Teil B

An einem Samstagvormittag kommen nacheinander vier Familien zum Eingangsbereich eines Freizeitparks. Jede der vier Familien bezahlt an einer der sechs Kassen, wobei davon ausgegangen werden soll, dass jede Kasse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt wird. Beschreibe im Sachzusammenhang zwei Ereignisse A und B, deren Wahrscheinlichkeiten sich mit den folgenden Termen berechnen lassen:

$P(A)=\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^4};$ $P(B)=\dfrac{6}{6^4}$

Gib im Sachzusammenhang einen möglichen Grund dafür an, dass die Wahl der Kasse in der Realität nicht jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit erfolgt.

(4 BE)

Im Eingangsbereich des Freizeitparks können Bollerwagen ausgeliehen werden. Erfahrungsgemäß nutzen 15 % der Familien dieses Angebot. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien, die an einem Tag den Freizeitpark betreten, entliehen werden. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass eine Familie höchstens einen Bollerwagen ausleiht und dass die Zufallsgröße $X$ binomialverteilt ist.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 Bollerwagen ausgeliehen werden.

(2 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die fünfte Familie die erste ist, die einen Bollerwagen ausleiht.

(2 BE)

Ermittle den kleinsten symmetrisch um den Erwartungswert liegenden Bereich, in dem die Werte der Zufallsgröße $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75 % liegen.

(4 BE)

Der Freizeitpark veranstaltet ein Glücksspiel, bei dem Eintrittskarten für den Freizeitpark gewonnen werden können. Zu Beginn des Spiels wirft man einen Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. Erzielt man dabei die Zahl 6, darf man anschließend einmal an einem Glücksrad mit drei Sektoren drehen (vgl. schematische Abbildung). Wird Sektor K erzielt, gewinnt man eine Kinderkarte im Wert von 28 Euro, bei Sektor E eine Erwachsenenkarte im Wert von 36 Euro. Bei Sektor N geht man leer aus. Der Mittelpunktswinkel des Sektors N beträgt 160°. Die Größen der Sektoren K und E sind so gewählt, dass pro Spiel der Gewinn im Mittel drei Euro beträgt. Bestimme die Größe der Mittelpunktswinkel der Sektoren K und E.

Kompass mit Himmelsrichtungen N, E und K, Pfeil zeigt nach Norden.

(5 BE)

Am Ausgang des Freizeitparks gibt es einen Automaten, der auf Knopfdruck einen Anstecker mit einem lustigen Motiv bedruckt und anschließend ausgibt. Für den Druck wird aus $n$ verschiedenen Motiven eines zufällig ausgewählt, wobei jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.
Ein Kind holt sich drei Anstecker aus dem Automaten.

Bestimme für den Fall $n=5$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nicht alle drei Anstecker dasselbe Motiv haben.

(2 BE)

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert $\dfrac{(n-1)\cdot (n-2) }{n^2}$ hat.

(2 BE)

Bestimme, wie groß $n$ mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, größer als 90 % ist.

(2 BE)

Zeige rechnerisch anhand des Terms in Aufgabe b, dass bei einer sehr großen Anzahl verschiedener Motive im Automaten es nahezu sicher ist, dass die drei ausgedruckten Anstecker unterschiedliche Motive haben.

(2 BE)

(25 BE)

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A: „Die Familien bezahlen an unterschiedlichen Kassen.“

B: „Alle Familien bezahlen an derselben Kasse.“

In der Realität kann man prinzipiell nicht davon ausgehen, dass Familien nur nacheinander eintreffen, sondern auch gleichzeitig eintreffen oder beispielsweise eine Familie noch an einer Kasse beschäftigt ist und diese somit belegt, während bereits eine weitere Familie eintrifft. In dem Fall würde die zweite Familie mit hoher Wahrscheinlichkeit eine der anderen fünf Kassen wählen.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$X$ ist mit $B(200, 0,15)$ binomialverteilt.
Mit dem CAS folgt:

$P(X\geq 25) =1- P(X\leq 24)$ $\approx 1-0,1368 = 0,8632$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 86,32 % werden mindestens 25 Bollerwagen ausgeliehen.

