x^3 - 6 \cdot x^2 + 11 \cdot x - 6\\[5pt] f‘(x)&=&3 \cdot x^2 - 12 \cdot x + 11\\[5pt] f‘‘(x)&=&6 \cdot x - 12\\[5pt] f‘‘‘(x)&=&6\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Bestimmen des Wendepunkts des Graphen von $\boldsymbol{f}$

Das Anwenden der notwendigen Bedingung ergibt hier:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x)&=&0\\[5pt] 0&=&6 \cdot x - 12& \quad \scriptsize \mid + 12\\ 12&=&6 \cdot x& \quad \scriptsize \mid : 6\\ 2&=&x_W&\\ \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=&2^3 - 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0\\[5pt] \end{array}$

Der Graph von $f$ besitzt einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W ( 2 \mid 0)$ .

3. Schritt: Zeigen, dass $W$ auf der Geraden liegt

Das Einsetzen der Koordinaten von $W$ in $y = x - 2$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 2 - 2 = 0\\[5pt] \end{array}$

Da es sich oben mit $0 = 0$ um eine wahre Aussage handelt, hast du gezeigt, dass $W$ auf der Geraden mit der Geradengleichung $y = x - 2$ liegt.

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Gleichung der Funktion $\boldsymbol{h}$

Wird ein Graph bspw. um $a$ in Richtung der $y$ -Achse verschoben, so gilt für den zugehörigen Funktionsterm $g(x)$ :

$g(x) + a$

Wird ein Graph wiederum um $b$ in Richtung der $y$ -Achse verschoben, so gilt für den zugehörigen Funktionsterm $g(x)$ :

$g(x - b)$

Der Funktionsterm von $h$ ergibt sich also zu: $h(x) = (x-1)^3-6\cdot (x - 1)^2 + 11 \cdot x - 15$ .

$\blacktriangleright$ Funktion mit maximaler Definitionsmenge $]-\infty;5]$

Hier ist nun eine Funktion $g$ gesucht, die eine maximale Definitionsmenge $D = ]-\infty;5]$ besitzt. Du suchst also eine Funktion, die von $x \to -\infty$ bis $x = 5$ definiert ist.
Beim Lösen dieser Aufgabe gibt es mehrere Möglichkeiten. Es bietet sich besonders an, mit Funktionen zu arbeiten, die von vornherein Intervalle besitzen, auf denen sie nicht definiert sind. Beispiele dafür wären der natürliche Logarithmus oder eine Wurzelfunktion. Der Logarithmus ist hier allerdings nicht geeignet, da der Definitionsbereich ein bei $5$ abgeschlossenes Intervall sein soll.
Passe die Funktion hier dann so an, dass sie die gegebenen Eigenschaften erfüllt.

Definiert man $g$ bspw. als Wurzelfunktion, so würde folgende Funktion den gegeben Definitionsbereich besitzen:

$g(x) = \sqrt{5-x}$

$\blacktriangleright$ Bestimmen des gesuchten Funktionsterms

Hier sollst du zur Funktion $k$ den Funktionsterm angeben. Der Graph der Funktion $k$ hat bei $x = 2$ eine Nullstelle und bei $x = -3$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Des weiteren hat der Graph von $k$ die Gerade mit der Gleichung $y = 1$ als waagrechte Asymptote.
Da der Graph eine Polstelle besitzen soll, bietet sich hier eine gebrochenrationale Funktion an. Passe den Nenner dieser Funktion dann so an, dass der Graph von $k$ bei $x = -3$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel besitzt. Den Vorzeichenwechsel kannst du hier durch Quadrieren vermeiden.
Die waagrechte Asymptote bei $y = 1$ kannst du dann über eine Verschiebung des Graphen von $k$ in Richtung der positiven $y$ -Achse berücksichtigen. Dass der Graph von $k$ eine Nullstelle bei $x = 2$ besitzt, erreichst du über eine Verschiebung in Richtung der $x$ -Achse. Stelle hierzu eine entsprechende Gleichung auf.

