Teil B

Gegeben ist die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $h: \; x \mapsto 3x\cdot (-1+\ln x).$ Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_h$ von $h$ im Bereich $0,75\leq x\leq 4.$

Diagramm einer mathematischen Funktion mit einer grünen Kurve im Koordinatensystem.

Abb. 1

Bestimme die Gleichung der Tangente an $G_h$ im Punkt $(\mathrm e\mid 0)$ und berechne die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die $x$ -Achse schneidet.

[Zur Kontrolle: $h‘(x)= 3\cdot \ln x$ ]

(4 BE)

Untersuche das Monotonieverhalten von $G_h.$ Gib den Grenzwert von $h$ für $x\to +\infty$ an und begründe, dass $[-3; +\infty[$ die Wertemenge von $h$ ist.

(4 BE)

Gib für die Funktion $h$ und deren Ableitungsfunktion $h‘$ jeweils das Verhalten für $x \to 0$ an und zeichne $G_h$ im Bereich $0 \lt x \lt 0,75$ in Abbildung 1 ein.

(3 BE)

Die Funktion $h^*:\; x\mapsto h(x)$ mit Definitionsmenge $[1;+\infty[$ unterscheidet sich von der Funktion $h$ nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu $h$ ist die Funktion $h^*$ umkehrbar.

Gib die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von $h^*$ an. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ des Graphen von $h^*$ und der Geraden mit der Gleichung $y=x.$

[Teilergebnis: $x$ -Koordinate des Schnittpunkts: $\mathrm e^{\frac{4}{3}}$ ]

(4 BE)

Zeichne den Graphen der Umkehrfunktion von $h^*$ unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt $S$ , in Abbildung 1 ein.

(3 BE)

Schraffiere in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt $A_0$ dem Wert des Integrals $\displaystyle\int_{\mathrm e}^{x_s}(x-h^*(x))\;\mathrm dx$ entspricht, wobei $x_s$ die $x$ -Koordinate von Punkt $S$ ist. Der Graph von $h^*$ , der Graph der Umkehrfunktion von $h^*$ sowie die beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit Inhalt $A$ ein. Gib unter Verwendung von $A_0$ einen Term zur Berechnung von $A$ an.

(4 BE)

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in $[0;16]$ definierten Funktion $V:\; t\mapsto V(t).$ Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnen $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $V(t)$ das Volumen in Kubikmetern.

Graph mit einer grünen Kurve, die Werte über Zeit darstellt, auf einem Gitterhintergrund.

Abb. 2

Gib mithilfe von Abbildung 2 jeweils näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn sowie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens $450\,\text{m}^3$ beträgt.

(2 BE)

Bestimme anhand des Graphen der Funktion $V$ näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn.

(3 BE)

Erläutere, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein $t\in [0;10]$ die Beziehung $V(t+6)= V(t)-350$ gilt. Entscheidemithilfe von Abbildung 2, ob für $t=5$ diese Beziehung gilt, und begründe deine Entscheidung.

(3 BE)

In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für $0 \leq t\leq 12$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g:\; t\mapsto 0,4\cdot \left(2t^3-39t^2+180t\right)$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $g(t)$ die momentane Änderungsrate des Volumens in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}.$

Begründe, dass die Funktionswerte von $g$ für $0 \lt t \lt 7,5$ positiv und für $7,5 \lt t \lt 12$ negativ sind.

(4 BE)

Erläutere die Bedeutung des Werts des Integral $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;\mathrm dt$ für $0\leq a \lt b \leq 12$ im Sachzusammenhang. Berechne das Volumen des Wassers, das sich $7,5$ Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beginn $150\,\text{m}^3$ Wasser im Becken waren. Begründe, dass es sich hierbei um das maximale Wasservolumen im Beobachtungszeitraum handelt.

