Teil B

Ein Unternehmen organisiert Fahrten mit einem Ausflugsschiff, das Platz für 60 Fahrgäste bietet.

Betrachtet wird eine Fahrt, bei der das Schiff voll besetzt ist. Unter den Fahrgästen befinden sich Erwachsene, Jugendliche und Kinder. Die Hälfte der Fahrgäste isst während der Fahrt ein Eis, von den Erwachsenen nur jeder Dritte, von den Jugendlichen und Kindern $75 \, \%.$
Berechne, wie viele Erwachsene an der Fahrt teilnehmen.

(3 BE)

Möchte man an einer Fahrt teilnehmen, so muss man dafür im Voraus eine Reservierung vornehmen, ohne dabei schon den Fahrpreis bezahlen zu müssen. Erfahrungsgemäß erscheinen von den Personen mit Reservierung einige nicht zur Fahrt. Für die 60 zur Verfügung stehenden Plätze lässt das Unternehmen deshalb bis zu 64 Reservierungen zu. Es soll davon ausgegangen werden, dass für jede Fahrt tatsächlich 64 Reservierungen vorgenommen werden. Erscheinen mehr als 60 Personen mit Reservierung zur Fahrt, so können nur 60 von ihnen daran teilnehmen; die übrigen müssen abgewiesen werden.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen. Vereinfachend soll angenommen werden, dass $X$ binomialverteilt ist, wobei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, $10\,\%$ beträgt.

Gib einen Grund dafür an, dass es sich bei der Annahme, die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt, im Sachzusammenhang um eine Vereinfachung handelt.

(1 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Person mit Reservierung abgewiesen werden muss.

(3 BE)

Für das Unternehmen wäre es hilfreich, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine Person mit Reservierung abweisen zu müssen, höchstens ein Prozent wäre. Dazu müsste die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, mindestens einen bestimmten Wert haben. Ermittle diesen Wert auf ganze Prozent genau.

(3 BE)

Das Unternehmen richtet ein Online-Portal zur Reservierung ein und vermutet, dass dadurch der Anteil der Personen mit Reservierung, die zur jeweiligen Fahrt nicht erscheinen, zunehmen könnte. Als Grundlage für die Entscheidung darüber, ob pro Fahrt künftig mehr als 64 Reservierungen zugelassen werden, soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens $10\,\%.$ “ mithilfe einer Stichprobe von 200 Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden. Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Anzahl der für eine Fahrt möglichen Reservierungen nur dann zu erhöhen, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.

Ermittle die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

Entscheide, ob bei der Wahl der Nullhypothese eher das Interesse, dass weniger Plätze frei bleiben sollen, oder das Interesse, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen, im Vordergrund stand. Begründe deine Entscheidung.

(3 BE)

Beschreibe den zugehörigen Fehler zweiter Art sowie die daraus resultierende Konsequenz im Sachzusammenhang.

(2 BE)

(20 BE)

Die Wahrscheinlichkeit $p$ für einen Erwachsenen ergibt sich mit den Pfadregeln wie folgt:

Rechenweg anzeigen

$p = 0,6$

An der Fahrt nehmen somit $0,6\cdot 60 = 36$ Erwachsene teil.

Um $X$ als binomialverteilt zu betrachten, wird vereinfachend davon ausgegangen, dass alle Personen unabhängig voneinander zur Fahrt erscheinen oder nicht. Da allerdings Kinder und Erwachsene Reservierungen für die Fahrt haben, ist davon auszugehen, dass Familien Reservierungen für die Fahrt getätigt haben. Diese erscheinen in der Regel nicht unabhängig voneinander zur Fahrt oder nicht.

Die Zufallsvariable $X$ wird nach Aufgabenstellung als binomialverteilt mit den Parametern $n=64$ und $p=0,1$ angenommen. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 4)&=& 1- P(X\leq 3) \\[5pt] &\approx& 1- 0,1063 \\[5pt] &=& 0,8937 \\[5pt] &=& 89,37\,\% \end{array}$

Die Zufallsgröße $X_p$ gibt die Anzahl der Personen mit Reservierung an, die nicht zur Fahrt erscheinen, ist binomialverteilt mit $n=64$ und unbekanntem $p$ und soll folgende Ungleichung erfüllen:

$P(X_p \leq 3) \leq 0,01$

Unter Berücksichtigung, dass $p$ in ganzen Prozentpunkten angegeben werden soll, folgt durch systematisches Ausprobieren im Taschenrechner:

$P(X_{0,14} \leq 3 ) \approx 0,0157 \gt 0,01$
$P(X_{0,15} \leq 3 ) \approx 0,0092 \lt 0,01$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, müsste somit mindestens $15\,\%$ betragen.

Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die die zufällige Anzahl der Personen mit Reservierung beschreibt, die nicht zur Fahrt erscheinen und als binomialverteilt mit $n=200$ und $p=0,1$ angenommen werden kann. Gesucht ist nun das kleinste $k,$ so dass folgende Ungleichung erfüllt ist:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y \geq k+1)&\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(Y\leq k)&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(Y\leq k)&\leq& -0,95 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(Y\leq k)&\geq& 0,95 \end{array}$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$P(Y \leq 26 )\approx 0,9328 \lt 0,95$
$P(Y \leq 27 )\approx 0,9566 \gt 0,95$

Somit gilt $k=27,$ das heißt die Nullhypothese wird irrtümlich abgelehnt, falls mindestens 28 Personen mit Reservierung nicht erscheinen.
In diesem Fall wird die Anzahl der für eine Fahrt möglichen Reservierungen somit erhöht und falls weniger als $28$ Personen nicht zur Fahrt erscheinen, belässt das Unternehmen die Anzahl der möglichen Reservierungen bei $64.$

Die Nullhypothese, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, höchstens $10\,\%$ beträgt, wird nur dann abgelehnt, wenn deutlich mehr Fahrgäste mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheinen, als es auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ angemessen wäre. Die Wahrscheinlichkeit fälschlicherweise von einer erhöhten Wahrscheinlichkeit für das Nichterscheinen auszugehen, obwohl diese sich nicht verändert hat, wird somit beschränkt.
Bei der Wahl der Nullhypothese stand daher das Interesse im Vordergrund, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen.

Der Fehler 2. Art gibt hier die Wahrscheinlichkeit an, dass das Unternehmen fälschlicherweise davon ausgeht, dass sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt antritt, nicht verändert hat, obwohl sich diese tatsächlich erhöht hat. Als Konsequenz würde das Unternehmen nicht mehr Reservierungen möglich machen und hätte somit vermutlich mehr freie Plätze auf den Fahrten, was zu geringeren Einnahmen führen würde.