Teil B

Das elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) eines Autos kann Schleuderbewegungen und damit Unfälle verhindern.

Gehe bei den folgenden Aufgaben davon aus, dass $40\,\%$ aller Autos mit ESP ausgerüstet sind.

$200$ Autos werden nacheinander zufällig ausgewählt; die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der ausgewählten Autos mit ESP.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Autos mindestens $70$ und höchstens $80$ mit ESP ausgerüstet sind.

(3 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das fünfte ausgewählte Auto das erste mit ESP ist.

(3 BE)

Bestimme einen möglichst kleinen Wert für $a\in \mathbb{N}$ so, dass die Wahrscheinlichkeit $P(|X-\mu|\leq a)$ mindestens $65\,\%$ beträgt.

(4 BE)

In einem Parkhaus befinden sich insgesamt $100$ Parkplätze.

Im Parkhaus sind $20$ Parkplätze frei; vier Autofahrer suchen jeweils einen Parkplatz. Formuliere in diesem Sachzusammenhang zu den folgenden Termen jeweils eine Aufgabenstellung, deren Lösung sich durch den Term berechnen lässt.

$\alpha)$

$20\cdot 19\cdot 18 \cdot 17$

$\beta)$

$\binom{20}{4}$

(3 BE)

Das Parkhaus ist nun mit $100$ Autos besetzt, von denen $40$ mit ESP ausgerüstet sind.

Sieben von diesen $100$ Autos sind Kleinwagen und nicht mit ESP ausgerüstet, $90$ sind keine Kleinwagen. Betrachtet werden folgende Ereignisse.

$E:$ „Ein im Parkhaus zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet.“
$F:$ „Bei einem im Parkhaus zufällig ausgewählten Auto handelt es sich um einen Kleinwagen.“

Gib die Bedeutung von $P_K(E)$ im Sachzusammenhang an und ermittle diese Wahrscheinlichkeit.

(3 BE)

$30$ der im Parkhaus stehenden Autos werden zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrshceinlichkeit dafür, dass darunter genau $40\,\%$ mit ESP ausgerüstet sind.

(4 BE)

(20 BE)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $200$ zufällig ausgewählten Autos mindestens $70$ und höchstens $80$ mit ESP ausgerüstet sind. Hier kannst du die Binomialverteilung verwenden.
Definiere also zunächst die Verteilung der Zufallsgröße $X$ und nutze diese Verteilung anschließend für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit.

1. Schritt: Zufallsgröße definieren

Betrachte de Zufallsgröße $X$ , die die Anzahl der Autos mit ESP in der Stichprobe von $200$ zufällig ausgewählten Autos beschreibt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Auto mit ESP ausgerüstet ist, ist global gegeben und damit bei jedem Auto gleich. Außerdem gibt es bei jedem Auto nur zwei Möglichkeiten, es ist mit ESP ausgerüstet oder nicht.
$X$ kann daher als binomialverteilt angenommen werden, mit den Parametern $n=200$ und $p= 40\,\% = 0,4.$

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit bestimmen

Gesucht ist nun $P(70\leq X \leq 80).$

Du kannst diese mithilfe des Befehls für die kumulierte Binomialverteilung deines CAS berechnen. Diesen findest du im Statistik-Menü wie folgt:

Calc $\to$ Verteilung $\to$ Binom. Vert.-fkt.

Gibst du alle Parameter ein, erhältst du folgendes Ergebnis:

$P(70\leq X\leq 80) \approx 46,68\,\%$

Eingabefelder mit Zahlen zur Berechnung. Schaltflächen für

Abb. 1: Eingabe der Werte

Eingabemaske mit Werten und Schaltflächen für Berechnungen oder Einstellungen.

Abb. 2: Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den zufällig ausgewählten $200$ Autos mindestens $70$ und höchstens $80$ mit ESP ausgerüstet sind, beträgt ca. $46,68\,\%.$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeitbestimmen

Verwende die Pfadmultiplikationsregel.

Da egal ist, ob die Autos nach den ersten fünf ESP besitzen oder nicht, genügt es die ersten fünf zu betrachten.
Die ersten vier Autos sollen nicht mit ESP ausgerüstet sein, das fünfte dagegen schon. Also ergibt sich die Wahrscheinlichkeit zu:

$P(A)= 5,184\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das fünfte ausgewählte Auto das erste mit ESP ist, beträgt $5,184\,\%.$

$\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Gesucht ist der kleinste Wert für $a$ , für den die Wahrscheinlichkeit $P(|X-\mu|\leq a)$ mindestens $65\,\%$ beträgt. Da $X$ binomomialverteilt ist, kannst du den Erwartungswert $\mu$ von $X$ mit folgender Formel berechnen:

$\mu = n\cdot p$

Stelle eine Ungleichung auf und löse diese durch Ausprobieren.

