Teil B

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit den Eckpunkten $A(-3\mid-3\mid 0),$ $B(3\mid-3\mid 0),$ $C(3\mid3\mid 0),$ $D(-3\mid3\mid 0)$ und $S(0\mid0\mid 4)$ sowie den Punkt $O(0\mid0\mid0),$ der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche $CDS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E.$

Abb. 1

Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide.

(4 BE)

Genau eine der folgenden Gleichungen $(1)$ bis $(3)$ beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Gib diese Gleichung an und begründe für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist.

$(1) \quad x_1-x_3=0$

$(2) \quad x_1+x_2+x_3=4$

$(3) \quad x_1+x_2=0$

(3 BE)

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $4x_2+3x_3-12=0$ )

(3 BE)

Es gibt einen Punkt $P(0\mid0\mid p),$ der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mit Hilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von $p$ bestimmen:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&\overrightarrow{Q}&=& \pmatrix{0\\0\\p}+t\cdot\pmatrix{0\\4\\3} \\ \text{II}\quad&0&=&4 \cdot 4 t+3 \cdot(p+3 t)-12 \\ \text{III}\quad&\left\vert\overrightarrow{PQ}\right\vert&=&p \end{array}$

Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen.

(5 BE)

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: 4 k \cdot x_1+4 \sqrt{1-k^2} \cdot x_2$ $+3 \cdot x_3-12 = 0$ mit $k \in[-1 ; 1].$
Die Seitenfläche $ADS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{-1}$ der Schar, die Seitenfläche $BCS$ in der Ebene $E_1.$

Zeige, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist.

(1 BE)

Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $OS$ die Ebene $E_k$ schneidet, unabhängig von $k$ ist, und bestimme diese Größe.

Hinweis: Unter Umständen liefert das CAS bei einem Rechenschritt keine hilfreiche Ausgabe. Führe ggf. die Berechnung ohne CAS durch.

(4 BE)

Jede Ebene $E_k$ der Schar schneidet die $x_1x_2$ -Ebene in einer Gerade $g_k.$ Mit $R_k$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_k$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat.
In Abbildung 2 sind $g_k$ und $R_k$ beispielhaft für eine Ebene $E_k$ der Schar dargestellt.

Zeichne die Punkte $R_{-1}$ und $R_1$ in Abbildung 2 ein.

(2 BE)

Abb. 2

Durchläuft $k$ alle Werte von $-1$ bis $1,$ dann dreht sich das Dreieck $O R_k S$ um die Strecke $[OS].$ Dabei entsteht ein Körper. Beschreibe die Form des entstehenden Körpers und bestimme das Volumen dieses Körpers.

(3 BE)

(25 BE)

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Da der Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide durch den Koordinatenursprung gegeben ist und die Koordinaten der vier Eckpunkte $A,B,C$ und $D$ die Form $(\pm3\mid\pm3\mid0)$ haben folgt, dass die Verbindungsstrecken dieser Punkte jeweils $6\;[\text{LE}]$ lang sind. Für den Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ von der Strecke $\overline{BC}$ folgt beispielsweise:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{M}&=&\overrightarrow{B}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\-3\\0}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{3-3\\3-(-3)\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\0\\0} \end{array}$

Für die Höhe $h$ einer Seitenfläche der Pyramide bezüglich der Kante, die in der $x_1x_2$ -Ebene liegt, folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} h&=&\left\vert\overrightarrow{MS}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{0-3\\0-0\\4-0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-3)^2+0^2+4^2} \\[5pt] &=&5 \end{array}$

Damit beträgt der Flächeninhalt der vier Seitenflächen der Pyramide jeweils $\frac{1}{2}\cdot6\cdot5=15\;[\text{FE}].$ Zusammen mit dem Flächeninhalt von $6\cdot6=36\;[\text{FE}]$ der quadratischen Grundfläche folgt für den Flächeninhalt $O_P$ der Oberfläche der Pyramide:

