Aufgabe 2A

Ein Großhändler bietet Rohkaffee in Säcken zu jeweils $60 \,\text{kg}$ an. $96 \,\%$ aller Säcke entsprechen den Qualitätsanforderungen.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen. Sie ist binomialverteilt.

Der Großhändler liefert 800 Säcke aus.

Bestimme die zu erwartende Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen.

Ermittle ein $95 \,\%$ -Prognoseintervall für die Anzahl der Säcke, die den Qualitätsanforderungen entsprechen.

(5 BE)

Mit dem Term $\pmatrix{800\\32}\cdot 0,04^{32}\cdot 0,96^{768}$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnen.

Gib das Ereignis an.

(2 BE)

Ein Kunde prüft die Qualität des Kaffees, bevor er mit dem Großhändler einen Vertrag abschließt. Er untersucht 50 zufällig ausgewählte Säcke daraufhin, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen.

Wenn dies bei höchstens zwei Säcken nicht der Fall ist, dann wird der Vertrag abgeschlossen.

Wenn genau drei Säcke nicht den Qualitätsanforderungen entsprechen, dann werden in einem zweiten Schritt weitere 25 zufällig ausgewählte Säcke daraufhin untersucht, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen. Wenn von diesen 25 Säcken höchstens ein Sack nicht den Qualitätsanforderungen entspricht, dann wird der Vertrag abgeschlossen.

Andernfalls kommt der Vertrag nicht zustande.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Vertrag abgeschlossen wird.

(5 BE)

Weiterhin entsprechen $96 \,\%$ aller Säcke den Qualitätsanforderungen. Jeder Sack, der den Qualitätsanforderungen nicht entspricht, weist mindestens einen der beiden folgenden Mängel auf:

$M_1:\;$ „Der Kaffee weist zu viele Verunreinigungen auf.“

$M_2: \;$ „Der Sack enthält weniger als $60\,\text{kg}$ Kaffee."

Ein Sack wird zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Sack den Mangel $M_1$ aufweist, beträgt $1 \,\%.$

Ergänze die Wahrscheinlichkeiten in den Feldern in der unteren Hälfte des Baumdiagramms.

Baumdiagramm Kaffee Mangel Niedersachsen Abi 2023

(4 BE)

Das Auftreten der beiden Mängel ist stochastisch unabhängig.

Erläutere im Sachkontext die Auswirkungen dieser Eigenschaft auf die Wahrscheinlichkeiten in der oberen Hälfte des Baumdiagramms.

(4 BE)

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Anzahl bestimmen

Der Erwartungswert von $X$ ergibt sich mit:

$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p& \\[5pt] &=& 800 \cdot 0,96& \\[5pt] &=& 768 \end{array}$

Prognoseintervall ermitteln

Für das $95 \,\%$ -Prognoseintervall gilt:

$\mu -1,96 \sigma \leq x \leq \mu +1,96 \sigma$

Vollständige Rechnung anzeigen

Die linke Grenze ergibt sich also mit:

$768 -1,96 \cdot \sqrt{800\cdot 0,96\cdot 0,04} \approx 757,1$

Für die rechte Grenze gilt:

$768 -1,96 \cdot \sqrt{800\cdot 0,96\cdot 0,04} \approx 778,9$

Das $95 \,\%$ -Prognoseintervall ist somit gegeben durch $[757; 779].$

32 der 800 Säcke entsprechen nicht den Qualitätsanforderungen.

$X$ kann als binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,96$ angenommen werden.

Wahrscheinlichkeit, dass unter den 50 zufällig ausgewählten Säcken höchstens 2 Säcke nicht den Qualitätsanforderungen entsprechen:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 48)&=& 1-P(X \leq 47) & \quad \scriptsize \mid GTR \\[5pt] &\approx & 0,677 \end{array}$

Wahrscheinlichkeit, dass unter den 50 zufällig ausgewählten Säcken genau 3 Säcke nicht den Qualitätsanforderungen entsprechen:

Der GTR liefert: $P(X=47) \approx 0,184$

Im Fall, dass genau 3 Säcke nicht den Qualitätsanforderungen entsprechen und erneut 25 Säcke zufällig ausgewählt werden, kann $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n=25$ und $p=0,96$ angenommen werden.

Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Sack nicht den Qualitätsanforderungen entspricht:

$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 24)&=& 1-P(X \leq 23) & \quad \scriptsize \mid GTR \\[5pt] &\approx & 0,736 \end{array}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit etwa $0,677+0,184 \cdot 0,736 \approx 0,812.$

Wegen $P(M_1)=0,01$ folgt direkt $P(\overline{M_1})=0,99.$

Da $96\,\%$ aller Säcke den Qualitätsanforderungen entsprechen, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{M_1})\cdot P_{\overline{M_1}}( \overline{M_2})&=& 0,96 \\[5pt] 0,99\cdot P_{\overline{M_1}}(\overline{M_2}) &=& 0,96 &\quad \scriptsize \mid\; :0,99 \\[5pt] P_{\overline{M_1}}(\overline{M_2})&=& \dfrac{32}{33} \end{array}$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{M_1}}(M_2)&=& 1-P_{\overline{M_1}}(\overline{M_2})\\[5pt] &=& 1-\dfrac{32}{33}&\\[5pt] &=& \dfrac{1}{33} \end{array}$

Es gilt nun:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{M_1})\cdot P_{\overline{M_1}}(M_2)&=& 0,99\cdot \dfrac{1}{33} \\[5pt] &=& 0,03 \end{array}$

Die untere Hälfte des Baumdiagramms ergibt sich also zu:

Baumdiagramm Kaffee Maengel Niedersachsen Abi 2023

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Sack den Mangel $M_2$ aufweist, wenn er bereits den Mangel $M_1$ hat, ist genau so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Sack den Mangel $M_2$ aufweist, wenn er den Mangel $M_1$ nicht hat.

Die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe des Baumdiagramms sind also in der oberen Hälfte mit denen in der unteren Hälfte identisch.

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