Der Erwartungswert beträgt $\mu = 200\cdot 0,4 = 80$ . Du erhältst also folgende Ungleichung:

$\begin{array}[t]{rll} P(|X-80| \leq a)&\geq& 0,65 \\[5pt] \Leftrightarrow P(...)&\geq& 0,65 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Berechne mit deinem CAS wie oben die Wahrscheinlichkeit für verschiedene Werte von $a$ . Du erhältst beispielsweise:

$\begin{array}[t]{rll} &P(80-5 \leq X \leq 80+5)\\[5pt] \approx& 0,5727\\[10pt] &P(80-6 \leq X \leq 80+6)\\[5pt] \approx& 0,6518 \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Also ist $a = 6$ der kleinste Wert aus $\mathbb{N}$ für den $P(|X-\mu|\leq a)$ mindestens $65\,\%$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Aufgabenstellungen angeben

In einem Parkhaus sind $20$ Parkplätze frei, wobei $4$ Autos jeweils einen davon besetzen sollen. Gegeben sind dir zwei verschiedene Terme. Du sollst Aufgabenstellungen angeben, deren Lösungen mit dem jeweiligen Term berechnet werden können.
Hier geht es um Kombinatorik, also darum, die Möglichkeiten zu berechnen, die es gibt um die vier Autos auf die $20$ Parkplätze zu verteilen. Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen, da jedes Auto nur einen Parkplatz besetzen kann.
Abgesehen vom Zurücklegen gibt es noch die Unterscheidung zwischen „Mit Beachtung der Reihenfolge“ und „ Ohne Beachtung der Reihenfolge“. Entscheide, bei welchem es sich um welche Art handelt.

$\alpha)$

Du kannst dir dieses Zufallsexperimente wie ein Ziehen ohne Zurücklegen vorstellen. Für das erste Auto bleiben noch $20$ Möglichkeiten. Dieser Parkplatz ist dann besetzt, also bleiben für das zweite Auto noch $19$ Möglichkeiten und so weiter. Hierbei wird also die Reihenfolge beachtet. Eine mögliche Aufgabenstellung wäre also:

„Gib die Anzahl der Möglichkeiten an, in denen die vier Autos auf die $20$ Parkplätze aufgeteilt werden können, wobei es von Bedeutung ist, welches Auto auf welchem Parkplatz steht.“

$\beta)$

Hierbei handelt es sich um einen Binomialkoeffizienten. Dieser beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Eine mögliche Aufgabenstellung wäre also:

„ Gib die Anzahl der Möglichkeiten an, in denen die vier Autos auf die $20$ Parkplätze verteilt werden können, wenn dabei nicht relevant ist, welches Auto auf welchem Parkplatz steht.“

$\blacktriangleright$ Bedeutung im Sachzusammenhang angeben

Hierbei handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis $E$ eintritt unter der Bedingung, dass Ereignis $K$ bereits sicher ist. Übertrage dies auf den Sachzusammenhang.

Die angegebene Wahrscheinlichkeit, beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Kleinwagen aus dem Parkhaus mit ESP ausgerüstet ist.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit ermitteln

Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gilt folgende Formel:

$P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Von den $100$ Autos im Parkhaus sind $90$ keine Kleinwagen, $10$ sind also Kleinwagen. Von denen sind $7$ nicht mit ESP ausgestattet. Es gibt also drei Autos im Parkhaus, die Kleinwagen und mit ESP ausgestattet sind. Setze also ein:

$\begin{array}[t]{rll} &P_K(E)\\[5pt] =& \dfrac{P(E\cap K)}{P(K)}\\[5pt] =& \dfrac{\frac{3}{100}}{\frac{10}{100}}\\[5pt] =& \dfrac{0,03}{0,1} \\[5pt] =& 0,3 = 30\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Kleinwagen im Parkhaus mit ESP ausgestattet ist, beträgt $P_K(E)=30\,\%.$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $30$ zufällig ausgewählten Autos genau $40\,\%$ mit ESP ausgerüstet sind. Hierbei kannst du die hypergeometrische Verteilung verwenden. Betrachte die Zufallsvariable $Y$ , die die Anzahl der mit ESP ausgerüsteten Kleinwagen in der Stichprobe der 30 Kleinwagen aus dem Parkhaus beschreibt.

$Y$ ist dann hypergeometrisch verteilt mit den folgenden Parametern $N$ , $M$ und $n.$

$N$ beschreibt die Gesamtanzahl der Objekte in der ersten Menge, also $N=100$ Autos im Parkhaus. Aus diesen werden $n=30$ Autos zufällig ausgewählt. In der ersten Menge mit $100$ Autos befinden sich $M=40$ Autos mit ESP.
$k$ soll $40\,\%$ von $30$ sein, also ist $P(Y = 12)$ gesucht, wobei $Y$ die Anzahl der Autos mit ESP unter den $30$ ausgewählten Autos beschreibt.

Du kannst die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem CAS bestimmen. Den Befehl dazu findest du im Statistik-Menü unter:

Calc $\to$ Verteilung $\to$ Hypergeom. V einzeln

Gibst du dort die Parameter ein, erhältst du folgendes Ergebnis:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y=12)&\approx& 17,59\,\% \end{array}$

Eingabeformular mit Feldern für x, n, M und N sowie Navigationsbuttons.

Abb. 3: Eingabe der Werte

Eingabemaske mit Werten für prob, x, n, M und N sowie Schaltflächen für Zurück und Hilfe.

Abb. 4: Ergebnis

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $17,59\,\%$ befinden sich unter den $30$ zufällig ausgewählten Autos genau $40\,\%$ mit ESP.

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[4]