Teil A

Berechne den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-1}^{2}\left(x^3-6x\right)\;\mathrm dx.$

(3 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion $f:\; x\mapsto f(x)$ im Bereich $-2\leq x \leq 3.$ Skizziere in der Abbildung den Graphen der Integralfunktion $J:\; x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm dt$ im selben Bereich.

Graf einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit Gitterlinien.

Abb. 1

(3 BE)

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.

Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$ .

(2 BE)

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

(3 BE)

Gib jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt.

Der Graph der Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x=2$ ist eine senkrechte Asymptote.

(2 BE)

Die Funktion $g$ ist nicht konstant und es gilt $\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\;\mathrm dx = 0$ .

(2 BE)

An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von $10$ Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt $t$ (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die Gleichung $n(t)= 3t^2-60t+500$ beschrieben werden.

Bestimme die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.

(3 BE)

Ermittle den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft $-30\frac{1}{\text{h}}$ beträgt.

(2 BE)

(20 BE)

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$\blacktriangleright$ Integralwert berechnen

Berechne den Wert des Integrals, indem du eine Stammfunktion von $f(x) = x^3-6x$ bestimmst.

$\displaystyle\int_{-1}^{2}\left(x^3-6x\right)\;\mathrm dx = -\frac{21}{4}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Wert des Integrals beträgt $-\frac{21}{4}.$

$\blacktriangleright$ Graphen der Integralfunktion einzeichnen

Du sollst den Graphen der Integralfunktion $J$ zur Funktion $f$ ebenfalls in die Abbildung einzeichnen. Eine solche Integralfunktion beschreibt in der Regel den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen und der $x$ -Achse im Intervall $[0,x]$ begrenzt wird. Liegt diese Fläche im zweiten oder vierten Quadranten des Koordinatensystems wird dieser Flächeninhalt von dem bisherigen subtrahiert.
Beachte ebenso, dass $f$ die Steigung des Graphen von $J$ beschreibt, da $J$ eine Integralfunktion von $f$ ist.

Überlege dir beispielsweise, dass die Funktion $f$ für $x\leq 1$ konstant $1$ ist. Hier handelt es sich bei der betrachteten Fläche immer um ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $|x|.$ Die Integralfunktion lautet für diesen Bereich also $J(x)= x.$
Für den übrigen Bereich kannst du dir ebenfalls verschiedene Hilfspunkte einzeichnen, die du durch den Flächeninhalt ableitest.

Du erhältst in etwa folgende Abbildung:

Graph einer mathematischen Funktion mit grüner und grauer Kurve auf einem Koordinatensystem.

Abb. 1: Graph der Integralfunktion $J$

$\blacktriangleright$ Nullstelle ermitteln

Für Nullstellen gilt $f(x)=0$ . Setze also gleich und löse die Gleichung nach $x$ :

$x = 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x = 2\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)$

$\blacktriangleright$ Gleichschenkligkeit nachweisen

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Du sollst nachweisen, dass es sich dabei um ein gleichschenkliges handelt. Überprüfe also, ob das Dreieck zwei gleich lange Seiten besitzt. Gehe dazu wie folgt vor:

Bestimme die Gleichung der Tangente $t$ .
Bestimme die Schnittpunkte der Tangente mit den Koordinatenachsen.
Berechne die Seitenlängen des Dreiecks anhand der Koordinaten der Eckpunkte.

1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen

Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ muss gelten:

$t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ , also $m = f‘(0)$ .
$t$ verläuft durch den Punkt $S(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$

Bilde also die erste Ableitungsfunktion von $f$ , um die Steigung $m$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot\mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1 \\[5pt] f‘(x)&=&2\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] \end{array}$

Also gilt für die Steigung:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& f‘(0) \\[5pt] &=& \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Setze nun $m$ und die Koordinaten von $S$ in die Tangentengleichung ein, um $b$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=&1\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$

Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = x +1$ .

2. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen

Der erste Eckpunkt ist der Koordinatenursprung $O$ . Der zweite Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$ -Achse, also $S(0\mid 1).$ Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$ -Achse. Berechne also die Nullstelle:

$\begin{array}[t]{rll} x+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$

Der dritte Eckpunkt ist also $S_x(-1\mid 0).$

3. Schritt: Seitenlängen berechnen

Es gilt $\overline{OS} = 1$ , $\overline{OS}_x = 1$ und $\overline{S_xS} =\sqrt{2}\neq 1$ . Also ist das Dreieck mit den Eckpunkten $O$ , $S$ und $S_x$ gleichschenklig.

$\blacktriangleright$ Funktionsterm angeben

Für $f$ sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

Der zugehörige Graph ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, also muss $f(-x)=f(x)$ gelten.
Die Gerade mit der Gleichung $x=2$ ist eine senkrechte Asymptote. Also besitzt $f$ an der Stelle $2$ eine Definitionslücke.

Die zweite Bedingung kannst du erreichen, indem du eine ganzrationale Funktion wählst, bei der im Nenner der Faktor $x-2$ vorkommt. Da der Nenner eines Bruchs nicht Null werden darf, besitzt $f$ dann an der Stelle $x=2$ eine Definitionslücke.
Dadurch ist der Graph allerdings noch nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Füge also einen zweiten Faktor im Nenner hinzu, sodass für den Funktionsterm gilt $f(-x)=f(x)$ .

Der folgende Funktionsterm erfüllt beispielsweise beide Bedingungen auf der maximalen Definitionsmenge:

$f(x)= \dfrac{1}{(x-2)\cdot(-x-2)}$

$\blacktriangleright$ Funktionsterm angeben

Die Funktion $g$ soll folgende Bedingungen erfüllen:

$g$ ist nicht konstant.
$\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\;\mathrm dx = 0$

Letzteres ist erfüllt, wenn die Fläche, die der Graph von $g$ mit der $x$ -Achse im Intervall $[0;2]$ einschließt zu gleichen Teilen oberhalb und unterhalb der $x$ -Achse liegt. Dann heben sich positive und negative Teile des Integrals gegenseitig auf, sodass das Ergebnis $0$ ist.
Dies erfüllt beispielsweise die Gerade durch die Punkte $P(0\mid 1)$ und $Q(2\mid -1)$ . Die betrachteten Flächen sind dann zwei Dreiecke mit gleichem Flächeninhalt, wovon eins oberhalb und eins unterhalb der $x$ -Achse liegt.
Diese Gerade hat die Gleichung $y = -x + 1$ .

Ein Funktionsterm, der die Bedingungen erfüllt lautet beispielsweise:

$g: \; y = -x+1$

$\blacktriangleright$ Mittlere Änderungsrate bestimmen

Die Funktion $n$ beschreibt die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft. Die mittlere Änderungsrate, beschreibt, wie schnell die Anzahl der Pollen in den ersten beiden Stunden im Schnitt gestiegen bzw. gefallen ist. Die mittlere Änderungsrate einer Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ kannst du mit dem Differenzenquotienten berechnen.

$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Es geht um die ersten beiden Stunden, wobei $t$ in Stunden nach Messbeginn angegeben ist. Setze also $a=0$ und $b = 2$ ein.

$\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = -54$

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In den ersten beiden Stunden der Messung beträgt die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft $-54\,\frac{1}{\text{h}}$ . Die Pollen nehmen also im Schnitt um ca. $54$ pro Stunde ab.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt ermitteln

Gesucht ist der Zeitpunkt nach Messbeginn, zu dem die momentane Änderungsrate der Pollenanzahl in einem Kubikmeter Luft $-30\,\frac{1}{\text{h}}$ beträgt. Da die momentane Änderungsrate durch die erste Ableitungsfunktion $n‘$ von $n$ beschrieben wird, ist also $t$ gesucht mit $n‘(t)=-30$ .
Bilde also die erste Ableitung von $n$ und setze gleich.

$\begin{array}[t]{rll} n(t)&=&3t^2-60t+500 \\[10pt] n‘(t)&=& 3\cdot 2\cdot t -60 \\[5pt] &=& 6t-60 \end{array}$

Setze gleich und löse nach $t$ :

$t = 5$

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$5$ Stunden nach Beginn der Messung beträgt die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft $-30\,\frac{1}{\text{h}}.$

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