Stochastik Prüfungsteil A

Aufgabengruppe 1

1 Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießeinlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit der Länge 5 und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ beschrieben.

a) Gib für die folgenden Ereignisse A und B jeweils einen Term an, der die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in Abhängigkeit von $p$ beschreibt.

A: „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“
B: „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“

(3P)

b) Erläutere anhand eines Beispiels, dass die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen der Realität nicht gerecht wird.

(2P)

2 Ein Moderator lädt zu einer Talkshow drei Politiker, eine Journalistin und zwei Mitglieder einer Bürgerinitiative ein. Für die Diskussionsrunde ist eine halbkreisförmige Sitzordnung vorgesehen, bei der nach den Personen unterschieden wird und der Moderator den mittleren Platz einnimmt.

a) Gib einen Term an, mit dem die Anzahl der möglichen Sitzordnungen berechnet werden kann, wenn keine weiteren Einschränkungen berücksichtigt werden.

(1P)

b) Der Sender hat festgelegt, dass unmittelbar neben dem Moderator auf einer Seite die Journalistin und auf der anderen Seite einer der Politiker sitzen soll. Berechne unter Berücksichtigung dieser weiteren Einschränkung die Anzahl der möglichen Sitzordnungen.

(4P)

(10P)

Aufgabengruppe 2

1 In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieser wird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder zurückgelegt.

a) Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen.“ berechnet werden kann.

(2P)

b) Beschreibe im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den angegebenen Term berechnet werden kann.

$\alpha)\;1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^8$

$\beta)\;\left(\dfrac{3}{5}\right)^8+8\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^7$

(3P)

2 Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße $X$ festgelegt, welche die drei Werte $-2$ , $1$ und $2$ annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt.

Balkendiagramm mit Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Werte von k, dargestellt in grünen Balken.

a) Ermittle mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ .

(2P)

b) Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße $X$ notiert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist.

(3P)

(10P)

Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Die Schießeinlage beim Biathlon wird modellhaft durch eine Bernoullikette mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$ beschrieben. Für eine Bernoullikette mit $n$ Versuchen, $k$ Treffern und einer Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gilt:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Ereignis A

Das Ereignis A lautet „Der Biathlet trifft bei genau vier Schüssen.“

Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, kannst du die oben angegebene Formel für die Bernoullikette verwenden. Hier gilt $n=5$ und $k=4$ , du sollst die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ angeben.

$\begin{array}[t]{rll} P(X=4)&=&\binom{5}{4} \cdot p^4 \cdot (1-p)^{5-4} \\[5pt] &=&\dfrac{5!}{4! \cdot 1!}\cdot p^4 \cdot (1-p)^{1}\\[5pt] &=&5 \cdot p^4\cdot (1-p) \end{array}$

Somit gilt $P(A) = 5 \cdot p^4\cdot (1-p)$ .

Ereignis B

Das Ereignis B lautet „Der Biathlet trifft nur bei den ersten beiden Schüssen.“

Die Wahrscheinlichkeit, für die ersten beiden Schüsse ist $p$ , da der Biathlet trifft. Für die drei letzten Schüsse gilt dann das Gegenereignis $1-p$ . Für die gesuchte Wahrscheinlich erhältst du somit

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&p \cdot p \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \\[5pt] &=&p^2 \cdot (1-p)^3 \end{array}$

Somit gilt $P(B) = p^2 \cdot (1-p)^3$ .

b) $\blacktriangleright$ Begründe, warum die Bernoullikette nicht der Realität entspricht

Du sollst anhand eines Beispiels erläutern, warum die modellhafte Beschreibung der Schießeinlage durch eine Bernoullikette unter Umständen nicht der Realität entspricht.

Bei einer Bernoullikette haben alle Schüsse die gleiche Trefferwahrscheinlichkeit. Kommt ein Biathlet an den Schießstand, so ist der Puls von der Langlaufstrecke noch erhöht. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer im ersten Schuss müsste somit geringer sein, als die der darauf folgenden Schüsse. Außerdem spielt der Wind beim Schießen eine große Rolle und beeinflusst somit auch die Trefferwahrscheinlichkeit.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Anzahl der möglichen Sitzordnungen bestimmen

Ein Moderator lädt zu seiner Talkshow drei Politiker, einen Journalistin und zwei Mitglieder der Bürgerinitiative ein. Er hat also insgesamt sechs Gäste. Die Anzahl der möglichen Sitzordnungen ist dann die Anzahl der Permutationen von sechs Objekten:

$\text{Anzahl Permutationen } = 6! = 720$

Du kannst jedoch die drei Politikern und die zwei Mitglieder der Bürgerinitiative untereinander nicht unterscheiden. Deshalb musst du durch die möglichen Permutationen innerhalb dieser Gruppen dividieren. Somit erhältst du folgenden Term für die möglichen Sitzordnungen:

$\begin{array}[t]{rll} \text{Anzahl Sitzordnungen}&=& \dfrac{6!}{2!\cdot 3!}\\[5pt] &=&\dfrac{720}{12}\ = \ 60 \end{array}$

b) $\blacktriangleright$ Anzahl der möglichen Sitzordnungen mit Einschränkungen

Nun soll die Journalistin und einer der Politiker neben dem Moderator sitzen. Du sollst die Anzahl der möglichen Sitzordnungen berechnen, unter der Berücksichtigung der Einschränkung.

Es bleiben also vier Plätze übrig, auf die du zwei Mitglieder der Bürgerinitiative und zwei Politiker verteilen musst. Berechne zunächst wieder die Anzahl der Permutationen und teile dann durch die möglichen Permutationen innerhalb der Gruppen.

