Teil B

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto \dfrac{x^2-1}{a \cdot (x^2+1)}$ mit $a\in\mathbb{R}^+$ .
Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Bestätige rechnerisch, dass $G_a$ für jeden Wert von $a$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist, und gib in Abhängigkeit von $a$ den Grenzwert von $f_a$ für $x\rightarrow +{\infty}$ an.

(2 BE)

Bestimme rechnerisch in Abhängigkeit von $a$ Lage und Art des Extrempunkts von $G_a$ und gib das Monotonieverhalten von $G_a$ an.

(5 BE)

Bestimme denjenigen Wert von $a$ , für den die von $G_a$ und $G_2$ eingeschlossene Fläche den Inhalt $2\pi -4$ hat.

(4 BE)

Im Folgenden ist $a=1$ . Die zugehörige Funktion $f_1$ wird mit $f$ bezeichnet, d.h. $f(x)= \dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ .
Die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen $G_f.$

Graph einer Funktion mit grünem Verlauf, Achsenbeschriftung und Gf in der Nähe des Minimums.

Abb. 1

Gib die Anzahl der Lösungen der Gleichung $f(x)=b$ mit $b\in \mathbb{R}$ in Abhängigkeit von $b$ an und begründe deine Angabe.

(4 BE)

Bestimme rechnerisch die Gleichungen aller Tangenten an $G_f$ , die den Punkt $(0 \mid -1)$ enthalten.

(5 BE)

Nun wird die in $\mathbb{R}$ definierte Integralfunktion $F: x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm dt$ betrachtet; ihr Graph wird mit $G_F$ bezeichnet.

Begründe, dass $F$ in $x=0$ eine Nullstelle hat, und mache mithilfe des Verlaufs von $G_f$ plausibel, dass im Intervall $[1;3]$ eine weitere Nullstelle von $F$ liegt.
Gib $F(-1)$ an und begründe, dass der Punkt $(-1 \mid F(-1))$ Hochpunkt von $G_F$ ist.

(5 BE)

Eine der Tangenten aus Aufgabe 2b verläuft durch den Punkt $(1 \mid 0)$ und begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Zeichne dieses Dreieck in die Abbildung 1 ein. Gib den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für $F(1)$ an. Berechne die prozentuale Abweichung dieses Näherungswerts von $F(1)$ .

(4 BE)

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: x\mapsto -\cos \left(\frac{\pi}{2}x \right)$ stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für die Funktion $f$ dar.

Beschreibe, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $x \mapsto \cos(x)$ hervorgeht. Berechne durch Integration von $g$ einen weiteren Näherungswert für $F(1)$ .

(4 BE)

Für jeden Wert $k\gt 0$ legen die auf $G_f$ liegenden Punkte $P_k\,(-k|f(-k))$ und $Q_k\,(k|f(k))$ gemeinsam mit dem Punkt $R (0\mid 1)$ ein gleichschenkliges Dreieck $P_kQ_kR\,$ fest.

Berechne für $k=2$ den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $P_2Q_2R$ (vgl. Abbildung 2).

Zeige anschließend, dass der Flächeninhalt des Dreiecks $P_kQ_kR$ allgemein durch den Term $A(k)=\dfrac{2k}{k^2+1}$ beschrieben werden kann.

Graf einer Funktion mit Achsenbeschriftungen und Punkten P2 und Q2.

Abb. 2

(4 BE)

Zeige, dass es einen Wert von $k\gt 0$ gibt, für den $A(k)$ maximal ist.
Berechne diesen Wert von $k$ sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $P_kQ_kR$ .

(3 BE)

(40 BE)

Die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn $f(-x)=f(x)$ gilt.

Mit $f(-x)= \dfrac{(-x)^2-1}{a \cdot ((-x)^2+1)} = \dfrac{x^2-1}{a \cdot (x^2+1)} = f(x)$ ist die Funktion symmetrisch zur y-Achse.

Für $x\longrightarrow +\infty$ gilt $f(x)\longrightarrow \dfrac{1}{a}$ .