$O_P=36+4\cdot15=96\;[\text{FE}]$

Anhand der Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide lässt sich erkennen, dass $B,D$ und $S$ in Ebene $(3)$ liegen. Da eine Ebene durch drei Punkte eindeutig festgelegt wird, teilt Ebene $(3)$ die Pyramide von oben betrachtet entlang der Diagonalen $[BD]$ der Grundfläche und ist somit eine Symmetrieebene der Pyramide.
Damit eine Ebene eine Symmetrieebene einer quadratischen Pyramide ist, muss sie durch die Spitze dieser verlaufen. Da die Koordinaten von $S$ Gleichung $(1)$ nicht erfüllen, kann diese keine Symmetrieebene der Pyramide beschreiben.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CD}&=&\pmatrix{-3\\3\\0}-\pmatrix{3\\3\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{-6\\0\\0} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CS}&=&\pmatrix{0\\0\\4}-\pmatrix{3\\3\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\-3\\4} \end{array}$

Als ein möglicher Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CS} \\[5pt] &=&\pmatrix{-6\\0\\0}\times\pmatrix{-3\\-3\\4} \\[5pt] &=&\pmatrix{0-0\\0-((-6)\cdot4)\\(-6)\cdot(-3)-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\24\\18} \\[5pt] &=&6\cdot\pmatrix{0\\4\\3} \end{array}$

Mit $\frac{1}{6}\cdot\overrightarrow{n}$ als Normalenvektor folgt somit $E:4x_2+3x_3-d=0.$ Einsetzen der Koordinaten von beispielsweise $C$ liefert für $d:$

$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot3+3\cdot0-d&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+d \\[5pt] 12&=&d \end{array}$

Eine mögliche Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform ist somit gegeben durch $E:4x_2+3x_3-12=0.$

Gleichung $\text{I}$ besagt, dass der Punkt $Q$ auf der Lotgeraden durch $E$ zu $P$ liegt.

Gleichung $\text{II}$ liefert, dass der Punkt $Q$ zudem in der Ebene $E$ liegt. Der Abstand des Punktes $P$ zur Grundfläche der Pyramide, die in der Ebene $x_3=0$ liegt, beträgt $p.$

Die letzte Gleichung sagt somit aus, dass der Abstand, den der Punkt $P$ zur Grundfläche der Pyramide hat, mit dem Abstand von $P$ zu $Q,$ das heißt aufgrund der Definition von $Q$ dem Abstand von $P$ zur Ebene $E,$ übereinstimmt.

Einsetzen der Koordinaten von $S$ in die Gleichung der Ebenenschar $E_k$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 4 k \cdot 0+4 \sqrt{1-k^2} \cdot 0+3 \cdot 4-12&=&0 \\[5pt] 3\cdot4-12&=&0 \\[5pt] 0&=&0 \end{array}$

Somit ist $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten.

Wenn $\overrightarrow{n_k}$ ein Normalenvektor von $E_k$ ist, erfüllt der Schnittwinkel $\alpha$ folgende Gleichung:

$\sin(\alpha)=\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_k}\circ\overrightarrow{S}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_k}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{S}\right\vert}$

Für den Ausdruck auf der rechten Seite folgt durch Ablesen eines Normalenvektors von $E_k$ aus der Ebenengleichung:

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_k}\circ\overrightarrow{S}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_k}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{S}\right\vert} = \dfrac{3}{5}$

Somit hängt $\sin(\alpha),$ und damit auch die Größe des Schnittwinkels $\alpha,$ nicht von $k$ ab.

Der Körper, der durch die Drehung des Dreiecks $OR_kS$ um die Strecke $[OS]$ entsteht, ist ein Kegel mit Spitze $S,$ der senkrecht zur in der $x_1x_2$ -Ebene liegenden Grundfläche halbiert wurde.
Die Höhe $h$ des Kegels ist somit durch die Pyramidenhöhe gegeben, das heißt es gilt $h=4.$ Da die Seiten der Grundfläche der Pyramide $6\;\text{LE}$ lang sind, folgt für den Flächeninhalt der Grundfläche $G:$

$G=\pi\cdot\left(\dfrac{6}{2}\right)^2=9\pi\;[\text{FE}]$

Insgesamt folgt damit für das Volumen $V$ des gesuchten Körpers:

$V=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\cdot9\pi \cdot 4\right)=6\pi\;[\text{VE}]$

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