Teil B

Gegeben ist die Funktion

$f:\quad x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+...$

mit Definitionsbereich $\mathbb{R}.$

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse sowie das Verhalten von $f$ an den Grenzen des Definitionsbereichs an.

(2 BE)

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Für $50 \lt x \lt 130$ gibt es ein Paar von $x$ -Werten, die sich um $60$ unterscheiden und für die die zugehörigen Funktionswerte übereinstimmen. Bestimme dieses Paar von $x$ -Werten und gib den zugehörigen Funktionswert an.

(4 BE)

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Begründe, dass sich aus den Informationen aus Aufgabe 1b schließen lässt, dass $f$ für $50 \lt x \lt 130$ mindestens eine Extremstelle hat.

(3 BE)

$\,$

Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $f$ und bestimme die Art dieser Extrempunkte.
[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $20,$ $100$ und $200.$ ]

(5 BE)

$\,$

Begründe ohne weitere Rechnung, dass $f$ genau zwei Nullstellen hat.

(2 BE)

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Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung $x = 240$ ein Flächenstück ein. Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$ -Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.

(4 BE)

Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d. h. den Anteil der Glukose im Blut, ständig zu messen. Die gegebene Funktion $f$ beschreibt für $0 \leq x \leq 240$ modellhaft die Entwicklung des Glukosewerts eines Patienten. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter $\left(\frac{\text{mg}}{\text{dl}}\right).$ Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ im betrachteten Bereich.

Abb. 1

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Hohe Glukosewerte über längere Zeit gelten als Risikofaktor. Ermittle für den betrachteten Zeitraum, wie lange Glukosewerte über $170\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ gemessen wurden.

(3 BE)

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Gib die Bedeutung des Terms $\dfrac{f(100)-f(20)}{100-20}$ im Sachzusammenhang an und veranschauliche den Term in der Abbildung durch eine passende Gerade.

(2 BE)

$\,$

Ermittle für den betrachteten Zeitraum, wie lange die momentane Änderungsrate des Glukosewerts insgesamt zwischen $-0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute und $+0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute lag.

(4 BE)

$\,$

Der Mittelwert der Funktionswerte von $f$ für $x \in [ a;b]$ kann mit dem folgenden Term berechnet werden:

$\dfrac{1}{b-a}\cdot \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm dx$

Berechne damit für den Zeitraum von $20$ Minuten bis $100$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den Mittelwert aller Glukosewerte. Bestimme dessen prozentuale Abweichung vom Durchschnittswert derjenigen Glukosewerte, die in diesem Zeitraum im Abstand von jeweils zehn Minuten, beginnend mit dem Zeitpunkt $20$ Minuten nach Beobachtungsbeginn, gemessen wurden.

(5 BE)

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Zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich. Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion $g$ beschrieben werden, die folgende Bedingung erfüllt:

Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhängig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion $f$ oder mithilfe der Funktion $g$ ermittelt werden.

Zur Bestimmung eines Funktionsterms von $g$ sollen zunächst die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen

$h_k:\quad x\mapsto 50- ...$

Funktion anzeigen

mit $k\in \mathbb{R}^+$ betrachtet werden.

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Bestimme den Wert von $k$ so, dass die momentane Änderungsrate, die sich unter Verwendung von $h_k$ für den Zeitpunkt $0$ ergibt, mit der momentanen Änderungsrate übereinstimmt, die $f$ für den Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn liefert.

(2 BE)

$\,$

Die für die Funktion $g$ angegebene Bedingung lässt sich erfüllen, wenn der Graph von $g$ durch eine geeignete Verschiebung aus dem Graphen von $h_k$ für $k= \frac{308}{3.125}$ hervorgeht. Beschreibe diese Verschiebung und gib einen Funktionsterm von $g$ an.