Extrempunkt

$f_a(x)= \dfrac{x^2-1}{ax^2+a}$

Wende die Quotientenregel an um die ersten beiden Ableitungen von $f_a$ zu bestimmen. Die Ableitungen von $f_a$ lauten:

$\(f_a$

Wende nun das notwendige Kriterium für Extremstellen an.

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&\dfrac{4x}{a \cdot(x^2+1)^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt $x_1=0$ .

Wende das hinreichende Kriterium für Extremstellen an.

Wegen $\(f$ $=\dfrac{4}{a}\gt 0$ , $a \in \mathbb{R}^+$ und mit $f_a(0)= -\dfrac{1}{a}$ befindet sich ein Tiefpunkt in $\left(0 \mid -\dfrac{1}{a} \right).$

Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten einer Funktion $f_a$ kannst du über ihre erste Ableitung bstimmen. Ist $\(f_a$ ist $G_f$ monoton steigend, ist $\(f$ so ist $G_f$ monoton fallend.

$\(f_a$

Für $a\gt 0$ , (wegen $a \in \mathrm{R}^+$ ) gilt: Ist $x\lt 0$ , so ist $\(f_a$ und für $x\gt 0$ ist $\(f$ .

Für $x\lt 0$ ist $G_f$ streng monoton fallend und für $x\gt 0$ ist $G_f$ streng monoton steigend.

Den Flächeninhalt berechnest du mit einem Integral. Die Integrationsgrenzen des Integrals stellen die Schnittstellen von $G_a$ und $G_2$ dar. Berechne diese zuerst. Verwende dafür den solve-Befehl deines CAS-Rechners.

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& f_2(x)&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&=& -1&\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=&1 \end{array}$

Setze nun die Integrationsgrenzen in das Integral mit den Funktionen ein und setzte dieses gleich $2 \pi -4$ .

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-1}^{1} \left(f_a(x)-f_2(x) \right) \mathrm dx&=& 2 \pi -4&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] a&=&\dfrac{2}{5} \end{array}$

Die Lösungen $f(x)= b$ sind die Schnittstellen der Geraden $y=b$ und der Funktion $f(x)$ dar. Der Graph von $f(x)$ nähert sich asymptotisch $y=1$ an, die tiefste Stelle liegt bei $y=-1$ . Das bedeutet, dass es nur im Bereich zwischen $b=-1$ und $b=1$ Schnittstellen geben kann. Außerhalb dieses Bereichs nicht.

Im tiefsten Punkt $(0 \mid -1)$ kann es nur eine Schnittstelle geben, ansonsten zwei, da der Graph der Funktion achsensymmetrisch ist.

$b \lt -1$ und $b \gt 1$ : es gibt keine Lösung
$b=-1$ : es gibt eine Lösung
$1 \gt b \geq -1$ : es gibt zwei Lösungen

Die allgemeine Tangentengleichung lautet $\(t(x)= f$

Es gilt $f(a)= \dfrac{a^2-1}{a^2+1}$ und $\(f$ .

Setze nun $f(a)$ und $\(f$ und die Koordinaten $(0 \mid -1)$ in $t(x)$ ein.

$\begin{array}[t]{rll} -1&=&\dfrac{4a}{a^4+2a^2+1} \cdot (0-a) + \dfrac{a^2-1}{a^2+1}&\quad \scriptsize \\[5pt] -1&=& \dfrac{-4a^2}{a^4+2a^2+1} + \dfrac{a^2-1}{a^2+1}&\quad \scriptsize \mid \text{CAS} \\[5pt] a_1&=&-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] a_2&=&1 &\quad \scriptsize \\[5pt] a_3&=&0 \end{array}$

Setze nun $a_1$ und $a_2$ in $t(x)$ ein. Es ergeben sich die Gleichungen:

$t_1(x) = -x-1$

$t_2(x) = x-1$

$t_3(x) = -1$

Die Integralfunktion $F(x)$ beschreibt die Flächenbilanz der vom Graphen der Funktion $f$ und der x-Achse im Intervall $[0;x]$ eingeschlossenen Fläche. Für $x=0$ wird keine Fläche eingeschlossen, daher muss $F(0)=0$ sein.