(6 BE)

(40 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

$\blacktriangleright$ Tangentengleichung bestimmen

Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ an den Graphen von $h$ im Punkt $S(\mathrm e \mid 0)$ muss gelten:

$t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $h$ im Punkt $S(\mathrm e \mid 0)$ , also $m = h‘(\mathrm e).$
$t$ verläuft durch den Punkt $S(\mathrm e \mid 0),$ also $t(\mathrm e)=0.$

Bilde also die erste Ableitungsfunktion von $h$ mit der Produktregel, um die Steigung $m$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} h‘(x)&=&3\cdot \ln x\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Also gilt für die Steigung:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& h‘(\mathrm e) \\[5pt] &=&3\cdot \ln (\mathrm e) \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Setze nun $m$ und die Koordinaten von $S$ in die Tangentengleichung ein, um $b$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&3\cdot \mathrm e +b &\quad \scriptsize \mid\; - 3\mathrm e \\[5pt] -3\mathrm e&=& b \end{array}$

Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $h$ im Punkt $S(\mathrm e\mid 0)$ lautet also $t: \; y = 3x -3\mathrm e$ .

$\blacktriangleright$ Größe des Schnittwinkels berechnen

Die Größe des Schnittwinkels $\alpha$ einer Gerade mit der Steigung $m$ und der $x$ -Achse kannst du mit dem Tangens bestimmen:

$\tan(\alpha) = m$

Setze also ein:

$\alpha \approx 71,57^{\circ}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Tangente $t$ an den Graphen von $h$ im Punkt $(\mathrm e\mid 0)$ schneidet die $x$ -Achse in einem Winkel der Größe von ca. $71,57^{\circ}.$

$\blacktriangleright$ Monotonieverhalten untersuchen

Für das Monotonieverhalten des Graphen kannst du die erste Ableitungsfunktion $h‘$ von $h$ betrachten:

Ist $h‘(x) \gt 0$ für alle $x$ in einem bestimmten Intervall, dann ist $G_h$ auf diesem Intervall streng monoton wachsend.
Ist $h‘(x) \lt 0$ für alle $x$ in einem bestimmten Intervall, dann ist $G_h$ auf diesem Intervall streng monoton fallend.

Die Ableitung hast du oben bereits bestimmt:

$h‘(x)= 3\ln x$

Betrachtet wird der Definitionsbereich von $h$ , $\mathbb{R}^+.$ Es gilt:

Für $x\in \mathbb{R}^+$ mit $x \lt 1$ ist $\ln(x) \lt 0,$ also auch $h‘(x) \lt 0.$
Für $x\in \mathbb{R}^+$ mit $x \gt 1$ ist $\ln (x) \gt 0,$ also auch $h‘(x) \gt 0.$
Für $x = 1$ ist $\ln(x)=0$ , also auch $h‘(x)=0.$

Insgesamt gilt daher:

Im Intervall $]0;1[$ ist $G_h$ streng monoton fallend.
Für $x \gt 1$ ist $G_h$ streng monoton wachsend.

$\blacktriangleright$ Grenzwert angeben

Der Funktionsterm von $h$ besteht aus zwei Faktoren. Betrachte beide getrennt:

$\lim\limits_{x\to+\infty} 3x = \infty$

$\begin{array}[t]{rll} &\lim\limits_{x\to+\infty} (-1+ \ln x)\\[5pt] =& -1 + \lim\limits_{x\to+\infty} \ln x \\[5pt] =& -1 +\infty \\[5pt] =& \infty \end{array}$

Also gilt insgesamt:

$\lim\limits_{x\to\infty} h(x) = \infty$

$\blacktriangleright$ Wertemenge begründen

Du kennst bereits den Grenzwert von $h$ für $x \to + \infty$ und das Monotonieverhalten des Graphen. Begründe mithilfe dieser Ergebnisse die Wertemenge.

Die Funktion $h$ ist auf $\mathbb{R}^+$ definiert. Im Intervall $]0;1]$ fällt der Graph, die Funktionswerte nehmen hier ab, bis an der Stelle $x =1$ der kleinste Funktionswert mit $h(x)=-3$ angenommen wird. Ab da, auf dem Intervall $]1;+\infty[,$ wächst der Graph streng monoton, erreicht also keinen tieferen Punkt mehr. Der Graph ist nach oben hin nicht begrenzt, da der Grenzwert von $h$ für $x\to +\infty$ $+\infty$ ist. Insgesamt nimmt $h$ daher alle Werte größergleich $-3$ an, die Wertemenge ist also $[-3;+\infty[.$

$\blacktriangleright$ Verhalten für $\boldsymbol{x\to 0}$ angeben

Du sollst für $h$ und $h‘$ das Verhalten für $x \to 0$ angeben. Beginne dazu mit $h‘$ . Diese Ergebnisse kannst du dann wiederum auf $h$ übertragen. Betrachte jeden Faktor des Funktionsterms von $h$ zunächst einzeln.

