Teil B

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mit Hilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: \; t \mapsto 25 - 20\mathrm e^{-0,014t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f(t)$ die Wassertemperatur in $^\circ C.$ Die Raumtemperatur beträgt konstant $25 ^\circ C.$

Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^\circ C$ beträgt.

(3 BE)

Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten 30 Minuten. Berechne $\(f$ und gib die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

(4 BE)

Ausgehend von einem beliebigen Zeitpunkt $t^*$ dauert es eine gewisse Zeit, bis das Wasser den Mittelwert zwischen der Temperatur zum Zeitpunkt $t^*$ und der Raumtemperatur angenommen hat. Zeige, dass diese Zeitdauer unabhängig von $t^*$ ist.

(4 BE)

Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: \; t\mapsto 5 + 20\mathrm e^{-0,014t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g(t)$ die Wassertemperatur in $^\circ C.$ Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.

Beschreibe, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden kann.

(2 BE)

Beurteile jede der folgenden Aussagen:

$\text{I}:\;$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

$\text{II}:$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein.

(4 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1 - x^2) \cdot \mathrm e^{x}.$ Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Gib den Grenzwert von $h$ für $x \to -\infty$ an und begründe die Angabe anhand des Funktionsterms.

(3 BE)

Es gibt eine Zahl $b \gt 1$ , sodass die Fläche, die $H,$ die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt hat wie die Fläche, die $H$ mit der $x$ -Achse im ersten und zweiten Quadranten einschließt. Bestimme $b.$

(3 BE)

Gegeben ist die in $]-\infty; -1]$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) =\displaystyle\int_{x}^{-1}h(t)\;\mathrm dt.$ Ihr Graph wird mit $K$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $H$ und $K.$ Für $x \to -\infty$ kommt $K$ der Geraden mit der Gleichung $y = -\dfrac{4}{\mathrm e}$ beliebig nahe.

Abb. 1

Begründe mit Hilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $-1$ besitzt und dass $K$ im Bereich $x \lt -1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft. Deute damit unter Verwendung von Abbildung 1 den Wert $-\dfrac{4}{\mathrm e}$ in Bezug auf $H$ geometrisch.

(5 BE)

Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x) = \dfrac{1}{a}\cdot (a-x^2)\cdot \mathrm e^x$ und $a \in \mathbb{R}^+.$ Der Graph von $h_a$ wird mit $H_a$ bezeichnet.

Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a \in \mathbb{R}^+$ die Funktionswerte von $h_a$ genau für $-\sqrt{a} \lt x \lt \sqrt{a}$ positiv sind.

(3 BE)

Es gibt einen Wert von $a$ , sodass das Produkt der $x$ -Koordinaten der beiden Extrempunkte von $H_a$ gleich dem Produkt der $y$ -Koordinaten dieser beiden Punkte ist. Berechne diesen Wert von $a$ .

(5 BE)

Die Schnittpunkte von $H_a$ mit der $x$ -Achse und der Hochpunkt von $H_a$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Dieses Dreieck rotiert um die $x$ -Achse.

Die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $v$ gibt das Volumen dieses Rotationskörpers in Abhängigkeit von $a$ an. Abbildung 2 zeigt drei Graphen $G_1,$ $G_2$ und $G_3,$ von denen einer die Ableitungsfunktion $\(v$ von $v$ darstellt.

Beurteile ohne Rechnung und unter Verwendung der Tatsache, dass die $y$ -Koordinate des Hochpunkts von $H_a$ umso größer ist, je größer der Wert von $a$ ist, welcher Graph dies ist.

Abb. 2

(4 BE)

(40 BE)

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Wassertemperatur angeben

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014\cdot0} \\[5pt] &=&25 - 20 \\[5pt] &=&5\;[^\circ C] \end{array}$

Zeitpunkt bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(t)&=& 12 \\[5pt] 25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014t}&=&12 \quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t&\approx& 30,77 \end{array}$

Die Wassertemperatur beträgt somit nach etwa $30,77$ Minuten $12\;^\circ C.$

Mittlere Änderungsrate bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}&=&\dfrac{25 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,014\cdot30}-5}{30} \\[5pt] &=&\dfrac{20 - 20 \cdot \mathrm{e}^{-0,42}}{30} \\[5pt] &\approx& 0,23\;\left[\dfrac{^\circ C}{\text{min}}\right] \end{array}$

Wert berechnen

Für die Ableitung von $f$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Für $t=30$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Wert deuten

Da die erste Ableitung die Steigung von $f$ angibt, besagt der Wert $\(f$ dass die momentane Änderungsrate der Wassertemperatur nach 30 Minuten etwa $0,18\;\dfrac{^\circ C}{\text{min}}$ beträgt.

Die gesuchte Zeitdauer wird durch einen Wert $t\gt0$ dargestellt. Damit ergibt sich die beschriebene Situation wie folgt:

Rechenweg anzeigen

$\ln(2)-0,014t=0$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich somit $t\approx49,51$ und die gesuchte Zeitdauer ist insbesondere unabhängig von $t^*.$

Der Graph von $g$ geht aus dem Graphen von $f$ durch eine Spiegelung an der $x$ -Achse und anschließende Verschiebung um 30 Längeneinheiten in positive $y$ -Richtung hervor.