Im Intervall $[0;1]$ schließt $G_f$ mit der x-Achse eine Fläche unterhalb der x-Achse ein. Da $G_f$ im Intervall $[1;x]$ monoton steigt, schließen $G_f$ und die x-Achse eine Fläche oberhalb der x-Achse ein.
Es existiert ein $x$ im Intervall $[1;3]$ , an dem die Flächen unterhalb und oberhalb der x-Achse den gleichen Flächeninhalt haben. Da diese gleich großen Flächen unterhalb und oberhalb der x-Achse liegen, sind die zugehörigen Integralwerte positiv und negativ und heben sich somit gegenseitig auf. Für dieses $x \in [1;3]$ ist $F(x)=0$ . Somit existiert eine weitere Nullstelle von $F$ im Intervall $[1;3]$ .

Bei $x=-1$ hat $f$ eine Nullstelle. Der Graph von $F$ hat an dieser Stelle einen Hochpunkt, da $f$ im Bereich von $x=-1$ monoton fällt und es somit zu einem Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ kommt.

$F(-1)= \displaystyle\int_{0}^{-1}f(t) \; \mathrm dt \approx 0,56$ .

Graph einer Funktion mit Achsen und markierten Punkten.

In der Abbildung siehst du das Dreieck das von der Geraden $y_1$ und den Koordinatenachsen eingeschlossen wird.

$A_D= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0,5$

Da $A_D$ ein Näherungswert für den Flächeninhalt der Fläche $F(1)$ ist, die $G_f$ mit der x-Achse im Intervall $[0;1]$ einschließt und da diese Fläche unterhalb der x-Achse liegt, gilt $F(1) \approx -0,5$ .

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $A_D=0,5$ . Die Stammfunktion von f nimmt für $x=1$ den Wert $F(1) \approx -0,56$ an.

Die prozentuale Abweichung beträgt $100\, \text{%} - 0,5 \cdot \dfrac{100}{0,57} \approx 100 \, \text{%} - 87,72\, \text{%} \approx 12,28 \, \text{%}$ .

$G_g$ geht aus der $\cos$ -Funktion hervor, indem die Periode um $p= \dfrac{2\pi}{b}$ mit $b=4$ verändert wurde. Durch das negative Vorzeichen wird der Graph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt .

$F(1) \approx \displaystyle\int_{0}^{1}-\cos \left(\dfrac{\pi}{2}x \right)\;\mathrm dx$ $= \left[-\dfrac{2}{\pi} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{2}x \right) \right]_0^1$ $= -\dfrac{2}{\pi} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{2} \cdot1 \right) - \left(-\dfrac{2}{\pi} \cdot \sin \left(\dfrac{\pi}{2} \cdot 0 \right) \right)$ $= -\dfrac{2}{\pi} \approx -0,64$

Den Flächeninhalt eines Dreiecks brechnest du mit $A= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ .

Für $k=2$ lauten die Punkte $P_2(-2 \mid 0,6), \, \, Q_2(2 \mid 0,6), \, \, R(0 \mid 1)$ und somit ist $a= 2 \cdot 2 =4$ und $h_a= 1-0,6=0,4$ .

$A_2=\dfrac{1}{2} \cdot 0,4 \cdot 4 =0,8$

Der allgemeine Flächeninhalt kann auch so berechnet werden:

$a= 2 \cdot k$
$h_a= 1-f(k) = 1- \dfrac{k^2-1}{k^2+1}$ $= \dfrac{k^2+1}{k^2+1} -\dfrac{k^2-1}{k^2+1}$ $= \dfrac{k^2+1-(k^2-1)}{k^2+1}$ $=\dfrac{2}{k^2+1}$

$A(k)= \dfrac{1}{2} \cdot2 \cdot k \cdot \dfrac{2}{k^2+1}= \dfrac{2k }{k^2+1}$

$A(k)$ nimmt den maximalen Flächeninhalt für das $k\gt 0$ an, an der $A(k)$ sein Maximum hat.
Berechne das Maximum mit deinem CAS Rechner.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Der Hochpunkt liegt bei $H(1 |1)$ . Somit nimmt $A(k)$ den maximalen Flächeninhalt von $1 \, FE$ für $k=1$ an.