$\text{Anzahl Permutationen } = 4! = 24$

Für den Term der möglichen Sitzordnungen der verbleibenden vier Plätze gilt dann

$\begin{array}[t]{rll} \text{Anzahl Sitzordnungen}&=& \dfrac{4!}{2!\cdot 2!}\\[5pt] &=&\dfrac{24}{4}\ = \ 6 \end{array}$

Du musst außerdem noch beachten, dass es für den Politiker, der neben dem Moderator sitzt, drei Möglichkeiten gibt.

$3 \cdot 6 = 18$ .

Da es einen Platz links und einen Platz rechts des Moderators gibt, gibt es zwei Möglichkeiten den Politiker und die Journalistin anzuordnen. Die Anzahl der möglichen Sitzordnungen mit den angegebenen Einschränkungen ist somit

$\text{Anzahl Sitzordnungen} = 2 \cdot 18 = 36$ .

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Es wird acht mal mit Zurücklegen gezogen. Das bedeutet, dass sich immer zehn Kugeln in der Urne befinden. Du sollst die Wahrscheinlichkeit von folgendem Ereignis berechnen:

E: „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen.“

Da hier acht Kugeln gezogen werden, entspricht das vier roten und vier blauen Kugeln.

Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit, eine rote bzw. eine blaue Kugel zu ziehen.

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{rot})&=&\dfrac{4}{10} \ = \ \dfrac{2}{5} \\[5pt] P(\text{blau})&=&\dfrac{6}{10} \ = \ \dfrac{3}{5} \end{array}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeit vier rote und vier blaue Kugeln zu ziehen mit der Anzahl der möglichen Permutationen dieser 8 Kugeln multiplizierst. Beachte dabei, dass die Kugeln nicht unterscheidbar sind, du musst also noch durch die Anzahl der Permutationen innerhalb der Gruppe teilen.

$P(E) = P(\text{vier rote Kugeln})\cdot P(\text{vier blaue Kugeln}) \cdot \text{Anzahl der Permutationen}$

Berechne zunächst die Anzahl der Permutationen:

$\begin{array}[t]{rll} \text{Anzahl der Permutationen}&=& \dfrac{8!}{4!\cdot 4!}\\[5pt] &=&\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\\[5pt] &=&70 \end{array}$

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann

$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=&\left(\dfrac{2}{5}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{3}{5}\right)^4 \cdot 70 \\[5pt] &\approx& 0,2322 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, gleich viele rote und blaue Kugeln zu ziehen beträgt 23,22%.

b) $\blacktriangleright$ Ereignis beschreiben

Du sollst im Sachzusammenhang ein Ereignis beschreiben, das durch die gegebenen Wahrscheinlichkeiten berechnet werden kann.

$\alpha)$ Du sollst das Ereignis zu folgender Wahrscheinlichkeit beschreiben

$\;1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^8$

Der Teil $\left(\frac{3}{5}\right)^8$ bedeutet, dass acht blaue Kugeln gezogen werden, da die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen $\frac{3}{5}$ beträgt.

Der Term $1-P(E)$ steht für das Gegenereignis von E.

Das Ereignis zur gegebenen Wahrscheinlichkeit lautet:

E: „Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen.“

$\beta)$ Du sollst das Ereignis zu folgender Wahrscheinlichkeit beschreiben

$\left(\dfrac{3}{5}\right)^8+8\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\left(\dfrac{3}{5}\right)^7$

Der Teil $\left(\frac{3}{5}\right)^8$ bedeutet, dass acht blaue Kugeln gezogen werden, da die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen $\frac{3}{5}$ beträgt.

Der Teil $\frac{2}{5}\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^7$ bedeutet, dass eine rote und sieben blaue Kugeln gezogen werden. Die Anzahl der Möglichkeiten für eine rote und sieben blaue Kugeln ist

$\dfrac{8!}{7! \cdot 1!} = 8$

Da die beiden Wahrscheinlichkeiten addiert werden, werden entweder acht blaue Kugeln gezogen oder eine rote und sieben blaue Kugeln. Das Ereignis kann somit folgendermaßen lauten:

E: „Es werden mindestens sieben blaue Kugeln gezogen.“

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Erwartungswert bestimmen

Eine Zufallsvariable $X$ kann die Werte -2, 1 und 2 annehmen. Du sollst den Erwartungswert von $X$ bestimmen.

Für den Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ mit Ergebnisraum $\Omega = \left\{x_1 , \ldots, x_n \right\}$ gilt folgende Formel

$E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$

Die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Werte kannst du der Abbildung entnehmen.

$P(X=-2) = 0,25$
$P(X=1) = 0,25$
$P(X=2) = 0,5$

Berechne den Erwartungswert mit der oben angegebenen Formel:

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{3} x_i \cdot P(X=x_i)\\[5pt] &=&(-2) \cdot 0,25 + 1 \cdot 0,25 + 2 \cdot 0,5 \\[5pt] &=&-0,5 + 0,25 + 1\\[5pt] &=&0,75 \end{array}$

Der Erwartungswert von $X$ beträgt 0,75.

b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Das Zufallsexperiment wird zwei mal durchgeführt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Summe der beiden Zahlen negativ ist.

Die Summe ist negativ, falls das Zufallsexperiment zweimal -2 als Ergebnis liefert (Summe = -4) und falls es einmal -2 und einmal 1 als Ergebnis liefert (Summe = -1).

$P(-4) = P(X=-2) \cdot P(X=-2) = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625$

$P(-1) = P(X=-2) \cdot P(X=1) + P(X=1) \cdot P(X=-2)$ $= 0,25 \cdot 0,25 + 0,25 \cdot 0,25$ $= 0,0625 + 0,0625 = 0,125$

Die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Ergebnisse negativ ist.

$P(\text{Summe negativ}) = 0,0625 + 0,125 = 0,1875$

Die Summe ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 18,75 % negativ.