Mit der Pfadmulitplikationsregel folgt:

$0,85\cdot0,85\cdot0,85\cdot 0,85 \cdot 0,15$ $\approx 0,0783$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 7,83 % ist die fünfte Familie die erste, die einen Bollerwagen leiht.

Der Erwartungswert von $X$ ist $\mu=n \cdot p= 200 \cdot 0,15=30.$

Es ist also das kleinste $a$ gesucht mit:

$P(30-a\leq X \leq 30+a) \geq 0,75$

Für $a=6$ ergibt sich mit dem CAS:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$P(30-6\leq X \leq 30+6)\approx 0,8028$ $\gt 0,75$

Für $a=5$ ergibt sich mit dem CAS:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$P(30-5\leq X \leq 30+5)\approx 0,7245$ $\lt 0,75$

Der kleinste symmetrische Bereich, um den Erwartungswert in dem die Werte der Zufallsgröße $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75\,\%$ liegen, ist $24\leq X \leq 36.$

Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisfelder des Glücksrads folgen aus:

$P(N)=\dfrac{160^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{4}{9}$

$P(E)=p$ und $P(K)=1-\dfrac{4}{9}-p =\dfrac{5}{9}-p$

Im Mittel beträgt der Gewinn drei Euro, das heißt der Erwartungswert ist $\mu=3.$ Das Glücksrad darf nur gedreht werden, wenn zuvor eine 6 gewürfelt wurde. Für den Erwartungswert ergibt sich:

$p=\dfrac{11}{36}$

Rechenweg für p anzeigen

Mit $p$ folgen $P(E)= \dfrac{11}{36}$ und $P(K)= \dfrac{5}{9}-\dfrac{11}{36} = \dfrac{1}{4}.$

Die Winkel der Sektoren ergeben sich mit:
$P(E) \cdot 360^{\circ}= \dfrac{11}{36}\cdot 360^{\circ}$ $= 110^{\circ}$ und $P(K)\cdot 360^{\circ}= \dfrac{1}{4}\cdot 360^{\circ}$ $= 90^{\circ}.$

Der Mittelpunktswinkel für den Sektor K ist 90° groß, der Mittelpunktswinkel des Sektors E 110°.

Mit dem Gegenereignis und der Pfadmultiplikationsregel ergibt sich:

$1-\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5} = 0,992$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,2 % haben nicht alle drei Anstecker dasselbe Motiv.

Es existieren $n\cdot (n-1) \cdot (n-2)$ Möglichkeiten die drei Anstecker mit unterschiedlichen Motiven zu bedrucken und $n^3$ Möglichkeiten 3 Anstecker zu bedrucken.
Es gilt folglich für die Wahrscheinlichkeit: $\dfrac{n\cdot (n-1) \cdot (n-2)}{n^3 }$ $=\dfrac{ (n-1) \cdot (n-2)}{n^2 }$

Die Wahrscheinlichkeit $P(\text{„Drei verschiedene Motive“})$ $=\dfrac{ (n-1) \cdot (n-2)}{n^2 }$ soll größer als $90 \,\%$ sein. Daraus folgt die Ungleichung:

$\dfrac{ (n-1) \cdot (n-2)}{n^2 }\gt 0,9$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $n \lt 0,68$ oder $n\gt 29,32.$

Es muss also insgesamt mindestens 30 verschiedene Motive geben, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden.

Der Term aus b) lässt sich folgendermaßen umformen:

$\dfrac{(n-1)\cdot(n-2)}{n^2}$ $=\dfrac{n^2-3n+3}{n^2}$ $= \dfrac{n^2}{n^2}-\dfrac{3n}{n^2}+\dfrac{3}{n^2}$ $= 1 -\dfrac{3}{n}+ \dfrac{3}{n^2}$

Für $n\to \infty$ gilt:

$1 -\underbrace{\dfrac{3}{n}}_{\to 0}+ \underbrace{\dfrac{3}{n^2}}_{\to 0} \to 1$

Für sehr große Werte von $n$ nähert sich die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Motive also immer stärker dem Wert 1 bzw. 100% an.

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