Teil B

Um die Wirksamkeit eines Pflanzenschutzmittels gegen Pilzbefall nachzuweisen, wurden zahlreiche Versuche durchgeführt, bei denen landwirtschaftliche Nutzpflanzen zunächst mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht wurden. Im Mittel sind dabei $5\,\%$ der Pflanzen von Pilzen befallen worden.

Bei einem weiteren solchen Versuch mit $n$ Pflanzen beschreibt die Zufallsgröße $X_n$ die Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass $X_n$ binomialverteilt ist mit den Parametern $n$ und $p = 0,05.$

Es werden $15$ Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

$E_1:$ "Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen."
$E_2:$ "Höchstens zwei Pflanzen werden von Pilzen befallen."
$E_3:$ "Mindestens die Hälfte, aber höchstens drei Viertel der Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall."

(6 BE)

Bestimme den kleinsten Wert von $n,$ für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens $99\,\%$ beträgt. Entscheide, ob sich dieser kleinste Wert von $n$ vergrößert oder verkleinert, wenn sich $p$ deutlich vergrößert.

(4 BE)

Ermittle unter der Voraussetzung, dass bei einem Versuch mit $400$ Pflanzen der Wert der Zufallsgröße $X_{400}$ um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, die kleinst- und die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden.

(4 BE)

Allgemein gilt für eine Zufallsgröße $X$ mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ folgende Ungleichung für $k \gt 0:$

$P(\mu - k \cdot \sigma \lt X \lt \mu + k \cdot \sigma) \geq 1- \dfrac{1}{k^2}$

Erläutere die Aussage dieser Ungleichung für $k=2.$

(3 BE)

Um die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen einen nur in den Tropen auftretenden Pilz zu untersuchen, wurde ein Experiment mit $150$ Pflanzen durchgeführt. Dabei wurden $70\,\%$ der Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend alle $150$ Pflanzen mit den Sporen des tropischen Pilzes besprüht.
Am Ende des Experiments war die Anzahl der unbehandelten Pflanzen ohne Pilzbefall dreimal so groß wie die Anzahl $x$ der behandelten Pflanzen mit Pilzbefall. Insgesamt wurden $19$ Pflanzen vom tropischen Pilz befallen.
Aus den $150$ Pflanzen wird eine Pflanze zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$S:$ "Die Pflanze wurde mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt."
$T:$ "Die Pflanze wurde vom tropischen Pilz befallen."

Bestimme $x$ unter Zuhilfenahme einer Vierfeldertafel.

[Zur Kontrolle: $x=13$ ]

(4 BE)

Berechne $P_S(T)$ und $P_{\overline{S}}(T)$ und begründe, dass aus den Ergebnissen des Experiments nicht auf die Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen den tropischen Pilz geschlossen werden kann.

(4 BE)

(25 BE)

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$\begin{array}[t]{rll} P(E_1)&=& P_{15;0,05}(X_{15}) \\[5pt] &=& 0,4633 \\[5pt] &=& 46,33\;\text{%} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(E_2)&=& P_{15;0,05}(X_{15}\leq2) \\[5pt] &=& 0,9638 \\[5pt] &=& 96,38\;\text{%} \end{array}$

$P(E_3) = 16,55\;\text{%}$

Rechenweg anzeigen

Wert von $n$ bestimmen

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P_{n;0,05}(X_{n}\geq 1)&\geq& 0,99 \\[5pt] 1-P_{n;0,05}(X_{n}=0)&\geq& 0,99 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -P_{n;0,05}(X_{n}=0)&\geq& -0,01 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P_{n;0,05}(X_{n}=0)&\leq&0,01 \end{array}$

Mit dem CAS ergibt sich $P_{89;0,05}(X_{89}=0)=0,0104$ und $P_{90;0,05}(X_{90}=0)=0,0099.$

Somit muss $n$ mindestens $90$ betragen.

Entscheidung

Der kleinste Wert von $n$ verkleinert sich, wenn sich $p$ deutlich vergrößert.

Umso höher die Wahrscheinlichkeit eines Befalls, desto geringer die Wahrscheinlichkeit, dass keine Pflanze befallen werden.

Es gilt:

$X$ ist binomialverteilt mit $n=400$ und $p=0,05.$

$X$ entspricht der Anzahl der Pflanzen, die mit Pilzen befallen sind.

$\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0,05 = 20$

$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=&\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} & \\[5pt] &=&\sqrt{400 \cdot 0,05 \cdot (1 - 0,05)} & \\[5pt] &=&\sqrt{19} & \\[5pt] &\approx& 4,36 \end{array}$

Nach Voraussetzung liegt der Zufallswert $X_{400}$ somit im Intervall $[20-4;20+4]=[16;24].$

Mindestens 16 und höchstens 24 Pflanzen von 400 sind befallen.

Kleinstmögliche relative Häufigkeit: $\dfrac{16}{400}=0,04$

Größtmögliche relative Häufigkeit: $\dfrac{24}{400}=0,06$

Für $k = 2$ gilt:

$P(\mu - 2 \cdot \sigma \lt X \lt \mu + 2 \cdot \sigma) \geq \dfrac{3}{4}$

Die Ungleichung hat die Aussage: „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Trefferanzahl $X$ weniger als zwei mal die Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, soll mindestens $75\;\text{%}$ betragen.“

Die Aufgabenstellung ergibt folgende Vierfeldertafel:

	$\color{#fff}{S}$	$\color{#fff}{\overline{S}}$
$\color{#fff}{T}$	$x$	$19-x$	19
$\color{#fff}{\overline{T}}$	$105-x$	$45-(19-x)$	131
	105	45	150

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 45-(19-x)&=& 3x \\[5pt] x+26&=& 3x &\quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt] 26&=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 13&=& x \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P_S(T)&=& \dfrac{P(S\cap T)}{P(S)} \\[5pt] &=& \dfrac{x}{105} \\[5pt] &=& \dfrac{13}{105} \\[5pt] &=& 0,1238 \\[5pt] &=& 12,38\;\text{%} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{S}}(T)&=&\dfrac{P(\overline{S}\cap T)}{P(\overline{S})} \\[5pt] &=& \dfrac{(19-x)}{45} \\[5pt] &=& \dfrac{6}{45} \\[5pt] &=& 0,1333 \\[5pt] &=& 13,33 \;\text{%} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Pflanze trotz der Behandlung mit dem Pflanzenschutzmittel von dem tropischen Pilz befallen wird, ist nur geringfügig kleiner als die Wahrscheinlichkeit, dass eine Pflanze ohne die Behandlung von dem tropischen Pilz befallen wird. Somit kann nicht auf die Wirksamkeit des Schutzmittels geschlossen werden.

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