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to 0} h‘(x) &=& \lim\limits_{x\to 0} 3\ln x \\[5pt] &=&3\cdot \lim\limits_{x\to 0} \ln x \\[5pt] &=& 3\cdot (-\infty)\\[5pt] &=& -\infty \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to 0} 3x &=& 0 \\[10pt] \end{array}$

$\lim\limits_{x\to 0} \left(-1+\ln x\right) = -\infty$

Vollständige Lösung anzeigen

Insgesamt gilt daher:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to 0}h(x) &=& 0 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Graphen einzeichnen

Beachtest du die Monotonie und den Grenzwert, erhältst du in etwa folgende Abbildung. Zur Hilfe kannst du auch einige Funktionswerte berechnen.

Graph einer Parabel im Koordinatensystem mit einer grünen Markierung.

Abb. 1: Ergänzte Abbildung

$\blacktriangleright$ Definitions- und Wertemenge angeben

Gesucht sind die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion $h^{*-1}$ von $h*$ . Für die Umkehrfunktion einer umkehrbaren Funktion gilt:

Die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion ist die Wertemenge der Umkehrfunktion.
Die Wertemenge der ursprünglichen Funktion ist die Definitionsmenge der Umkehrfunktion.

Also gilt:

$D_{h^{*-1}} = [-3;+\infty[$

$W_{h^{*-1}} = [1;+\infty[$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

Gesucht ist der Schnittpunkt des Graphen von $h^*$ mit der Geraden zu $y = x$ . Setze also die Funktionsterme gleich, um die Schnittstelle zu bestimmen:

$\mathrm e^{\frac{4}{3}}= x$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Schnittpunkt befindet sich also an der Stelle $x = \mathrm e^{\frac{4}{3}}.$ Da der Punkt auf der Geraden zu $y =x$ liegt, ist dies auch die $y$ -Koordinate.
Der Graph von $h^*$ schneidet die Gerade zu $y=x$ im Punkt $S\left(\mathrm e^{\frac{4}{3}}\mid \mathrm e^{\frac{4}{3}}\right).$

$\blacktriangleright$ Graphen der Umkehrfunktion zeichnen

Du sollst den Graphen der Umkehrfunktion von $h^*$ in Abbildung 1 einzeichnen und dabei insbesondere die Lage von $S$ verwenden. Beachte, dass der Graph einer Umkehrfunktion durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden des ursprünglichen Graphen hervorgeht. Zeichne diese also zur Orientierung ein, es handelt sich dabei um die Gerade zu $y=x.$
Beachte auch den Definitionsbereich von $h^*$ bzw. den Wertebereich von $h^{*-1}.$

Grafische Darstellung von Funktionen mit einem Koordinatensystem und gekennzeichneten Punkten.

Abb. 2: Graph der Umkehrfunktion

$\blacktriangleright$ Flächenstück schraffieren

Gegeben ist das Integral $\displaystyle\int_{\mathrm e}^{x_S}(x-h^*(x))\;\mathrm dx.$ Du sollst ein Flächenstück schraffieren, dessen Inhalt dem Wert des Integrals entspricht. $x_S$ gibt die $x$ -Koordinate von $S$ an.
Mit Hilfe eines solchen Integrals kann der Inhalt der Fläche berechnet werden, die die Graphen der beiden Funktionen zu $y =x$ und $y=h^*(x)$ im Intervall $[\mathrm e; x_S]$ einschließen.

Falls du dies noch nicht getan hast, zeichne also zuerst die Gerade mit $y =x$ ein. Markiere dann die Fläche, den diese Gerade gemeinsam mit dem Graphen von $h^*$ von $x= \mathrm e$ bis zum Schnittpunkt $S$ eingrenzt. Du erhältst in etwa folgende Abbildung:

Graph einer Funktion mit einer Fläche zwischen zwei Kurven im Koordinatensystem.