(4 BE)

(40 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunkts angeben

$f(0)=140$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0\mid 140).$

$\blacktriangleright$ Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs untersuchen

Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion vierten Grades. Das Grenzverhalten wird durch den höchsten Exponenten bestimmt. Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)&=& -\infty \\[10pt] \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)&=& -\infty \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

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$\blacktriangleright$ Wertepaar bestimmen

Es ist $x$ gesucht mit $f(x)=f(x+60)$ und $50\lt x\lt 130.$ Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$x = 69,1528$

Vollständige Lösung anzeigen

Die übrigen Lösungen der Gleichung liegen außerhalb des geforderten Bereichs.
Das gesuchte Paar von $x$ -Werten ist also $x_1= 69,1528$ und $x_2= 129,1528.$ Diese haben einen Abstand von $60$ und den gemeinsamen Funktionswert $f(69,1528)=120,203.$

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$\blacktriangleright$ Extremstelle begründen

Aus Teil 1b wissen wir, dass es im Bereich $]50;130[$ zwei Stellen mit gleichem Funktionswert gibt. Da es sich bei $f$ um eine ganzrationale Funktion vierten Grades handelt, ist der Funktionswert zwischen diesen beiden Stellen nicht identisch konstant, sondern verändert sich. Er muss also nach der ersten Stelle entweder zunächst ansteigen und dann wieder abfallen, um bei $x_2$ wieder denselben Funktionswert zu erreichen, oder umgekehrt. In beiden Fällen muss es zwischen den beiden Stellen $x_1$ und $x_2$ einen Steigungswechsel von steigend zu fallend oder umgekehrt und damit einen Vorzeichenwechsel der Steigung von positiv zu negativ oder umgekehrt geben. Stellen, an denen ein solcher Wechsel stattfindet, sind Extremstellen. Daher muss es mindestens eine Extremstelle zwischen $x_1$ und $x_2$ geben.

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$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte bestimmen

Mit dem CAS kannst du die Ableitungen definieren:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{\text{d}}{\text{d}\Box}$

Mit dem solve-Befehl und dem Ableitungsbefehl des CAS folgt für das notwendige Kriterium für Extremstellen:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& 0 \\[5pt] x_3&=& 20 \\[5pt] x_4&=& 100 \\[5pt] x_5&=& 200 \end{array}$

Für das hinreichende Kriterium folgt ebenfalls mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x_3)& \lt 0\\[10pt] f‘‘(x_4)& \gt 0 \\[10pt] f‘‘(x_5)& \lt 0 \\[10pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

An der Stelle $x_3$ und $x_5$ besitzt der Graph von $f$ also jeweils einen Hochpunkt und an der Stelle $x_4$ einen Tiefpunkt. Für die $y$ -Koordinaten folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x_3)&=& f(20) \\[5pt] &=& \frac{11.584}{75} \\[10pt] f(x_4)&=& f(100) \\[5pt] &=& \frac{320}{3} \\[10pt] f(x_5)&=& f(200) \\[5pt] &=& \frac{580}{3} \\[10pt] \end{array}$

Der Graph von $f$ besitzt zwei Hochpunkte $H_1\left(20\mid \frac{11.584}{75}\right)$ und $H_2\left(200\mid \frac{580}{3}\right)$ und einen Tiefpunkt $T\left(100\mid \frac{320}{3}\right).$

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$\blacktriangleright$ Anzahl der Nullstellen begründen

Die drei Extrempunkte des Graphen von $f$ liegen oberhalb der $x$ -Achse. Im Intervall $[20;200]$ kann $f$ daher keine Nullstellen besitzen, da sonst der Tiefpunkt eine negative $y$ -Koordinate haben müsste.

In Aufgabenteil 1a wurde das Verhalten von $f$ in den Grenzen des Definitionsbereichs untersucht. Da $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = -\infty$ und $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty$ gilt, muss der Graph von $f$ aber für $x \lt 20$ genau einmal die $x$ -Achse schneiden. Würde er sie zweimal schneiden, gäbe es für $x\lt 20$ noch einen weiteren Tiefpunkt. Gleiches gilt für $x\gt 200.$ Insgesamt besitzt $f$ daher genau zwei Nullstellen.

