Teil A

Gegeben ist die Zufallsgröße $X$ mit der Wertemenge $\{0;1;2;3;4;5\}.$ Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ist symmetrisch, d.h. es gilt $P(X=0)=P(X=5),$ $P(X=1)=P(X=4)$ und $P(X=2)=P(X=3).$

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitswerte $P(X\leq k)$ für $k\in \{0;1;2\}.$

$\color{#ffff}{k}$	$\color{#ffff}{P(X\leq k)}$
$0$	$0,05$
$1$	$0,20$
$2$	$0,50$
$3$
$4$
$5$

Trage die fehlenden Werte in die Tabelle ein.

(2 BE)

Begründe, dass $X$ nicht binomialverteilt ist.

(3 BE)

(5 BE)

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Rechenweg anzeigen

$P(X\leq 3) = 0,8$

$\begin{array}[t]{rll} P(X\leq 4) &=& 1- P(X =5) \\[5pt] &=& 1- P(X=0) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 0) \\[5pt] &=& 1-0,05 \\[5pt] &=& 0,95 \\[5pt] \end{array}$

Die vollständige Tabelle ist somit wie folgt gegeben:

$\color{#ffff}{k}$	$\color{#ffff}{P(X\leq k)}$
$0$	$0,05$
$1$	$0,20$
$2$	$0,50$
$3$	$0,80$
$4$	$0,950$
$5$	$1$

Für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße $Y$ gilt $\text{E}(Y)= n \cdot p.$

Für $X$ gilt $n=5$ und aufgrund der Symmetrie $\text{E}(X)=2,5.$ Damit würde für die Trefferwahrscheinlichkeit folgen:

$\begin{array}[t]{rll} 2,5&=& 5 \cdot p \quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] 0,5&=&p \end{array}$

Mit der Formel für die Binomialverteilung würde folgen:

$P(X=0)=\pmatrix{5\\0} \cdot 0,5^0 \cdot 0,5^5 = 0,5^5 = \dfrac{1}{32}$

Nach der Tabelle gilt aber $P(X=0)=0,05=\frac{1}{20},$ weshalb die Zufallsgröße $X$ nicht binomialverteilt sein kann.

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