Teil B

Die Abbildung zeigt den Würfel $ABCDEFGH$ mit $A \,(0\mid0\mid0)$ und $G \, (5\mid5\mid5)$ in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene $\, T$ schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten $I \, (5\mid0\mid1)$ , $J \, (2\mid5\mid0)$ , $K \, (0\mid5\mid2)$ und $L \, (1\mid0\mid5).$

Abb. 1

Zeichne das Viereck $IJKL$ in die Abbildung ein und zeige, dass es sich um ein Trapez handelt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

(4 BE)

Ermittle eine Gleichung der Ebene T in Normalenform. Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Ebene $T$ die $x_2x_3$ -Ebene schneidet.
[Zur Kontrolle: $T: \, 5x_1+4x_2+5x_3-30=0$ ]

(4 BE)

Für $a\in\mathbb{R}^+$ ist die Gerade $g_a: \overrightarrow{X} = \pmatrix{2,5\\0\\3,5} + \lambda \cdot \pmatrix{0\\-10a\\\dfrac{2}{a}}$ mit $\lambda\in\mathbb{R}$ gegeben.

Bestimme den Wert von $a$ , sodass die Gerade $g_a$ die Würfelfläche $CDHG$ in ihrem Mittelpunkt schneidet.

(2 BE)

Für jedes $a\in\mathbb{R}^+$ liegt die Gerade $\, g_a$ in der Ebene $\, U$ mit der Gleichung $x_1=2,5.$

Ein beliebiger Punkt $P \, (p_1\mid p_2\mid p_3)$ des Raums wird an der Ebene $\, U$ gespiegelt. Gib die Koordinaten des Bildpunkts $P‘$ in Abhängigkeit von $p_1,p_2$ und $p_3$ an.

(2 BE)

Spiegelt man die Ebene $T$ an $U$ , so erhält man die von $T$ verschiedene Ebene $T‘$ . Zeige, dass für einen bestimmten Wert von $a$ die Gerade $g_a$ in der Ebene $T$ liegt, und begründe, dass diese Gerade $g_a$ die Schnittgerade von $T$ und $T‘$ ist.

(4 BE)

Die Spitze der Pyramide mit der Grundfläche $IJKL$ liegt auf der Kante $[FG]$ . Untersuche, ob die Höhe dieser Pyramide $2$ betragen kann.

(4 BE)

(20 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Viereck einzeichnen

Abb. 1: Würfel mit Viereck $IJKL$

$\blacktriangleright$ Trapezform mit zwei gleich langen Seiten zeigen

In der Abbildung von oben kannst du erkennen, dass die beiden parallelen Seiten des Trapezes vermutlich die beiden Seiten $[LI]$ und $[KJ]$ sind. Für die zugehörigen Verbindungsvektoren folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{LI} &=& \pmatrix{4\\0\\-4} \\[5pt] \overrightarrow{KJ} &=& \pmatrix{2\\0\\-2} \end{array}$

Es gilt $\overrightarrow{LI} = 2\cdot \overrightarrow{KJ}.$ Die beiden Vektoren $\overrightarrow{LI}$ und $\overrightarrow{KJ}$ sind also linear abhängig und damit parallel zueinander. Daher sind auch die zugehörigen Vierecksseiten $[LI]$ und $[KJ]$ parallel zueinander. Es handelt sich bei dem Viereck $IJKL$ daher um ein Trapez.
Gefordert ist nun noch zu zeigen, dass die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Die Länge der Seiten $[LK]$ und $[IJ]$ kannst du mithilfe des Vektorbetrags berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{LK}&= \sqrt{35} \\[10pt] \overline{IJ}&= \sqrt{35} \\[10pt] \end{array}$

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Es ist also $\overline{LK} = \overline{IJ}.$ Die beiden gegenüberliegenden Seiten $[LK]$ und $[IJ]$ sind also gleich lang. Das Viereck $IJKL$ ist also ein Trapez, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Normalenform ermitteln

Ein Normalenvektor von $T$ kann über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren beispielsweise der drei Punkte $I,$ $J$ und $K$ bestimmt werden:

$\overrightarrow{n} = 2\cdot \pmatrix{5\\4\\5}$

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Für die Ebenengleichung kann nun sowohl der gekürzte Normalenvektor als auch der ursprüngliche verwendet werden. Mit einer Punktprobe mithilfe der Koordinaten eines der vier Punkte folgt:

$d = 30$

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Eine Gleichung von $T$ in Normalenform lautet:

$T: \,...$

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$\blacktriangleright$ Winkelgröße berechnen

Ein Normalenvektor von $T$ ist beispielsweise $\pmatrix{5\\4\\5},$ ein Normalenvektor der $x_2x_3$ -Ebene ist beispielsweise $\pmatrix{1\\0\\0}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen folgt daher:

$\alpha \approx 52,01^{\circ}$

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Die Ebene $T$ schneidet die $x_2x_3$ -Ebene in einem Winkel von ca. $52,01^{\circ}.$

$\blacktriangleright$ Wert bestimmen

Anhand der Koordinaten von $A$ und $G$ kannst du erkennen, dass die Kantenlänge des Würfels $5\,\text{LE}$ beträgt. Der Mittelpunkt der Seitenfläche $CDHG$ besitzt daher folgende Koordinaten: $M(2,5\mid 5 \mid 2,5).$
$a$ muss also so bestimmt werden, dass $M(2,5\mid 5\mid 2,5)$ auf der Geraden $g_a$ liegt:

$\pmatrix{0\\5\\-1}= \lambda \cdot \pmatrix{0\\-10a \\ \frac{2}{a}}$

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Das liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 0 &=& \lambda \cdot 0 \\ \text{II}\quad& 5 &=& \lambda \cdot (-10a) \\ \text{III}\quad& -1 &=& \lambda \cdot \frac{2}{a} \\ \end{array}$

Die dritte Gleichung kannst du nach $a$ umstellen:

$\begin{array}[t]{rll} -1 &=& \lambda \cdot \frac{2}{a} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] -a &=& 2\lambda &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] a &=& -2\lambda \\[5pt] \end{array}$

Setze dies in $\text{II}$ ein:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_1 &=& -0,5 \\[5pt] \lambda_2 &=& 0,5 \end{array}$

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Einsetzen in $a$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} a_1 &= 1 \\[10pt] a_2 &= -1 \end{array}$

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Es ist $a\in \mathbb{R}^+$ vorgegeben. Also ist $a=1$ und $\lambda = -0,5.$
Für $a=1$ schneidet die Gerade $g_a$ die Würfelfläche $CDHG$ in ihrem Mittelpunkt.

$\blacktriangleright$ Koordinaten angeben

Die Ebene $U$ mit $x_1 = 2,5$ verläuft parallel zur $x_2x_3$ -Ebene. Dadurch verändert sich durch die Spiegelung lediglich die $x_1$ -Koordinate. Die $x_2$ - und $x_3$ -Koordinate bleiben gleich.
Den Spiegelpunkt $P‘$ kannst du durch Spiegelung von $P$ an der $x_2x_3$ -Achse und anschließende Verschiebung um $5\, (=2\cdot 2,5)$ Einheiten entlang der $x_1$ -Achse konstruieren. Dies erfolgt durch Veränderung der $x_1$ -Koordinate durch $x_1‘ = -x_1+5.$
Die Koordinaten des Spiegelpunkts ergeben sich daher zu $P‘(-p_1+5 \mid p_2 \mid p_3).$

$\blacktriangleright$ Lage der Gerade in der Ebene zeigen

Die Gerade $g_a$ liegt in der Ebene $T,$ wenn sie parallel zu $T$ verläuft und der Stützpunkt der Geraden in der Ebene liegt.

1. Schritt: Parallelität zeigen

Die Gerade $g_a$ verläuft parallel zu $T,$ wenn ihr Richtungsvektor senkrecht zu einem Normalenvektor von $T$ verläuft.
Ein Richtungsvektor von $g_a$ ist $\pmatrix{0\\-10a\\\frac{2}{a}},$ ein Normalenvektor von $T$ ist $\pmatrix{5\\4\\5}.$ Sie sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist:

$\begin{array}[t]{rll} ... \\[5pt] a_1 &=& 0,5 \\[5pt] a_2 &=& -0,5 \end{array}$

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Da $a\in \mathbb{R}^+$ vorgegeben ist, ist $a = 0,5$ der einzige Wert, für den die Gerade $g_a$ parallel zu $T$ verläuft.