Abb. 3: schraffierte Fläche

$\blacktriangleright$ Term angeben

Gesucht ist ein Term zur Berechnung des Inhalts der Fläche, die von den Graphen von $h^*$ und $h^{*-1}$ und den beiden Koordinatenachsen im ersten Quadranten eingeschlossen wird. Diese Fläche setzt sich aus drei Teilflächen zusammen:

Die bereits schraffierte Fläche mit dem Flächeninhalt $A_0$
Eine Fläche, die durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden auf die schraffierte Fläche abgebildet werden kann und demnach ebenfalls den Flächeninhalt $A_0$ besitzt
Übrig bleibt ein Quadrat mit der Seitenlänge $\mathrm e.$

Insgesamt ergibt sich daher folgender Term:

$A= 2\cdot A_0 + \mathrm e^2$

$\blacktriangleright$ Volumen angeben

Du sollst mithilfe der Abbildung näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn bestimmen. Da $t$ die vergangene Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn und $V(t)$ das Volumen in Kubikmetern zum Zeitpunkt $t$ angibt, ist also $V(5)$ gesucht. Lies diesen Wert als Funktionswert in Abbildung 2 ab.

$V(5)\approx 480$

Fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich ca. $480\,\text{m}^3$ im Becken.

$\blacktriangleright$ Zeitraum angeben

Gesucht ist der Zeitraum, in dem sich mindestens $450\,\text{m}^3$ Wasser im Becken befinden. Zeichne in Abbildung 2 also die Gerade zu $y = 450$ ein. Das gesuchte Intervall ist das, in dem sich der Graph von $V$ oberhalb der Gerade befindet.

Für alle $t$ zwischen $t_1\approx 1,4$ und $t_2\approx 5,5$ gilt $V(t) \geq 450.$

Im Zeitraum von ca. $1,4$ Stunden bis ca. $5,5$ Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt das Volumen des Wassers mindestens $450\,\text{m}^3.$

$\blacktriangleright$ Momentane Änderungsrate bestimmen

Gesucht ist eine Näherung für die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. Diese entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von $V$ an der Stelle $t=2$ . Zeichne also diese Tangente ein und bestimme die Steigung, indem du die Koordinaten zweier Punkte auf der Tangente in folgende Formel einsetzt:

$m= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Graph mit einer grünen Linie, die Volumen über die Zeit darstellt, mit Achsenbeschriftungen.

Abb. 4: Tangente

Du kannst beispielsweise folgende Punkte der Tangente ablesen:

$A(2\mid 525)$ und $B(0\mid 350)$

Für die Steigung ergibt sich damit:

$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{350-525}{0-2} \\[5pt] &=& \dfrac{-175}{-2}\\[5pt] &=&87,5 \end{array}$

Zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Änderungsrate näherungsweise ca. $87,5\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}.$

$\blacktriangleright$ Beziehung im Sachzusammenhang erläutern

Du sollst erläutern, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein $t\in [0;10]$ folgende Beziehung gilt:

$V(t+6)= V(t)-350$

Beachte dazu, dass $V(t)$ das Volumen des Wassers $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn beschreibt. $V(t+6)$ beschreibt demnach das Volumen des Wassers $6$ Stunden nach diesem Zeitpunkt $t$ . Dieses Volumen ist um $350$ geringer als das ursprüngliche zum Zeitpunkt $t$ .

Wenn diese Beziehung gilt, nimmt das Volumen des Wassers im Becken in den sechs Stunden nach dem Zeitpunkt $t$ um $350\,\text{m}^3$ ab.

$\blacktriangleright$ Entscheidung treffen und begründen

Du sollst überprüfen, ob die obige Beziehung für $t=5$ gilt. Lies also den Funktionswert $V(5)$ und $V(5+6)=V(11)$ in Abbildung 2 näherungsweise ab und überprüfe die Behauptung.

$\begin{array}[t]{rll} V(11)&\approx& 200 \\[5pt] &\neq& 480-350\\[5pt] &\approx& V(5)-350\\[5pt] \end{array}$

Die Beziehung gilt also nicht für $t=5$ , da die Näherungswerte für $V(5)$ und $V(11)$ , die aus Abbildung 2 abgelesen werden können, die Gleichung nicht erfüllen.

$\blacktriangleright$ Funktionswerte begründen

Du sollst hier begründen, dass die Funktionswerte von $g$ für ein bestimmtes Intervall positiv und ein anderes Intervall negativ sind. Du kannst dazu beispielsweise die Nullstellen von $g$ berechnen, da nur dort ein Vorzeichenwechsel vorliegen kann.