Aussage $\boldsymbol{\text{I}}$

Da die Temperatur im ersten Glas während des gesamten Beobachtungszeitraums zunimmt und der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f,$ bis auf Verschiebung, durch Spiegelung an der $x$ -Achse entsteht, nimmt die Temperatur im zweiten Glas während des gesamten Beobachtungszeitraums ab, das heißt die Aussage stimmt.

Aussage $\boldsymbol{\text{II}}$

Anhand der Funktionsterme von $f$ und $g$ lässt sich erkennen, dass die Ableitungen $\(f$ und $\(g$ bis auf das Vorzeichen identisch sind. Somit stimmen die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen der beiden Gläser zu jedem Zeitpunkt überein, das heißt die Aussage ist richtig.

Für $x \rightarrow -\infty$ gilt $\mathrm{e}^x \rightarrow 0$ und $1-x^2\rightarrow -\infty.$

Da sich die $\mathrm e$ -Funktion wesentlich schneller Null annähert als der quadratische Term fällt, gilt $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} h(x) = 0.$

1. Schritt: Fläche, die $\boldsymbol{H}$ mit der $\boldsymbol{x}$ -Achse einschließt, berechnen

Für die Schnittstellen von $H$ mit der $x$ -Achse gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& 0 & \\[5pt] (1 - x^2) \cdot \mathrm e^{x} &=& 0 \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgen direkt $x_1=-1$ und $x_2=1.$

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche ergibt sich mit dem CAS also zu:

$\displaystyle\int_{-1}^{1}h(x)\;\mathrm dx = 1,47$

2. Schritt: Wert von $\boldsymbol{b}$ bestimmen

Es soll gelten:

$\left| \displaystyle\int_{1}^{b}h(x)\;\mathrm dx \right| = 1,47$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $b\approx 1,56.$

Nullstelle begründen

Die Funktion $k(x)$ hat die Nullstelle $x = -1,$ da für diesen Wert von $x$ die obere mit der unteren Integralgrenze übereinstimmt.

Verlauf von $\boldsymbol{H}$ begründen

Da $H$ für $x\lt-1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft, liefert das Integral, das die Fläche zwischen $H$ und der $x$ -Achse darstellt, für alle $x\lt-1$ negative Werte.

Damit verläuft $K$ im Bereich $x \lt -1$ unterhalb der $x$ -Achse.

Wert geometrisch deuten

Die geometrische Interpretation des Wertes liefert, dass für $x\lt-1$ die Fläche zwischen $G_h$ und der $x$ -Achse $\dfrac{4}{\mathrm e}$ beträgt.

Da sich diese Fläche unterhalb der $x$ -Achse befindet, ergibt sich zusätzlich das negative Vorzeichen.

Der Funktionsterm ist genau dann positiv, wenn der Term $\left(a-x^2\right)$ positiv ist. Das ist nur für $-\sqrt{a} \lt x \lt \sqrt{a}$ der Fall.

Mit dem CAS folgt für die ersten beiden Ableitungen von $h_a:$

$\(h_a$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(h_a$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&-1-\sqrt{1+a} \\[5pt] x_2&=&-1+\sqrt{1+a} \end{array}$

Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass $G_{h_a}$ für jeden Wert von $a$ genau zwei Extrempunkte besitzt, somit kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedinung verzichtet werden.

Es soll gelten:

$x_1\cdot x_2 = h_a(x_1)\cdot h_a(x_2)$

Vollständige Gleichung anzeigen

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $a= \dfrac{2}{\mathrm e}.$

Probe durch Berechnen der $y$ -Koordinaten der Extrempunkte von $H_{\frac{2}{\mathrm e}}$ liefert $T\left(-2,32\mid -0,62\right)$ und $H\left(0,32 \mid 1,19 \right).$

Für diese gilt:

$-2,32\cdot 0,32 \approx -0,74$

$-0,62\cdot 1,19 \approx -0,74$

Der gesuchte Wert von $a$ ist somit $\dfrac{2}{\mathrm e}.$

Aus der Aufgabe 2.4 folgt, dass die Schnittstellen von $H_a$ mit der $x$ -Achse bei $x_1=-\sqrt{a}$ und $x_2=\sqrt{a}$ liegen und sich dazwischen ein Hochpunkt befindet.

Die Fläche des Dreiecks, welches um die $x$ -Achse rotieren soll, ist immer positiv und hängt von der Höhe des Dreiecks sowie von der Länge der Grundseite ab.

Die Grundseite des Dreiecks ist gegeben durch $2\sqrt{a}$ und die Höhe des Dreiecks ist laut Aufgabenstellung umso größer, je größer der Wert von $a$ ist.

Da das Volumen also mit größerem $a$ schneller wächst, deutet dies auf eine stets positive Ableitungsfunktion hin, die zunehmend steiler wird.

Graph $G_2$ und $G_3$ können deshalb ausgeschlossen werden.

Die Ableitungsfunktion $\(v$ von $v$ wird also durch den Graphen $G_1$ dargestellt.

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