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$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Gesucht ist eine Gerade $x=b$ mit:

$\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{240}f(x)\;\mathrm dx$ $= \displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx$

Mit dem solve-Befehl des CAS erhält man drei Lösungen für $b.$ Da die Gerade die Fläche halbieren soll, muss $b\in [0;240]$ sein. Die einzige passende Lösung ist $b\approx 135,461.$

Eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$ -Achse verläuft und das Flächenstück halbiert, lautet $x = 135,461.$

$\blacktriangleright$ Länge des Zeitraums ermitteln

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$f(x) \gt 170$ $\Leftrightarrow$ $169,839 \lt x \lt 222,766.$

Es werden also ca. $53$ Minuten lang Glukosewerte über $170\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ gemessen.

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$\blacktriangleright$ Bedeutung im Sachzusammenhang angeben

Der angegebene Term beschreibt die durchschnittliche Steigung des Graphen von $f$ zwischen den beiden Punkten $(20\mid f(20))$ und $(100\mid f(100)).$ Dies entspricht im Sachzusammenhang der durchschnittlichen Abnahme des Glukosewertes pro Minute im Zeitraum von $20$ Minuten bis $100$ Minuten nach Beobachtungsbeginn.

$\blacktriangleright$ Term veranschaulichen

Abb. 1 Veranschaulichung des Terms

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$\blacktriangleright$ Zeitraum ermitteln

Die momentane Änderungsrate des Glukosewertes wird durch die 1. Ableitung $f‘$ von $f$ beschrieben. Gesucht sind also alle Werte von $x$ für die $-0,3 \leq f‘(x) \leq 0,3$ ist. Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich drei Intervalle:

$15,213\leq x \leq 25,8027,$ eine Dauer von ca. $10,59$ Minuten
$90,2735\leq x \leq 109,26,$ eine Dauer von ca. $18,99$ Minuten.
$195,527 \leq x\leq 203,924,$ eine Dauer von ca. $8,40$ Minuten.

Insgesamt ergibt sich also eine Dauer von ca. $38$ Minuten, in denen die momentane Änderungsrate des Glukosewertes zwischen $-0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute und $+0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute beträgt.

$\,$

$\blacktriangleright$ Mittelwert bestimmen

Mit dem CAS ergibt sich:

$... = 129,195$

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Der Mittelwert aller Glukosewerte im Zeitraum von $20$ Minuten bis $100$ Minuten nach Beobachtungsbeginn beträgt $129,195\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}.$

$\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung vom Durchschnittswert bestimmen

Der Durchschnittswert ergibt sich zu:

$... = 129,347$

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Die prozentuale Abweichung ist also:

$... \approx 0,1\,\%$

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Der durch das Integral berechnete Mittelwert weicht um ca. $0,1\,\%$ vom Durchschnittswert der Glukosewerte ab.

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$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen

Die momentane Änderungsrate wird jeweils durch die erste Ableitung beschrieben. Es soll also gelten $h_k‘(0)=f‘(240).$ Mit dem Ableitungs- und dem solve-Befehl des CAS folgt:

$k = \frac{308}{3.125}$

$\,$

$\blacktriangleright$ Verschiebung beschreiben

Durch den angegebenen Wert von $k$ ist laut 3 e) bereits die geforderte momentane Änderungsrate für $h_k$ erfüllt. Damit dies erhalten bleibt, darf der Graph von $h_k$ nur in $y$ -Richtung verschoben werden. Dies hat keinen Einfluss auf die momentane Änderungsrate, aber auf die Funktionswerte.
Es ist also:

$g(x)= ...$

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$c$ muss nun so gewählt werden, dass $g(0)=f(240)$ ist. Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$c=\frac{2.732}{25}$

Insgesamt ergibt sich für $g$ folgender Funktionsterm:

$g(x)=...$

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Der Graph von $h_k$ für $k = \frac{308}{3.125}$ muss um $\frac{2.732}{25}$ Einheiten in positive $y$ -Richtung verschoben werden, damit sowohl die momentane Änderungsrate als auch der Glukosewert mit der Modellierung durch die Funktion $f$ übereinstimmt. Ein Term der Funktion $g$ lautet:

$g(x)=...$

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Bildnachweise [nach oben]

[1]