Anschließend kannst du Funktionswerte zwischen den Nullstellen berechnen, um zu überprüfen, ob die Funktionswerte in diesem Intervall positiv oder negativ sind.

Setze also $g(t)=0:$

$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=&0 \\[5pt] t_1&=&0\\[5pt] t_2&=& 7,5 \\[5pt] t_3&=& 12 \end{array}$

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Die Funktion besitzt also die drei Nullstellen $t_1 =0$ , $t_2 = 7,5$ und $t_3 = 12$ . An diesen Stellen kann ein Vorzeichenwechsel stattfinden, an anderen nicht.
Berechne nun beispielsweise $g(1)$ und $g(10):$

$\begin{array}[t]{rll} g(1)&=& 55,6 \gt 0\\[10pt] g(10)&=& -40 \lt 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da wegen der Stetigkeit von $g$ nur an den Nullstellen $t_1 =0$ , $t_2 = 7,5$ und $t_3 = 12$ Vorzeichenwechsel stattfinden können, gilt für die Intervalle $]0;7,5[$ und $]7,5;12[$ :

Ist der Funktionswert für ein $t$ in diesem Intervall negativ, bzw. positiv, gilt dies für alle Funktionswerte von $t$ in diesem Intervall.

Es gilt $g(1) \gt 0$ und $g(10)\lt 0$ . Also sind die Funktionswerte von $g$ für $0\lt t \lt 7,5$ positiv und für $7,5\lt t \lt 12$ negativ.

$\blacktriangleright$ Bedeutung des Werts erläutern

Gesucht ist die Bedeutung des Werts des Integrals $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;\mathrm dt$ für $0\leq a \lt b \leq 12$ im Sachzusammenhang. Beachte dabei, dass $g(t)$ die momentane Änderungsrate des Wassers im Becken $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn beschreibt.
Wird über diese Funktion das Integral gebildet, so beschreibt der Wert des Integrals, wie viel Wasser in dem Zeitraum hinzugekommen bzw. abgeflossen ist.

Der Wert des Integrals $\displaystyle\int_{a}^{b}g(t)\;\mathrm dt$ beschreibt das Volumen des Wassers in Kubikmetern, das im Zeitraum $a$ Stunden nach Beobachtungsbeginn bis $b$ Stunden nach Beobachtungsbeginn in das Becken geflossen bzw. daraus abgeflossen ist.

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Gesucht ist das Volumen $V$ des Wassers, das sich $7,5$ Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet. Dieses setzt sich zusammen aus dem Volumen des Wassers, das zu Beginn der Beobachtung bereits im Becken war, $150\,\text{m}^3,$ und dem Volumen des Wassers, das im Zeitraum $a= 0$ bis $b= 7,5$ hinzukommt bzw. abfliest. Letzteres kannst du wie oben beschrieben mit einem Integral berechnen.

$V= 614,0625$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach $7,5$ Stunden befinden sich $614,0625\,\text{m}^3$ Wasser im Becken.

$\blacktriangleright$ Maximum begründen

Du sollst zeigen, dass das Volumen zum Zeitpunkt $t=7,5$ bereits das maximale Volumen ist, das im Beobachtungszeitraum erreicht wird. Nach $t=7,5$ sollte das Wasser also nur noch abnehmen oder so geringfügig zunehmen, dass der Wert nicht mehr überschritten wird.
Beachte dabei Ergebnisse aus den letzten Teilaufgaben. Der Beobachtungszeitraum geht bis $t=12$ . Du hast bereits gezeigt, dass $g$ für $7,5\lt t \lt 12$ nur negative Funktionswerte annimmt. Da $g$ die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Becken beschreibt, bedeutet das, dass das Wasservolumen in diesem Zeitraum nur abnimmt. Nach $7,5$ Stunden nach Beobachtungsbeginn, nimmt das Wasser im Becken im Beobachtungszeitraum nur noch ab und nicht mehr zu.
Gleiches gilt für den Zeitraum vor $t=7,5.$ Hier nimmt das Volumen des Wassers ständig zu, da hier die Funktionswerte von $g$ positiv sind. Das Maximum wird also zum Zeitpunkt $7,5$ Stunden nach Beobachtungsbeginn angenommen.