2. Schritt: Identischen Punkt zeigen

Der Stützpunkt der Geraden $g_a$ hat die Koordinaten $(2,5\mid 0\mid 3,5).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} ... &=& 0 \\[5pt] 0 &=& 0 \end{array}$

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Der Punkt liegt also in der Ebene $T.$ Insgesamt liegt damit die gesamte Gerade $g_a$ mit $a = 0,5$ in der Ebene $T.$

$\blacktriangleright$ Schnittgerade begründen

Der erste Eintrag des Richtungsvektors aller Geraden $g_a$ ist Null. Dadurch haben alle Punkte der Geraden $g_a$ die $x_1$ -Koordinate des Stützpunkts $2,5.$
Die Gerade $g_a$ liegt daher für jeden Wert von $a$ vollständig in der Ebene $U$ mit $x_1 = 2,5.$

Zudem wurde oben gezeigt, dass $g_a$ mit $a=0,5$ in der Ebene $T$ liegt. Für diesen bestimmten Wert von $a$ liegt $g_a$ also in $U$ und $T.$ Sie ist daher die Schnittgerade von $T$ und $U.$
Wird nun $T$ an der Ebene $U$ gespiegelt, so ist die Schnittgerade von $T$ und $U$ und von $T‘$ und $U$ identisch. Die Gerade $g_a$ ist also gleichzeitig auch die Schnittgerade von $T‘$ und $U$ und liegt damit insbesondere auch in der Ebene $T‘.$ Sie liegt also in der Ebene $T$ und in der Ebene $T‘$ und ist damit die Schnittgerade dieser beiden Ebenen.

$\blacktriangleright$ Höhe der Pyramide überprüfen

Die Höhe der Pyramide entspricht dem Abstand der Spitze zur Ebene $T.$
Die Spitze liegt auf der Kante $[FG].$ Diese ist Teil der Geraden durch die beiden Punkte $F$ und $G.$ Die Koordinaten von $F$ kannst du anhand der Koordinaten von $A$ und $G$ zu $F(5\mid 0\mid 5)$ bestimmen. Die Gerade durch $F$ und $G$ kann daher durch folgende Gleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} FG:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OF} + t\cdot \overrightarrow{FG} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\0\\5} + t\cdot \pmatrix{0\\5\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\\5t\\5} \\[5pt] \end{array}$

Überprüfe, ob es einen Punkt auf dieser Gerade gibt, der zur Ebene $T$ den Abstand $2$ hat und ob dieser auf der Kante $[FG]$ liegt.

1. Schritt: Punkt mit dem Abstand berechnen

Den Abstand eines Punktes zu einer Ebene kannst du mithilfe der Hesseschen Normalenform darstellen. Für die Hessesche Normalenform von $T$ folgt:

$T:\, \frac{5x_1 +4x_2 +5x_3 -30 }{ \sqrt{66}} = 0$

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Der Abstand eines Punkts $P(x_1\mid x_2\mid x_3)$ zu $T$ beträgt also:

$d(P,T) = \frac{\left|5x_1 +4x_2 +5x_3 -30\right|}{ \sqrt{66}}$

Einsetzen der Koordinaten der Punkte von $FG$ liefert:

$\left|20+20t \right| = 2\sqrt{66}$

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Aufgrund des Betrags kann nun $20+20t = 2\sqrt{66}$ und $20+20t = -2\sqrt{66}$ möglich sein:

$\begin{array}[t]{rll} t_1 &=& 0,1\sqrt{66} - 1 \\[5pt] &\approx& -0,19 \\[10pt] t_2 &=& -0,1\sqrt{66} - 1 \\[5pt] &\approx& -1,81 \\[10pt] \end{array}$

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2. Schritt: Lage auf der Kante überprüfen

Die Punkte auf der Geraden durch $F$ und $G$ mit der Gleichung $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{OF} + t\cdot \overrightarrow{FG}$ liegen für $0\leq t \leq 1$ zwischen den Punkten $F$ und $G,$ also auf der Kante $[FG].$ Für andere Werte von $t$ liegen die Punkte nicht auf der Kante $[FG].$ Beide Werte von $t,$ die oben berechnet wurden, sind negativ. Die zugehörigen Punkte mit dem Abstand $2$ zu $T$ liegen nicht auf der Kante $[FG].$
Die Pyramide kann also nicht die Höhe $2$ besitzen.

Bildnachweise [nach oben]

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