Teil A

Gegeben ist die Funktion $f:\, x\mapsto 0,5\cdot \ln(x+\mathrm e)$ mit maximalem Definitionsbereich $\text{D}_f.$ Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

Bestimme $\text{D}_f$ sowie die Koordinaten der Schnittpunkte von $G_f$ mit den Koordinatenachsen.

(3 BE)

Beschreibe, wie $G_f$ schrittweise aus dem Graphen der in $\mathbb{R}^+$ definierten Funktion $x\mapsto \ln x$ hervorgeht.

(2 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definierte Funktion $f:\, x\mapsto 1-\frac{1}{x^2},$ die die Nullstellen $x_1= -1$ und $x_2 = 1$ hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f,$ der symmetrisch zur $y$ -Achse ist. Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-3$ gegeben.

Abb. 1

Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.

(1 BE)

Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade $g$ einschließen.

(4 BE)

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $f.$

Abb. 2

Einer der folgenden Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Abb. 3: Graph $\text{I}$

Abb. 4: Graph $\text{II}$

Abb. 5: Graph $\text{III}$

(3 BE)

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$ Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.

(2 BE)

Betrachtet wird eine Schar von Funktionen $h_k$ mit $k\in \mathbb{R}^+,$ die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen $\text{D}_k$ unterscheiden.
Es gilt $h_k:\, x\mapsto \cos x$ mit $\text{D}_k = [0; k].$
Abbildung 6 zeigt den Graphen der Funktion $h_7.$ Gib den größtmöglichen Wert von $k$ an, sodass die zugehörige Funktion $h_k$ umkehrbar ist. Zeichne für diesen Wert von $k$ den Graphen der Umkehrfunktion von $h_k$ in Abbildung 6 ein und berücksichtige dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.

Abb. 6

(3 BE)

Gib den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten und umkehrbaren Funktion $j$ an, die folgende Bedingung erfüllt: Der Graph von $j$ und der Graph der Umkehrfunktion von $j$ haben keinen gemeinsamen Punkt.

(2 BE)

(20 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[6]

$\blacktriangleright$ Maximalen Definitionsbereich bestimmen

Die Definitionsmenge wird dadurch eingeschränkt, dass der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist. Du musst also alle $x\in \mathbb{R}$ ausschließen, für die $x+\mathrm e \leq 0$ ist:

$\begin{array}[t]{rll} x+\mathrm e &\leq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-\mathrm e \\[5pt] x &\leq& -\mathrm e \end{array}$

$x$ muss also größer als $-\mathrm e$ sein:

$\text{D} = \{x\in \mathbb{R} \mid x\gt -\mathrm e\}$

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte bestimmen

Für den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse:

$x= 1-\mathrm e$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f$ schneidet die $x$ -Achse im Punkt $S_x(1-\mathrm e\mid 0).$

Für den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse:

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 0,5\cdot \ln (0+\mathrm e) \\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0\mid 0,5).$

$\blacktriangleright$ Zusammenhang der Graphen beschreiben

Durch den Summanden $+\mathrm e$ im Argument des Logarithmus, wird der Graph von $f$ im Vergleich zum Graphen von $x\mapsto \ln x$ zunächst um $\mathrm e$ Einheiten in negative $x$ -Richtung verschoben.
Anschließend wird der Graph durch den Faktor $0,5$ im Funktionsterm um den Faktor $0,5$ in $y$ -Richtung gestaucht.

$\blacktriangleright$ Schnittstelle zeigen

Damit sich der Graph von $f$ und $g$ an der Stelle $x$ schneiden, muss $f(x) = -3$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}.$

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt rechnerisch bestimmen

Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$ -Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.

Abb. 1: Skizze

Sowohl die Nullstellen von $f$ als auch die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt $A_1$ der rechten grünen Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0,5$ und $b=1$ berechnen:

$A_1 = 0,5$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $3.$ Der zugehörige Flächeninhalt ist also:

$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 1\cdot 3 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:

$A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4$

Die Fläche, die der Graph von $f,$ die Gerade $g$ und die $x$ -Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion $f.$
Gehe also nacheinander die Graphen $\text{I}$ bis $\text{III}$ durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von $f$ passen.

Graph $\text{I}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben. Dies trifft zu, da der Graph von $f$ an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph $\text{I}$ die $y$ -Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8)$ schneidet. An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ also die Steigung $-0,8$ besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung $-0,8$ besitzt.
Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von $f$ gehört.
Graph $\text{II}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph $\text{II}$ kann also nicht zur Ableitungsfunktion $f‘$ von $f$ gehören.
Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$ -Achse wie Graph $\text{I}$ und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die $y$ -Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.

Graph $\text{I}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$

$\blacktriangleright$ Monotonieverhalten angeben

Im Intervall $[1;3]$ liegt der Graph von $f$ unterhalb der $x$ -Achse. $f$ besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, ist $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von $F.$
Da die Funktionswerte von $f$ auf dem Intervall $[1;3]$ negativ sind, ist die Steigung des Graphen von $F$ auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion $F$ fällt also streng monoton auf dem Intervall $[1;3].$

$\blacktriangleright$ Größtmöglichen Wert angeben

Damit eine Funktion umkehrbar ist, darf sie jeden Funktionswert nur einmal annehmen. Da nur der Definitionsbereich von $k$ abhängt, musst du den Definitionsbereich $\text{D}_k = [0;k]$ also so wählen, dass jeder Funktionswert nur einmal angenommen wird.
Dazu kannst du Abbildung 6 und dein eigenes Wissen über den Cosinus verwenden. Der Graph der Cosinusfunktion nimmt an der Stelle $x= \pi$ ihren Tiefpunkt an. Danach steigt der Graph wieder und nimmt somit einen Funktionswert an, den er vorher bereits hatte.
$k$ darf also nicht größer als $k=\pi$ sein. $k=\pi$ ist damit der größtmögliche Wert von $k,$ für den die Funktion $h_k$ noch umkehrbar ist.

$\blacktriangleright$ Graphen der Umkehrfunktion zeichnen

Der Graph einer Umkehrfunktion geht aus dem Graphen der Ausgangsfunktion durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden mit der Gleichung $y=x$ hervor. Diese kannst du zur Orientierung einzeichnen.

Abb. 2: Graph der Umkehrfunktion von $h_{\pi}$

$\blacktriangleright$ Funktionsterm angeben

Ein mögliches Beispiel ist die $\mathrm e$ -Funktion. Diese ist auf $\mathbb{R}$ definiert und umkehrbar. Die zugehörige Umkehrfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion. Die beiden Graphen schneiden sich nicht.
$j(x)=\mathrm e^x$ ist ein mögliches Beispiel.

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]