Teil B
1
Gegeben ist die Schar der in 
definierten Funktionen
mit 
Der Graph von 
wird mit 
bezeichnet.
a)
Gib die beiden Nullstellen von an und begründe, dass im Bereich zwischen den Nullstellen oberhalb der 
-Achse verläuft.
(3 BE)
b)
Für alle 
gilt 
Deute diese Aussage geometrisch.
(2 BE)
c)
Für einen bestimmten Wert von 
ist die Tangente an im Punkt 
eine Gerade mit Steigung 1. Bestimme diesen Wert von und weise nach, dass diese Gerade noch in einem weiteren Punkt Tangente an den zu diesem Wert von gehörenden Graphen ist.
(4 BE)
d)
Gib die Anzahl der Wendepunkte von in Abhängigkeit von an und begründe deine Angabe.
(5 BE)
e)
Gib die -Koordinate und die Art des Extrempunkts von 
an.
(2 BE)
2
Betrachtet wird die Funktion 
mit maximaler Definitionsmenge 
wobei 
die Funktion der Schar aus Aufgabe 1 mit 
ist.
betrachtet, deren Definitionsmenge mit 
übereinstimmt.
und 
schließen ein Flächenstück ein. Rotiert dieses Flächenstück um die -Achse, so entsteht ein Körper. Der Körper stellt modellhaft einen Asteroiden dar, das Flächenstück einen Längsschnitt durch den Asteroiden. Dabei entspricht eine Längeneinheit zehn Metern in der Realität.
Für eine Forschungsmission wird die Landung einer Raumsonde auf dem Asteroiden geplant. Der Landeanflug soll entlang einer Gerade erfolgen, die im Modell durch den Graphen der in definierten Funktion
repräsentiert wird. Der Punkt 
mit 
stellt den Landepunkt dar.
Meter vom Landepunkt entfernt ist. Diese Position wird im Modell durch den Punkt 
dargestellt.
a)
Gib an.
(1 BE)
b)
Betrachtet wird folgende Aussage:
Sind 
und 
zwei in einem Intervall 
definierte differenzierbare Funktionen, für die 
und 
für alle 
gilt, so besitzen und das gleiche Monotonieverhalten.
Zeige, dass die Aussage richtig ist, und gib die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von an.
(4 BE)
c)
Gib 
und 
an und interpretiere das Ergebnis geometrisch.
Zusätzlich wird die Funktion
(3 BE)
d)
Skizziere die Graphen von und unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in einem Koordinatensystem.
Die Graphen von
(3 BE)
Für eine Forschungsmission wird die Landung einer Raumsonde auf dem Asteroiden geplant. Der Landeanflug soll entlang einer Gerade erfolgen, die im Modell durch den Graphen der in
e)
Bestimme 
und deute die Gleichung 
im Sachzusammenhang.
[Zur Kontrolle: 
]
Die Bremsdüsen der Raumsonde werden an der Position aktiviert, die
(4 BE)
f)
Bestimme rechnerisch die Koordinaten von auf zwei Dezimalen genau.
[Zur Kontrolle: -Koordinate von 
etwa 
]
(4 BE)
g)
Rotiert ein Flächenstück, das vom Graphen einer in ![\([c;d]\)](https://mathjax.schullv.de/c5102de277c9715e6addadb55b6951af54c77d495e861fb02dec880a007d97cd?color=5a5a5a)
definierten Funktion 
mit Nullstellen 
und 
und der -Achse eingeschlossen wird, um die -Achse, so entsteht ein rotationssymmetrischer Körper, dessen Schwerpunkt auf der -Achse liegt. Für die -Koordinate 
des Schwerpunkts gilt dabei:
Bestimme die -Koordinate des Schwerpunkts 
des Rotationskörpers, der den Asteroiden beschreibt, auf zwei Dezimalen genau.
Berechne die Größe des Winkels, um die sich die Flugbahn ändert, wenn der letzte Teil des Landeanflugs – anders als ursprünglich geplant – entlang einer Gerade erfolgt, die im Modell durch die Gerade
dargestellt wird.
Berechne die Größe des Winkels, um die sich die Flugbahn ändert, wenn der letzte Teil des Landeanflugs – anders als ursprünglich geplant – entlang einer Gerade erfolgt, die im Modell durch die Gerade
(5 BE)
(40 BE)
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1.
a)
Nullstellen angeben
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
und somit 
und 
Außerdem gilt:
, da 
und 
Verlauf begründen
Ausmultipliziert ist der Term mit dem höchsten Exponenten 
der Graph nimmt folglich die Form einer nach unten geöffneten Parabel an. Für 
gilt 
also verläuft der Graph in diesem Bereich oberhalb der -Achse.
b)
Die Steigungen aller Graphen der Schar haben an der Stelle 
den gleichen Wert. Die Tangente an dieser Stelle ist somit für jedes identisch.
c)
Wert von bestimmen
Weiteren Punkt bestimmen
Tangentengleichung aufstellen:
Tangente mit 
schneiden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& f_{25}(x) &\\[5pt]
x&=& -\dfrac{1}{250}\cdot \left(x^4-10x^3+25 x^2-250x\right)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4694711e027502e9ddf6c13c802fcccb2fa99b49e654ae4a4e3f10a3476f32a7?color=5a5a5a)
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt 
Die Steigung im Punkt 
ergibt sich zu 
Die Gerade ist folglich zusätzlich Tangente im Punkt 
d)
Notwendige Bedingung für Wendepunkte anwenden
Mit der Mitternachtsformel folgt:
Für 
folgt 
und somit keine Wendepunkte.
Für 
folgt 
und somit eine Wendepunkte.
Für 
folgt 
und somit zwei Wendepunkte.
e)
2.
a)
Es dürfen nur Werte von eingesetzt werden, für welche der Radikand positiv ist.
Dies ist nur im Bereich 1 a) folgt:
b)
Ableitung 
berechnen
Mit der Kettenregel ergibt sich:
Monotonie bestimmen
Es gilt 
Für 
folgt somit 
.
Für 
folgt 
.
Für 
folgt somit 
.
Die Aussage ist somit richtig.
Koordinaten des Hochpunkts angeben
Da das Monotonieverhalten von und für 
folglich gleich ist, ist 
genau dann, wenn 
Aus 1 e) folgt: 
gilt für 
und beschreibt einen Hochpunkt.
-Koordinate berechnen:
Der Hochpunkt des Graphen von besitzt die Koordinaten 
c)
Grenzwerte berechnen
Geometrische Interpretation
Der Graph von schneidet die -Achse in ihren Nullstellen senkrecht.
d)
Die Monotonie von ist wie in 2 b) gezeigt gleich wie bei , besitzt also die Form einer nach unten geöffneten Parabel.
Die Nullstellen und und der Hochpunkt 
ebenso wie der Definitionsbereich wurden bereits berechnet.
Der Graph von ergibt sich durch Spiegelung an der -Achse.
e)
f)
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt: 
-Koordinate bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
s(4,31)&=&\frac{1}{15} \sqrt{1830} \cdot(11-2\cdot 4,31) & \\[5pt]
&\approx& 6,79
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0baabf4f1b672b8acc5e408d112991e20c4c6391cc60e301a4989d0cfb563365?color=5a5a5a)
Die Koordinaten von entsprechen somit 
g)