1. Schritt: Polstelle bei $\boldsymbol{x=-3}$ modellieren

Bei einer gebrochenrationalen Funktion mit Polstelle bei $x = -3$ muss der Nenner für $x = -3$ den Wert Null annehmen. Um den Vorzeichenwechsel zu vermeiden, kannst du den Wert im Nenner quadrieren, wie unten zu sehen ist:

$k(x) = \dfrac{1}{(x+3)^2}$

2. Schritt: Waagrechte Asymptote bei $y = 1$

Betrachtest du nun den Funktionsterm von $k$ näher, so kannst du erkennen, dass der Graph von $k$ für $x \to \pm \infty$ gegen 0 strebt. Verschiebe den Graphen von $k$ um eine Einheit in Richtung der positiven $y$ -Achse, damit der Graph von $k$ eine waagerechte Asymptote bei $y = 1$ besitzt:

$k(x) = \dfrac{1}{(x+3)^2}+1$

3. Schritt: Nullstelle bei $x = 2$

Damit der Graph von $k$ eine Nullstelle bei $x = -2$ besitzt, musst du den Graphen von $k$ in Richtung der $x$ -Achse verschieben. Bezeichne diese Verschiebung mit $a$ und löse wie folgt über eine Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} k(x) &=& \dfrac{x - a}{(x+3)^2} + 1\\[5pt] 0 &=& \dfrac{2 - a}{(2+3)^2} + 1&\scriptsize\quad \mid \; -1\\[5pt] -1 &=& \dfrac{2 - a}{(5)^2}&\scriptsize\quad \mid \; \cdot 25\\[5pt] -25 &=& 2-a&\scriptsize\quad \mid \;- 2\\[5pt] -27 &=& -a&\scriptsize\quad \mid \;\cdot (-1) \\[5pt] 27 &=& a\\[5pt] \end{array}$

Der Funktionsterm einer Funktion $k$ ,die die gegebenen Bedingungen erfüllt lautet also: $k(x) = \dfrac{x - 27}{(x+3)^2} + 1$ .

$\blacktriangleright$ Bestimmen des gesuchten Wertes für $a$

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ , mit

$f_a:\;x \mapsto x \cdot \mathrm e^{a \cdot x}$

Deine Aufgabe ist es nun, den Wert für $a$ zu ermitteln, für welchen die erste Ableitung von $f_a$ an der Stelle $x = 2$ den Wert $0$ besitzt. Gehe dazu so vor:

Bestimme die erste Ableitungsfunktion von $f_a$ unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel

Setze $f_a(x = 2) = 0$ und löse nach $a$ auf

1. Schritt: Bestimmen der ersten Ableitungsfunktion $f_a‘$

Mit Produkt- und Kettenregel ergibt sich die erste Ableitungsfunktion von $f_a$ zu:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& x \cdot \mathrm e^{a \cdot x}\\[5pt] f_a‘(x)&=& \mathrm e^{a \cdot x} + x \cdot a \cdot \mathrm e^{a \cdot x}\\[5pt] f_a‘(x)&=& \mathrm e^{a \cdot x} \cdot \left(1 + x \cdot a \right)\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Bestimmen des Parameters $a$

Setze nun $f(x = 2) = 0$ und löse wie folgt nach $a$ :

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘(x = 2)&=& 0 \\[5pt] \mathrm e^{a \cdot 2} \cdot \left(1 + 2 \cdot a \right) &=& 0\\[5pt] \end{array}$

Nach dem Satz des Nullprodukts kann $\mathrm e^{a \cdot 2}$ in der Gleichung von oben vernachlässigt werden, da die Exponentialfunktion niemals Werte kleiner oder gleich Null annimmt.

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 1 + 2 \cdot a & \scriptsize \mid\;- 1\\[5pt] -1 &=& 2 \cdot a & \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] -\dfrac{1}{2} &=& a\\[5pt] \end{array}$

Der gesuchte Parameterwert für $a$ ist also $a = -\dfrac{1}{2}$ .